细心整理专题一 乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，精确灵敏运用公式：① 位置变更，(x+y)(-y+x)=x2-y2② 符号变更，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③ 指数变更，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④ 系数变更，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤ 换式变更，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥ 增项变更，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦ 连用公式变更，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变更，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)] =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz例1．确定，，求的值。
解：∵ ∴=∵， ∴=例2．确定，，求的值解：∵ ∴ ∴= ∵， ∴ 例3：计算19992-2000×1998例4：确定a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值例5：确定x-y=2，y-z=2，x+z=14求x2-z2的值例6：判定〔2+1〕〔22+1〕〔24+1〕……〔22048+1〕+1的个位数字是几？例7．运用公式简便计算〔1〕1032 〔2〕1982例8．计算〔1〕(a+4b-3c)(a-4b-3c) 〔2〕(3x+y-2)(3x-y+2)例9．解以下各式〔1〕确定a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值〔2〕确定(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值〔3〕确定a(a-1)-(a2-b)=2，求的值〔4〕确定，求的值例11．计算 〔1〕(x2-x+1)2 〔2〕(3m+n-p)2两数和的平方的推广 (a+b+c)2=[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)×c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，精确地驾驭其特征，为辨别和运用公式打下根底，同时能提高学生的视察实力例1. 计算： 解：原式(二)、连用:连续运用同一公式或连用两个以上公式解题例2. 计算：例3. 计算：三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还须要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题例4. 计算：四、变用: 题目变形后运用公式解题例5. 计算：五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比拟有用的派生公式：灵敏运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，造就综合运用学问的实力例6. 确定，求的值解：例7. 计算：三、学习乘法公式应留意的问题 〔一〕、留意驾驭公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x2-5)(2x2-5) 分析：此题两个因式中“-5”一样，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”那么是公式中的b． 解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4． 例2 计算(-a2+4b)2 分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；假设将题目变形为(4b-a2)2时，那么“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．〔解略〕 〔二〕、留意为运用公式缔造条件 例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)． 分析：粗看不能运用公式计算，但留意视察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式． 解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕 =(2x+5)2-(y-z)2 =4x2+20x+25-y+2yz-z2． 例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2 分析：假设先用完全平方公式绽开，运算特殊繁冗，但留意逆用幂的运算法那么，那么可利用乘法公式，使运算简便． 解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2 =[(a3-1)(a6+a3+1)]2 =(a9-1)2=a18-2a9+1 例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)． 分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但假设添上一项〔2-1〕，那么可运用公式，使问题化繁为简． 解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =〔28-1〕〔28+1〕 =216-1 〔三〕、留意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 可表达为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍． 例6 计算(2x+y-3)2 解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3) =4x2+y2+9+4xy-12x-6y． 〔四〕、留意公式的变换，灵敏运用变形公式 例7 (1)确定x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值； (2)确定：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值． 分析：粗看似乎无从下手，但留意到乘法公式的以下变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题那么特殊简洁． 解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将确定条件代入得100=103-3xy·10， ∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40． (2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1． 例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2． 分析：干脆绽开，运算较繁，但留意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题简洁解决． 解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2 =2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2] =2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2 =4a2+4b2+4c2 〔五〕、留意乘法公式的逆运用 例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2． 分析：假设按完全平方公式绽开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，那么能使运算简便得多． 解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)] =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac． 例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2 分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法绽开后计算，但逆用完全平方公式，那么运算更为简便． 解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2 =[(2a+3b)+(4a-5b)]2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2四、怎样娴熟运用公式：〔一〕、明确公式的构造特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的构造特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全一样，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是一样项的平方减去相反项的平方．明确了公式的构造特征就能在各种状况下正确运用公式．〔二〕、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算〔x+2y－3z〕2，假设视x+2y为公式中的a，3z为b，那么就可用〔a－b〕2=a2－2ab+b2来解了。
〔三〕、熟悉常见的几种变更有些题目往往与公式的标准形式不相一样或不能干脆用公式计算，此时要依据公式特征，合理调整变更，使其满足公式特点．常见的几种变更是：1、位置变更 如〔3x+5y〕〔5y－3x〕交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．2、符号变更 如〔－2m－7n〕〔2m－7n〕变为－〔2m+7n〕〔2m－7n〕后就可用平方差公式求解了〔思索：不变或不这样变，可以吗？〕3、数字变更 如98×102，992，912等分别变为〔100－2〕〔100+2〕，〔100－1〕2，〔90+1〕2后就能够用乘法公式加以解答了．4、系数变更 如〔4m+〕〔2m－〕变为2〔2m+〕〔2m－〕后即可用平方差公式进展计算了．5、项数变更 如〔x+3y+2z〕〔x－3y+6z〕变为〔x+3y+4z－2z〕〔x－3y+4z+2z〕后再适当分组就可以用乘法公式来解了．〔四〕、留意公式的灵敏运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算〔a2+1〕2·〔a2－1〕2，假设分别绽开后再相乘，那么比拟繁琐，假设逆用积的乘方法那么后再进一步计算，那么特殊简便．即原式=[〔a2+1〕〔a2－1〕]2=〔a4－1〕2=a8－2a4+1．对数学公式只会顺向〔从左到右〕运用是远远不够的，还要留意逆向〔从右到左〕运用．如计算〔1－〕〔1－〕〔1－〕…〔1－〕〔1－〕，假设分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且简洁出错．假设留意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，那么可巧解此题．即原式=〔1－〕〔1+〕〔1－〕〔1+〕×…×〔1－〕〔1+〕=××××…×× =×=．有时有些问题不能干脆用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=〔a+b〕2－2ab，a2+b2=〔a－b〕2+2ab等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如确定m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m。