押浙江卷第24题(圆的综合问题)押题方向：圆的综合问题1 命 题 探 究 卜中/考/命/题/预/测2023年浙江真题考点命题趋势2023年绍兴卷、湖州卷、衢州卷第21题台州卷、杭州卷、金华卷第23题宁波卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第24题圆的综合题从近几年浙江各地中考来看，圆的综合问题经常出现在压轴题；预计2024年浙江卷还将重视圆综合问题(圆的相关概念与定理、相似、勾股、三角函数、三角形、四边形等)的考查1 真题顾 i中/考/真/题/在/线1.(2023杭州)如图，在中，直 径 垂 直 弦 C于点E,连接AC,AD,B C,作于点尸,交线段0 2 于点G(不与点O,2 重 合)，连接尸.(1)若 B E=1,求 GE的长.(2)求证：BC2=BGBO.(3)F O=F G,猜想N C 4O 的度数，并证明你的结论.【思路点拨】(1)由垂径定理可得NAEO=90,结合可得N D 4E=/F C根据圆周角定理可得/D A E=/B C D,进而可得/2 C )=N P C D,通过证明BCE0 G C E,可得GK=BE=1；(2)证明A C B s/ic E B,根据对应边成比例可得8 c2=BA B E,再根据A8=2B。
B E=B G,可证2BC2=BGBO；(3)方法一：设NZM EuNCAEna,Z F O G=Z F G O=,可证 a=90-p,ZOCF=90-3 a,通过第 1 页 共 7 9 页SAS 证明COP会/XA尸，进而可得N O C/=/O A F 即 90-3a=a,则NCAD=2a=45延长尸交AC于点H,连接O C,证 明 是 等 腰 直 角 三 角 形，即可解决问题.【解析】(1)解：直 径 垂 直 弦CD,A ZAD=90 ,：.ZDAE+ZD=90,CFLAD,：.ZFCD+ZD=90,：.ZDAE=ZFCD,由圆周角定理得ND4E=/BCQ,：.ZBCD=ZFCD,在BCE和GCE中，Z B C E=Z G C E C E=C E ，Z B E C=Z G E C.BCE冬AGCE(ASA),；.GE=BE=1；(2)证明：TAB是的直径，ZACB=90,ZACB=ZCEB=90,?ZABC=ZCBE,：./ACB/CEB,.BC=BABE BC:.Bd=BA,BE,由(1)知 GE=BE,：.BE=BG,2AB2BO,:.BC?=BA-BE=2BO、BG=BG,BO；2(3)解：ZCAD=45,证明如下：解法一：如图，连接OC,FO=FG,：.ZFOG=ZFGO,;直 径A8垂直弦CD,.方法二:第2页 共7 9页；.CE=DE,ZAED=ZAEC=90,A AACEAADE(SAS),ZDAE=ZCAE,设NDAE=NCAE=a,NFOG=NFGO=B，则 ZFCD=ZBCD=/DAE=a,：OA=OCf：.ZOCA=ZOAC=a,V ZACB=90,：.ZOCF=ZACB-ZOCA-ZFCD-ZBCZ)=90-3a,.NCGE=NOG尸=0,ZGCE=a,ZCGE+ZGCE=90,/.p+a=90,a=90-p,NC0G=N0AC+N0CA=a+a=2a,NCO/=NCOG+NGOb=2a+0=2(90-0)+0=180-0,A ZCOF=NAO尸，在COb和AO/中，=45.【点睛】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证.2.(2023湖 州)如 图，在RtaA B C中，NAC3=90,点。
在 边AC上，以 点为圆心，OC为半径的半 圆 与 斜 边 相 切 于 点交OA于 点E,连 结08.(1)求证：BD=BC.(2)己知 OC=1,ZA=30,求 AB 的长.B.C o E A【思路点拨】(1)根据切线性质得到/2=9 0 ,再根据HL证明之R tO C B,从而得到结论；(2)分别在RtZOBC中，利用三角函数求出BC的长，和 在RtABC中，利用三角函数求出即可求出的长.【解析】(1)证 明 如 图，连 结),半圆与A 2相切于点J.ODLAB,第 4 页 共 7 9 页V ZACB=90a,：.ZO D B ZO C B 90,在 Rt/XODB 和 RtAOCB 中，rOB=OB,OD=OC,ARtAODBRtAOCB(H L),:.BD=BC；(2)解 如图，V ZA=30,ZACB=90,A ZABC=60 ,VRtAODBRtAOCB,ZCB0=ZDB0-j-ZABC=30o，在 RtZXOBC 中，OC=1,*BC=7_-=V3 tan30在 RtZXABC 中，AB=.=2V3-sinJU【点睛】本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题的关键.3.(2023金华)如图，点A 在第一象限内，O A 与 x 轴相切于点8,与 y 轴相交于点C,D,连结A 2,过点 A 作 A H,C D 于 点(1)求证：四 边 形 为 矩 形.(2)已知O A 的半径为4,O B=47求 弦 C)的长.【思路点拨】根据切线的性质得到4?8轴根据垂直的定义得到/A H O=N H O 8=/O B A=90。
根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；(2)连 接 A D,根 据 矩 形 的 性 质 得 到 AH=OB=板,根 据 勾 股 定 理 得 到DH=A D2_A H2=山 2 _(行)2=3,根据垂径定理即可得到结论.第5页 共7 9页【解析】(1)证明：,；O A 与 x 轴相切于点3,轴X.,AHXCZ),HO LOB,：.NAHO=NH0B=N0BA=9Q,四边形AHOB是矩形；(2)解：连接4,四边形AHOB是矩形，:.A H=O B=S，：AD=AB=4,DH=VAD2-AH2=-47)2=3,VAHXCD,【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出辅助线是解题的关键.4.（2023绍兴）如图，是的直径，C 是O上一点，过点C 作O的切线C交 的 延 长 线 于点过点A 作 AEJ_C）于点E.（1）若 N E 4c=25,求NACO 的度数；（2）若8=2,B D=,求 CE 的长.E【思路点拨】（1）由垂直的定义得到/AEC=90,由三角形外角的性质即可求出NACO的度数；（2）由勾股定理求出C的长，由平行线分线段成比例定理得到型代入有关数据，即可求出CECE 0A的长.【解析】解：（1）.AEJ_C）于点E,ZAC=90 第6页 共7 9页A ZACD=ZAEC+ZEAC=900+25=115(2).CZ)是。
的切线，,半 径 OCLDE,NOCD=90,V OC=OB=2,BD=,：.0D=0B+BD=3,C Z)=7OD2-OC2=正 ZOCD=ZAEC=90,OC/AE,.C 一D O二 D,C E O A.娓3 -,C E 2:.C E=-.3E【点睛】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出/A C D 的度数，由勾股定理求出的长，由平行线分线段成比例定理即可求出C E的长.5.（2023台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图，A 3 是O O 的直径，直线/是的切线，B 为切点.P,是圆上两点（不与点A 重合，且在直径A 8 的同侧），分别作射线AP,AQ交直线/于点C,点1）如 图 1,当A 8=6,弧 8 P 长为IT时，求 8 C 的长；（2）如图2,当 迪 旦，康=前 时，求 区 的 值；A B 4 CD（3）如图3,当sin/B A QBC=C时，连接8尸，PQ，直接写出型的值.4B P第7页 共7 9页AAA图1图2图3【思路点拨】(1)连 接。
尸，设NBOP的度数为小可得未 冗X 3 =6 0,即乙BOP=60,故/18 0BAP=3O，而直线/是O O 的切线，有乙48c=90,从而B C=2我；V3(2)连接B Q,过点C 作 C/_LAO于点孔 求出cos/B A Q=蚂=3,由第=前，得/B A C=/D A C,A B 4有 C F=B C,证明/八7即 得 受=3,故 区=3；CD 4 CD 4(3)连 接B Q,证明APQSZA Q C,得 里=理 ，证明APBszXABC,得 及=_ 巳，由B C=CD A D B C A BC D,将两式相除得：曳=旭，故 西=Y M.B P A D B P 4【解析】解：(1)如图，连接P,：A B=6,而长为 IT,.n H X 3 -IT,18 0：.n=60,即/B O P=60,：.ZBAP=3Q,:直 线/是的切线，A ZABC=90 ,.2C=tan30乂2=2 我；(2)如图，连接B Q,过点C 作 CPLAZ)于点R第8页 共7 9页AAB为O O 直径,：.ZBQA=90,cos ZBA Q=-=,A B 4,B P=PQ，：.ZBAC=ZD AC,V CFA,ABLBC,：.CF=BC,ZBAQZADB=90,ZFCD+ZADB=90,：.ZFC D=ZBAQfcosZFCD=cosZBA2=,.CF-3 一 一 ,CD 4.B C_ 3 -;CD 4（3）如图，连接BQ,*ABBC,BQAD,NA5Q=90-NQBD=NADC,*.ZABQ=ZAPQ,：.ZAPQ=ZAD C9：ZPAQ=ZDAC,：.AAPgAADC,.里二空，CD A DV ZABC=90=NAPB,ZBAC=ZPAB,第9页 共7 9页A A P B A A B C,.此 ，B C A B由B C=a),将两式相除得:PQ =A BB P A D),.,cosN2AQ=岖=5 _,A D 4 PQ_VTO B P T【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用.6.(2023衢州)如图，在中，ZACB=90 ,。
为 AC边上一点，连结0 8.以 OC为半径的半圆与A 8边相切于点交 AC边于点E.(1)求证：BC=BD.(2)若 OB=OA,AE=2.求半圆的半径.求图中阴影部分的面积.【思路点拨】(1)连 结O D.由切线的性质得出/2=90,证 明 RtAODBRtAOCB(H L),由全等三角形的性质得出BC=BD.(2)证出/O 8 O=/O B C=/A=3 0 ,由直角三角形的性质得出答案；由勾股定理求出&2如，/460,由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案.【解析】(1)证明：如图，连 结DZ O D B=90 ,第 1 0 页 共 7 9 页V ZACB=90,OC=OD,OB=OB,：.RtAODBRtAOCB(H L),：.BC=BD.(2)解：OBOA,：.ZO B D=ZA,VRtAODBRtAOCB,：.ZO BD=ZO BC,：.ZOBD=ZOBC=NA,Z OBD+ZOBC+ZA=90,：.ZO BD=ZO BC=ZA=30,在 RtZOD4 中，sin/A=?D,OA：.O D=O A.2OD=OE,：.OE=-OA,2；*OE=AE=2,半圆的半径为2.在 RtZOZM 中，OD=2,OA=4,：-A D=VO A2-O D2=2 ,SOAD=-|O D-AD=y x 2 X 2V=2百，V Z A=30,ZAOD=6Q,S阴 影 部 分=SaOOA-S 扇 形。
OE=2a-蚓8 1=2 好空.360 3【点睛】此题考查了切线的性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.7.(2023宁波)如 图 1,锐角ABC内接。