文U英于立宏：Mohr-Coulomb屈服准则在岩土工程中的探讨Discussion of the Mohr-Coulomb Yield Criterion in the Geo-technical EngineeringMohr-Coulomb屈服准则在岩土工程中的应用刘 英 1,2 ，于立宏 31. 吉林大学 建设工程学院, 长春 130026; 2. 长春万科房地产开发有限公司，长春 130031;3. 中国水电顾问集团 北京勘测设计研究院，北京 100024摘要：对Tresca屈服准则、Mises屈服准则、双剪屈服准则及Mohr-Coulomb屈服准则的屈服线、屈服应力进行分析、比较，找出 各种屈服准则之间的差异探讨Mohr-Coulomb屈服准则与其他屈服准则的关系，并确定Mohr-Coulomb屈服准则在岩土工程中的安 全性及岩土体破坏时的破裂面位置与滑移线之间的关系以亚碧罗水电站实测地应力为例，对实测地应力用不同的屈服准则进行分 析，论证了 Mohr-Coulomb屈服准则的安全性及剪切破裂面与滑移线的差异关键词： Mohr-Coulomb 屈服准则；安全性；亚碧罗水电站；地应力；滑移线Application of Mohr-Coulomb yield criterion in geo-technical engineeringLIU Ying 1,2 , YU Li-hong 31. College of Construction Engineering , Jilin University, Changchun 130026,China;2. Changchun Vanke Co. Ltd, Changchun 130031,China;3. Hydrochina Beijing Engineering Corporation, Beijing 100024, ChinaAbstract：The yield curves and yield stress of Tresca, Mises, Double shear and Mohr-Coulomb yield criterions were discussed and compared to find the differences among them. The relations between Mohr-Coulomb yield criterion and the others were discussed, and comfirmed the safety of Mohr-Coulomb yield criterion in geo-technical engineering and the relationships between fracture plane location and slip curves when the rock and soil fractured. The different yield criterions were analyzed and compared taking Yabilo hydropwer station geo-stresses for example, and demonstrated Mohr-Coulomb yield criterion was most safety and the differences between failure surface and slip curves.Key words：Mohr-Coulomb yield criterion；safety; Yabilo hydropwer station; geo-stresses; slip curves0 引言随着岩土工程的发展，岩土材料的屈服准则得 到了各界的关注。
国内外学者对材料的屈服条件进 行了大量的研究，目前岩土工程界常用的屈服准则 ⑴ 有：Tresca屈服准则、Mises屈服准则、 Drukle-Plager屈服准则以及Mohr-Coulomb屈服准则 和双剪应力屈服准则等在各种屈服准则中 Mohr-Coulomb屈服准则模型能反映土体的抗压强 度不同的S- D 效应(Strength Difference Effect)与对静 水压力的敏感性,而且简单实用，土体参数c、(0值可以 通过各种不同的常规试验测定因此, 较其他准则 具有较好的可比性，在工程实践中有着重要的作用 和地位，得到了广泛的应用为此，分析、比较Mohr-Coulomb准则与其他准则的屈服线、屈服应力 及其安全性和实用性是必要的，并找到岩土体可能 产生的滑动破裂面与理论滑移线的差异，使得Mohr-Coulomb准则更好的为工程所用1 Mohr-Coulomb 屈服准则与其他准则的关 系1. 1 Mohr-Coulomb 屈服准则的安全性(©1>^2>©3)基金项目：国家自然科学基金项目(40872170 )Tresca 屈服条件表达式[1，2] ：t = (o、一(j)2=(j /2 (1)max 1 3 sMises 屈服条件表达式[1，2]：(O] - o2) 2+( o2 - o3) 2+( o3 - G]) 2= 6C = 2os2J = C ( 2)2双剪屈服准则表达式[3，4]：t13+ max{t12 , t23 } = c常数 c 由单轴拉伸试验确定 c = Gss则有：t]3 + max{T]2 , t23 } = Gs (3)Mohr-Coulomb 屈服准则表达式[4 -7]：T = o tgo + c (4)nn或以主应力表示屈服条件为：O] - o3 = (O] +o3)sin申 + 2ccos申 (5)1以不变量可表示为：f = 3 I]sinp+ (cos侏-=±(g] - g3)/2，此时岩土材料按Tresca准则进入塑 性流动状态，此处的材料应沿两组与最大主应力面 分别呈n/4正交的a、卩滑移线剪破。
但由 Mohr-Coulomb 屈服准则可知，岩土体内的剪应力未 达到t =±(6 -g3 )/2时抗剪强度线已与应力圆相 max ] 3切，岩土体已进入屈服、剪破状态，剪破面与最大 主应力面夹角为n/4+p/2,当且仅当申=0时剪破面与 滑移线重合因此，岩土体可能产生的滑动破裂面 与滑移线是有差异的，破裂面相差申/2(图1)sin0°sin申)v J 2 -ccosp = 06)式中：-n/600 9/6o由莫尔应力圆可知：G图 1 Mohr-Coulomb 屈服准则破裂面与滑移线的关系Fig.1 Relations between failure surface and slip curves of Mohr-Coulomb yield criterionT = lTmaXsinP^I TmaX(Tmax= c 时取等号)o== (o] +o2 )/2 - (o] +o2 )/2 sin申 (7)由上可知，按 Mohr-Coulomb 屈服准则求得的 临界抗剪强度(T)要小于最大剪应力破坏时的抗剪 强度(t ) ， Mohr-Coulomb准则较Tresca屈服准 max则先进入屈服阶段。
文献[8]给出材料屈服应力比较 结果即：o >o >oTresca Mises DJ文献[9]指出n平面上Mohr-Coulomb屈服面在 双剪屈服面内侧因此，岩土体按 Mohr-Coulomb 准则最先进入屈服破坏综上所述， Mohr-Coulomb 屈服准则较 Tresca 屈服准贝y、Mises屈服准则及双剪屈服准则的屈服应 力是最小的岩土材料属于粒状体材料，主要依靠 颗粒间的摩擦承受荷载，其变形和破坏受摩擦的影 响，由剪应力与垂直应力的共同作用使粒子间克服 摩擦产生相对滑移破坏，因此 Mohr-Coulomb 屈服 准则对岩土体较为实用1. 2 Mohr-Coulomb 准则破裂面与滑移线的差异 岩土材料中考虑静水压力状态时即： Gm m=(gi+g2+g3)/3； g2 =g时，由 图1可知应力圆圆心 ] 2 3 2 m与G值重合于M点，则在M点处的最大剪应力Tm max2 Mohr-Coulomb 屈服面存在的不足在主应力空间中， 考虑静水压力的影响，Mohr-Coulomb 屈服面是一个不规则的六角形截面 的角锥体表面，且在n平面内投影为不等角六边形 Mohr-Coulomb 屈服准则虽然偏于安全但不能反映 中间主应力对屈服和破坏的影响，其屈服曲线棱角 点处的数值计算存在着欠缺——奇异点，即数值计 算繁琐和收敛缓慢，屈服函数沿曲面外法线方向的 导数不易确定，在角点处也存在不连续问题。
直接 采用 Mohr-Coulomb 屈服准则常引起不便为解决 以 上缺点 国内 外学者进行了大量的研究Drukle-Plager屈服准则[]0，]]]在三维主应力空间中的 屈服面为光滑的圆锥体，在n平面上的投影为圆形, 且求导处光滑连续因此被许多大型计算程序所采 用， 但实际计算结果表明， 按该准则计算与 Mohr-Coulomb 理论计算结果出入较大，难以保证 计算中的精确度为此， Zienkiewicz and Pande 曾提 出了二次型屈服准则[12, 13],在n平面上用修圆公式 去 逼近 Mohr-Coulomb 屈 服 准 则 ， 实际 结果 与Mohr-Coulomb 准则也有较大出入徐干成、郑颖人 等按照n平面上与及Mohr-Coulomb准则面积相等 原理提出等面积圆屈 服 准则［13 ，14］来逼近 Mohr-Coulomb 屈 服 准 则 ， 计 算 结 果 与 真 实 的 Mohr-Coulomb 相当，取得了良好的逼近效果，但缺 少物理验证目前尚未找到一种更为理想的方法来 弥补Mohr-Coulomb屈服准则的不足来增强实用性3 工程实例3.1 工程概况亚碧罗水电站位于云南省泸水县境内怒江干 流上，是怒江中下游水电规划十三级开发的第七个 梯级工程。
坝址区右岸有瓦窑－贡山公路相通，距 怒江州府六库镇（下游）约63km,距昆明约616km, 交通较便利电站最大坝高152.5m，水库正常蓄水 位1075m,装机容量1950MW，水库长约32km，总 库容4.713亿m3枢纽建筑物主要包括：碾压混凝 土重力坝、右岸地下厂房和输水隧洞等在电站的 勘察设计阶段，于上坝址（右岸）布设了 1 个地应 力测试钻孔ZK10，进行水压致裂应力测试以查 明该工程区域内地应力的大小和方向，为坝基、地 下洞室轴线选向和围岩稳定性的评价和支护设计等 提供依据3.2 地质背景3.2.1 地形地貌亚碧罗水电站库区河段长约37km坝址区位于 泸水县古登乡亚碧罗村附近，距下游称杆乡约 8km、 距上游古登乡约10km坝址河段全长约6km,此河 段为高山峡谷型区，地形呈“V”字型，左岸坡度为 25°〜60右岸坡度为20〜60°，局部为高30〜80m 的基岩陡壁坝轴线方向NE62坝址河段河床枯 水面宽度约为80〜100m,天然水力坡降0.24%3.2.2 地层岩性坝址河段出露地层岩性主要为元古界高黎贡山 群的片麻岩地表测绘和钻孔、平洞揭示，岩性主 要为片麻岩，灰白色，鳞片粒状变晶结构，片麻状 构造，。