立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点 ：① 由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路 ② 立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线 （或面）是解题的常用方法之一③ 明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应 结论垂直转化：线线垂直 0线面垂直 U面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）等腰（等边）三角形中的中线0菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形4 i：i：2的直角梯形中 ⑤ 利用相似或全等证明直角例：在正方体ABCD -AiBiGDi中，0为底面ABCD的中心,E为CCi,求证：AO _ 0E（2）异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD中，求证AC — BD变式1如图，在四棱锥P - ABCD中，底面AB CD是矩形，已知AB =3, AD = 2,PA = 2,PD = 2.2,. PAB = 60 .证明：AD _ PB ;D变式2 如图，在边长为2的正方形 ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△ AEDA DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于 a'.求证：A'D _ EF ；变式3如图，在三棱锥P-ABC中，"PAB是等边三角形，/PAC=ZPBC=90 o证明:AB丄 PC类型二：线面垂直证明方法① 利用线面垂直的判断定理例2:在正方体 ABCD - ABQD!中，0为底面ABCD的中心,E为CC「求证：A0 _平面BDE变式1 :在正方体 ABCD - A^GD中，，求证：AC _平面BD®变式2 :如图：直三棱柱 ABC— A1B1C1中， AC=BC=AAi=2 ,ZACB=90 .E为BBi的中点，D点在 AB上且DE=・3求证:CD丄平面AiABBi；变式 3 :女口图，在四面体 ABCD 中，0、E求证:A0 _平面BCD;ECA 二 CB 二 CD 二 BD = 2 , AB 二 AD = 2.变式4如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P 一 ABCD中，AD II BC, /ABC=90° PA 丄平面 ABCD . PA=3, AD =2 , AB=2>/3 , BC=61求证：BD _平面PAC例3:在三棱锥P-ABC中，PA _底面ABC ,面PAC _面PBC， 求证：BC _面PAC 。
方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直变式1,在四棱锥P - ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且面PAB _底面ABCD，求证:BC _面PAB变式2 :例1如图，已知AB —平面ACD ,AD =DE =2AB，F 为 CD 的中点•⑴求证:AF //平面BCE ；(2)求证:平面BCE —平面CDE ；DE —平面ACD,^ ACD为等边三角形Zi\类型3 :面面垂直的证明本质上是证明线面垂直 )P例2 如图，在四棱锥P - A B C中 ， PA _底面ABC ,DAB 丄 AD，AC 丄 CD, NABC=60° PA=AB=BC, E 是 PC 的中点(1)证明 CD — AE ； ( 2)证明 PD —平面 ABE ；变式1已知直四棱柱 ABCD— A'B'CD的底面是菱形，.ABC =60 , E、F分别是棱CC与 BB '上的点,且 EC=BC=2 FB=2 .(1)求证：平面AEF丄平面AA C C;举一反三1•设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题① a//ba _M=b _M②已-M b _M=a//b ③ a-M a丄b=b //M④ a//M a _ b=b 丄 M.其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 （ ），则这条直线垂直于这个平面，则这条直线垂直于这个平面A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线B若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形 ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ ADE、A CDF和厶BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为 P那么，在四面体P—DEF中，必有 （ ）A.DP丄平面PEFCPM丄平)P(A^.C)D.PF丄平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 （第3题图A.过不在a、b上的一点P 一定可以作一条直线和a、b都相交B过不在a、b上的一点P 一定可以作一个平面和 a、b都垂直C.过a 一定可以作一个平面与 b垂直D.过a 一定可以作一个平面与 b平行5. 如果直线l,m与平面a 3丫满足：l= BQ Y 〃am a和m丄丫,那么必有 （ ）A. a丄且I丄 m B.a丄且 m C.m 〃且l丄m D. a 〃且a丄丫6. AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2, PC=1 ,则P到AB的距离为 （ ）2（5 3灯'5A.1 B.2 C. D.-5 57. 有三个命题：① 垂直于同一个平面的两条直线平行 ；② 过平面a的一条斜线I有且仅有一个平面与 a垂直；③ 异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与 b都不垂直其中正确命题的个数为 （ ）A.0 B.1 C.2 D.38. d是异面直线 a、b的公垂线，平面a、0满足a丄a, b±3,则下面正确的结论是（ ）A. a与B必相交且交线B. a与B必相交且交线C. a与B必相交且交线D. a与p不一定相交m lid或m与d重合m Id但m与d不重合m与d 一定不平行9. 设I、m为直线，a为平面，且I丄a,给出下列命题① 若m丄a,则m II ；②若m丄I,则m //a；③若m //a,则m丄I；④若m II,则m丄a,其中真命题的序号是A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④10. 已知直线I丄平面a,直线m 平面p,给出下列四个命题：①若alp贝y I丄m ；②若a±p,则I Im ；③若I Im ,贝U a丄p；銷I丄m ,贝U al p 其中正确的命题是 （ ）A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与②、思维激活11. 如图所示,△ ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面a的同侧，它们在a第11题图=3cm , BB'=5cm , CC' =12. 如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1 — ABCD中,当底面四边形 ABCD满足条件 时,有AQ丄B1D1（注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形 ）13. 如图所示，在三棱锥 V — ABC中，当三条侧棱 VA、VB、VC之间满足条件 时，有VC丄AB.（注：填上你认为正确的一种条件即可 ）三、能力提高14.如图所示，三棱锥 V-ABC中,AH丄侧面VBC,且H是厶VBC的垂心,BE是VC边上的高•（1）求证:VC丄AB;⑵若二面角E-AB— C的大小为30。
求VC与平面ABC专业word可编辑16.如图所示，在四棱锥P— ABCD中，底面ABCD是平行四边形,AB=4, AD = 2,侧棱 PB= ,15 , PD= .3.(1)求证:BD丄平面PAD.⑵若PD与底面ABCD成60的角，试求二面角 P— BC— A的大小.所成角的大小15.如图所示，P从矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.⑴求证：MN //平面PAD.(2) 求证：MN丄CD.第16题图⑶若ZPDA= 45 °，求证：MN丄平面PCD.17.已知直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，/ACB=90 °/BAC=30 °,BC=1 , AAi= .. 6 , M 是 CG的中点，求证：ABi±AiM.18.如图所示，正方体ABCD— A'B'CD'的棱长为a, M是AD的中点，N是BD上一点，且 D N NB = i :, MC 与 BD 交于 P.(1) 求证：NP丄平面ABCD.第18题图(2) 求平面PNC与平面CC'D'D所成的角.(3) 求点C到平面DMB的距离.第4课线面垂直习题解答1. A 两平行中有一条与平面垂直 ，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行•2. C 由线面垂直的性质定理可知 •3. A 折后 DPI PE,DP丄 PF, PE± PF.4. D 过a上任一点作直线 b' b,则a, b确定的平面与直线 b平行•5. A 依题意,m丄丫且m二a,则必有a丄丫又因为1= 则有I二丫,而m丄丫则I丄m，故选A.6. D 过 P 作 PD 丄 AB 于 D ,连 CD ,贝U CD 丄 AB , AB=、AC2 BC2 ,AC BC 2CDAB 寸5••PD= .. PC2 CD27. D 由定理及性质知三个命题均正确8. A 显然a与3不平行•9. D 垂直于同一平面的两直线平行 ，两条平行线中一条与平面垂直 ，则另一条也与该平面垂直.10.B Ta//3,丄a,「l 丄 m「 3 211. cm22设正三角ABC的边长为a.•••AC2= a2+1, BC2= a2+1, AB2 = a2+4 ,又 ac2+bc2=:AB2,「.a2=2 .S j3SaabC=42 3 2a cm .212.在直四棱柱 AiBiCiDi — ABCD中当底面四边形 ABCD满足条件AC丄BD（或任何能推导出 这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等）时，有AiC丄BiDi（注:填上你认为正确 的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型 ，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一，要求思维应灵活.13. VC丄VA, VC丄AB.由 VC丄VA, VC丄AB 知 VC丄平面 VAB.14. （i）证明：--H VBC 的垂心,•••VC丄BE又AH丄平面VBC,•BE为斜线AB在平面VBC上的射影，「AB丄VC.⑵解:由⑴知VC丄AB,VC丄BE•VC丄平面ABE,在平面 ABE上 作ED±AB,又AB丄VC,•AB丄面 DEC.•••AB丄CD,「.zEDC为二面角E— AB— C的平面角， •••zEDC=30 ° '-AB 丄平面 VCD,•••VC在底面ABC上的射影为CD.• 2VCD为VC与底面ABC所成角 又VC丄AB,VC丄BE •VC丄面 ABE,「.VC丄DE,•••zCED=90 °故 /ECD=60 °•VC与面ABC所成角为60 °15. 证明：⑴如图所示，取PD的中点E,连结AE, EN,。