对高考线性规划中常见目标函数最值的探讨韩勇学习了线性规划后，其主要应用于解决目标函数的最值从而解决实际问题, 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函 数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱, 解答出错，现将目标函数各类型及解法总结如下：一、目标函数为直线型，如Z = ax^hyx>0例1、已知实数x,y满足约束性条件y>0 ,讨论下列目标函数的最值 x+y<\(1) Z = 2x+y (2) Z = 2x-y解：画出可行域，0(0, 0), A(l, 0), B(0, 1)(1) 作过原点的直线2x+y = 0,平移直线，\y目标函数看为y = -2x + Z,直线上移Z增 大，所以Z在0(0, 0)点有最小值为0,在 A(l, 0)有最大值为2(2) 作过原点的直线2x-y = 0,平移直线，目标函数看为y = 2x-Z ,直线上移Z变小，所以Z在B(0, 1)点有最小值为-1,在A(l, 0)有最大值为2小结：直线型目标函数的最值，画出可行域，作过原点的目标函数平行移动即可的最值二、目标函数为距离型(或距离的平方)，如Z=J(X3)2+()，2)2x-2j<0例2、己知实数x,y满足约束性条件尤+)，-3",求目标函数Z = 的最值x>\ 解：画出可行域，0(0, 0), A(l「)，B(l, 2), C(2, 1), 2法一：Z = Jr + y2表示的是可行域内动点(X, y)与定点0 (0, 0)连线的距离。
当(x, y)运动到A(l「)时距离最小为龙，当(x, y)运动到B(l,2)时距离最 2 2大为,法二：也可理解为以定点o(o,0)为圆心的动半径的圆与可行域的交点问题点A(l,l)是圆与可行域的第一个交点，2半径最小为匝点B(l,2)是圆与可行域最2后一个交点，半径最大为右小结：距离型目标函数的最值，关键是找准定点三、目标函数为斜率型，如z = Nx-a例3、点(x,y)在以A(l, 1),B(2,5),C(3,2)构成的三角形区域(含边界)内运动，求z = y的取值范围X解:建立坐标系,0(0, 0), A(l, 1), B(2, 5), C(3, 2)Z =表示可行域内动点(x, y)与原点0, 0)连线的斜率,由图知点(x, y)在C(3, 2) 时连线斜率最小为:，在B(2, 5)时连线斜率最 大为：，所以】的范围为宫小结：斜率型目标函数的最值，关键仍是找2 x 3 2准定点x<2例4、已知实数x,y满足约束性条件L<2 ,讨论下列目标函数的最值x+y>2(1) Z=4f (2) 〃= J(x+l)2 + y2 (3) V = B x+1 解：画可行域，0(0, 0), A(2, 0), B(2, 2) , C(0, 2), D(-1, 0), E(~l, -1)(1) 作过原点的直线4x+y = 0,平移直线，目标函数看为y = -4x + Z,直线上移 Z增大，所以Z在C(0, 2)点有最小值为 2,在B(2, 2)有最大值为10(2) Z = Jo+ V + y5 表示以定点 D (-1,0)为圆心的动半径的圆与可行域的交点 问题。
圆与直线x+y = 2的相切时，半径 最小为d」-搜-2|=班点bq,2)是圆 Viw 2与可行域最后一个交点，半径最大为应(3) Z = 表示可行域内动点(x, y)与原点E (-1, -1)连线的斜率，由图工+1知点(x, y)在A (2,0)时连线斜率最小为V = !，在C(o, 2)时连线斜率最大为3, 所以匕旦的范围为「二」工+ 1 |_3」总结：线性规划是通过数形结合方法来解决日常生活实践中的最优化问题 的一种数学模型，其核心是运用数形结合的思想方法求目标函数的最值问题(其 中有一个重要的过程就是可行域的作法)具有很强的现实意义它是高中数学 教材新课改新增内容，在高考中属于必考内容，多以选择填空题的形式出现 线性规划中，目标函数为直线型的求解较为简单，对距离型与斜率型的求解把 握一点，定点是关键。