单元 20 PID控制器PID控制器是控制系统最常使用的一种控制器，它采用比例-积分-微分控制的基本结构形式，有利于工程中控制参数的调整与整定考虑反馈控制器的本质任务，就是根据参考输入信号r(t)和输出反馈信号y(t)之间的偏差e(t)来确定控制信号u(t)PID调节器在闭环控制系统中的作用如图20-1所示，其输入输出之间的关系可用下式表达： (20-1)式中Kp、Ti和Td作为参数，分别称为比例系数、积分时间常数和微分时间常数 PIDG(s)-+uey参考输入r图20-1 控制系统中的PID调节器 人们常将PID调节器的比例、积分和微分作用形象地比喻成人脑中的反应能力、记忆能力和预测能力在控制器中的实际体现这里比例控制的作用表现为：只要偏差e出现，控制器立刻产生控制作用使偏差e减小；积分控制器的正面作用主要是消除静差，只有偏差e为零后，积分控制作用才会完全停止动作并保持原有的控制状态；而微分控制的作用则是发现偏差e变化的趋势，显然有利于提高系统的快速性，减少超调 然而，上述简单的控制概念并不足以支持PID控制器参数设计的实际要求，具体设计过程仍然需要应用控制理论的分析工作。
为此,这里将以本课前面重点讨论的频率响应法解释PID控制器的本质作用和各参数设计的具体方法 比例-微分控制环节 图20-2 比例微分环节的频率特性 比例-微分控制环节的传递函数可描述如下： 这里，，当Kp=1时环节频率特性则如图20-2所示从比例-微分控制环节的频率特性可以看出：相频曲线具有相位超前的特性，且随频率增加而变大直至+90 º极限，并在转折频率1/Td处呈+45º；而幅频特性在转折频率1/Td前为0db, 大于转折频率后幅值呈线性增加使用比例-微分控制环节作为控制器时若将环节Gc(s)的转折频率1/Td安排在原被控系统剪切频率的右面，就不会改变原系统的剪切频率，并在该剪切频率处取得小于45º的超前相移增量，从而增加稳定裕度比例-微分控制的问题是其容易引入噪声的干扰，因为其幅值特性随频率升高而加大，且通常噪声的频率较高比例-积分环节 比例-积分控制环节的传递函数可描述为： （20-3）图20-3 比例积分环节的频率特性 比例-积分控制环节可以看作积分环节与前述比例微分环节的串联当Kp=1时环节的频率特性则如图20-3所示显然，当频率小于转折频率1/Ti时幅值会随频率减小而线性增加。
这样，在使用这种方式作为控制器时，可安排环节的转折频率1/Ti位于原被控系统剪切频率的左面，则不会改变原先系统的剪切频率，并明显提高低频段的增益，从而提高系统在低频段的控制精度 比例-积分控制环节的消极作用是其积分部分1/Ti产生90º的固定相移后，虽在环节(Tis+1)的作用下会随频率增加而逐渐抵消，但直到系统剪切频率处仍会存在一定的滞后影响，故通常应使比例-积分环节的转折频率小于系统剪切频率的5倍以上 比例、积分和微分的PID控制作用 PID控制器的传递函数可描述为： （20-4）同时，这个传递函数也可描述为如下零、极点串联的形式 （20-5）比较公式（20-4）和公式（20-5），可得两种形式参数之间的关系 , ， 这样，以式（20-5）形式出现的校正环节可用式（20-5）的PID控制器实现，具体应用将在下一单元详述 然而，更有用的是考虑参数时，可以直接得到P、PI和PD串联的形式 （20-6） 当改变比例系数Kp时可以直接调整系统带宽，从而得到不同的相位稳定裕度PM由于一般实际控制系统总是具有低通滤波器的特征（随频率增加幅值衰减、相移滞后），故通常只要降低带宽（减小Kp）,系统总能稳定。
然而减小Kp会降低增益，从而增大系统偏差，故可使用PID控制器的PI环节提高低频段（ω<1/Ti）的增益来降低稳态误差同时，调整PD环节的参数(1/Td)可适当增加系统稳定裕度，从而改善系统稳定性和相对稳定性与前面单元所述的超前环节与滞后环节的校正方式不同，PID控制器可以通过其积分环节改变系统的类型同时，由于PID控制器的标准形式有利于形成独立产品，且参数容易理解和调整，也便于建立某些工程整定的方法PID 控制器参数的工程整定方法PID工程整定方法是由经典的频率设计法化简得来的，虽似粗糙，但简便易行，适于现场应用这类方法的最大优点在于不需推导被控对象的数学模型，为那些难于准确得到数学模型的许多工业控制现场提供了比较简便的参数调整方法1）飞升曲线法如图20-4所示，采用飞升曲线法整定PID参数时需要断开控制器作用，让系统处于开环手动操作的状态应将被控量调节到典型给定值附近，并使之稳定后突然改变控制量，相当对被控对象施加一个阶跃输入信号然后记录被控量对阶跃输入的响应过程，并称其记录数据为飞升曲线，如图20-4所示图20-4 飞升曲线分析时通常可用一个带有纯滞后环节的一阶模型表示被控对象，即设开环传函 （20-7）表20-1 基于飞升曲线法的PID参数选择表 Kp Ti TdP T1/T0 ∞ 0PI 0.9 T1/T0 3.3T0 PID 1.2 T1/T0 2 T0 0.5 T0这里T0为纯延迟时间，T1为一阶惯性环节的时间常数。
若在曲线最大斜率处作切线，则该切线与时间轴的交点便是T0，而斜率的倒数则等于T1以T0和T1为参数通过查表20-1，可以得到PID控制器的参数Kp、Ti、Td如何应用控制原理解释上述参数整定方法呢? 这里采用频率响应法中稳定裕度的概念系统开环频率特性如图20-5所示，可见剪切频率，且有相频特性 （20-8）图20-5 频率特性根据表20-1给出的P控制器整定参数，将增益Kp=T1/T0代入（20-8）后可得相位裕度 （20-9）注意式中1表示1弧度（180°/π=57.3°），可见相位裕度只与参数比T1/ T0有关考虑通常T1/T0=2~10，故按表20-1中P控制器参数整定后的系统相位裕度应为60°~38°至于PI或PID控制器中积分时间常数Ti和微分时间常数Td的配置，无非要求确保前者的转折频率位于剪切频率的左面，且不宜过大而影响稳定裕度；后者的转折频率应位于剪切频率的右端，以便在不改变原来剪切频率的前提下能够适当增加稳定裕度然而由于比例积分环节总会在剪切频率处产生一定的相位滞后，因此与P控制相比，PI控制时应将Kp选得略小一些，以补偿比例积分环节相位滞后的消极影响而PID控制时则考虑比例-微分环节相移超前的积极作用，可将Kp选得略大一些。
针对传函可用式（20-7）表示的被控对象，完整PID控制系统的频率特性将在式（20-8）的基础上增加PD和PI的影响，其相频特性可表示为： （20-10）且描述其幅频和相频特性曲线的伯德图可如图20-6所示 图20-6 PID控制系统的频率特性 图20-7 飞升曲线法的整定效果考虑表20-1中推荐的PI增益Kp=0.9T1/T0，可以推出剪切频率再由表中可以导出这样，PI调节器系统的相位裕度便可计算为： （20-11）而从表20-1中推荐的PID参数可以看出，由增益Kp=1.2T1/T0可知剪切频率ωc=1.2/T0，再由该表中推荐的参数可以导出Ti =2.4/ωc，而由表中可以导出Td =0.6/ωc于是，系统的相位裕度可以计算： （20-12）分析公式（20-9）、（20-11）和（20-12），可见P、PI和PID三种形式的系统相位裕度均与参数比T1/ T0相关，它们之间的关系曲线如图20-7所示且当T1/T0=5的典型情况下，三种形式的系统相位裕度分别为44°、32.5°和40°2）临界比例度法表20-2 临界比例度法的参数选择 Kp Ti Td P 0.5Kk ∞ 0PI 0.45Kk 0.833Tk 0PID 0.6Kk’ 0.5 Tk 0.125Tk图20-8 临界比例度实验方法系统闭环工作条件下可用临界比例度法整定PID控制器参数。
如图20-8所示，首先去掉积分作用和微分作用（让Ti=∞，Td=0），只保留控制器的比例作用可先采用较小的比例系数Kp以确保系统稳定，然后逐渐增加Kp，使系统的过渡过程由缓慢、单调的过程逐步加快并变为带有超调的衰减振荡过程，直至最终系统发生持续等幅振荡此刻记下使系统发生振荡的临界比例度 d=1/Kk和系统的临界振荡周期Tk，然后通过查表20-2得到PID调节器的控制参数Kp、Ti,和Td的推荐参数值为了评价临界比例度法整定PID控制器参数的效果，这里采用幅值裕度的概念控制理论对于系统开环频率特性中剪切频率附近相角变化大而幅值变化小的情况，使用幅值裕度来评价相对稳定性是比较合适的表20-2中将增益Kp取为临界振荡增益的一半左右，意味着系统总增益也将减小一半左右，等价于幅值裕度为2，这是相对稳定性可以接受的常见指标要求下面再以典型被控对象为例，分析说明相应的相位裕度情况， 例20-2 针对被控系统传函 ，分析按临界比例度法整定PID参数后的系统相位稳定裕度解：考虑系统出现等幅振荡时必有开环相移等于180°且幅值等于KkK0，从图20-9所示频率特性可以看出系统临界振荡频率ωk = 2π/Tk处的相移 （20-13）图20-9 频率特性由于本质上系统结构参数只有T1和T0，公式（20-13）也已指出系统临界增益KkK0的实际值可由T1/T0 确定，它们之间的关系可由图20-9给出，且与控制器设计无关。
这样，按临界比例度法配置新的比例系数Kp后引起系统增益从KkK0下降到KpK0后产生的相位稳定裕量也只与系统的结构参数T1和T0有关如按表20-2中P控制方式的参数配置Kp=0.5Kk，则有系统相位稳定裕量 （20-14）将公式（20-13）代入，可知相位稳定裕量取决于系统增益（而增益取决于T1/T0） （20-15）如何考虑PI和PID控制方式下参数Kp、Ti和Td的配置呢？与前面飞升曲线时的讨论相似，考虑PI环节的相位滞后对相位稳定裕度的消极影响，可将增益降低一些；而PID方式下由于PD环节的相位超前作用，又可将增益提高一些表20-2中Ti和Td的配置依托于参数Tk（临界振荡周期），因为本例中幅频特性剪切频率附近的曲线斜率为-20db/dec，故临界状态下记录的震荡周期Tk与剪切频率ωc之间应有的简明关系这样，按表20-2中PI方式的参考数据Kp=0.45Kk和Ti=0.833Tk，可得相位稳定裕度 （20-16）同理，针对表20-2中PID方式的参考数据，可得相位稳定裕度 （20-17） 如图20-10所示，依据公式（20-15）、（20-16）和（20-17），可以绘出使用临界比例度法整定参数后的系统稳定裕度与系统结构T1/T0之间的关系曲线。
图20-10 针对例20-2的系统相位裕度分析 图20-11 针对例20-3的系统相位裕度分析例20-3 考虑被控系统传函 ，试估计临界比例度法设计PID控制器参。