讲 授 内 容备 注第二十六讲§5.2 函数项级数 2．利用准则判断一致收敛性例9 设为上的可导函数列，且在上有是不依赖于和的正数．证明：若在上收敛，则必为一致收敛． 证 在上收敛， ，，当时，有故当时， 介于之间 取，则时， 对上每点都采用上述步骤． ，当，且时，有 ．如此组成了的一个开覆盖．由有限覆盖定理，其中存在有限子覆盖．不妨设为令 ，则当时，，有 ．由收敛准则知，在上一致收敛．例10 求证级数在的邻域内非一致收敛．证 考虑，注意到只要在的邻域内证明某常数即可． 时，所以只要保持 则 如此只要取 ，从而即 所以，对，有．故级数在的邻域内非一致收敛．例11 证明：在上非一致收敛．证 ，当时，．所以通项 该级数在上非一致收敛． 3．利用常用的判别法证明一致收敛性判别法：关键是找优级数，常用的方法如下 求在上的最大值； 利用已知的不等式； 利用公式，微分中值定理例12证明：在上一致收敛．证 令 得稳定点： 比较 知为在上的最大值．如此 而 收敛，所以在上一致收敛．例13 证明：在上一致收敛．证 在附近，有，当充分大时，有且收敛，由判别法知，原级数在上一致收敛．例14 证明：在内一致收敛．证 ，有而收敛，由判别法知，原级数在内一致收敛．判别法与判别法判别法：若 满足 在上一致收敛； 一致有界，且对每个固定的关于单调．则在上一致收敛．判别法：若 满足 关于与一致有界； 对每个固定的关于单调，且时，于上则在上一致收敛．例15 证明级数：在上一致收敛． 证 当时，．当时， 于是对一切，均有 （一致有界）对每个固定的关于是单调递减的，且 即当时，于．由判别法知，在上一致收敛． 例16 设级数收敛．证明：级数 在时一致收敛．证 收敛，在时一致收敛．当时，，一致有界．且当时，对每一个是单调递减．故由判别法知，在时一致收敛．例17 设均为常数．级数收敛．试证：在上一致收敛． 证 收敛，自然关于一致收敛； ，即一致有界． 当时， 即关于单调，（对固定的）由判别法知，在上一致收敛．例18 证明：在任何有穷区间上一致收敛．但在任何一点处不绝对收敛． 证 由知，该级数在任何一点处不绝对收敛．下证第一个结论． ，即关于与一致有界； 即对任意的关于单调； 时， 其中 ．因此当时，于上．由判别法知，在上一致收敛．例19 证明：在内一致收敛． 证 在使用判别法时，可先用判别法证一致收敛性． ，其中关于单调，； ，，．即关于与一致有界； 据判别法，只需证明在内一致收敛．i），，．所以 在内关于与一致有界；ii）在内关于单调递减， ，．即在内，且， 于是据判别法知，级数在内一致收敛．综合，据判别法，命题成立．二、一致收敛级数的性质1．关于逐项取极限例20 （逐项取极限定理） 设级数在的某个空心邻域 内一致收敛．，则收敛，且证 设 ，若，即证 ． 在内一致收敛， ，，当时，对，有 令，得 由收敛准则知，级数收敛．（为某个常数） 由一致收敛及的收敛性知，，，当时，对，有．将暂时固定，故对 ，，当时，从而 即 ．即 ．例21 假定函数在区间内单调增加，且．又假定级数在内逐点收敛，并且有上界．那么在内一致收敛，并且． 证 只要证明在内一致收敛，并且极限 存在． 先证明存在．已知．又收敛并且有上界．所以，使得 而在区间内单调增加，故存在．记，则在内有 再证在内一致收敛．为此只需证明 收敛即可． 令，得 ，故由正项级数的判别法知收敛．从而由判别法，在内一致收敛．3学时从局部性质延拓到整体性质至此不能说明一致收敛，求在上的最大值利用已知的不等式利用公式注：使用上述二判别法，关键是将通项写成两个因子相乘，使之符合判别法的条件本例说明一致收敛不意味着绝对收敛．10。