新编高等数学 理工类第六版 教案 第九章第四节 多元复合函数微分法

沈阳工程学院 第四节 多元复合函数微分法第四节 多元复合函数微分法 Differential of Multiple Composed Function 教学目的教学目的: 掌握复合函数微分法及隐函数微分法 课题课题: 复合函数微分法;隐函数的微分法. 教学重点教学重点: 复合函数及隐函数求导 教学难点教学难点: 复合函数及隐函数求导 教学方法教学方法: 精讲:复合函数和隐函数微分法;多练:复合函数和隐函数求导 教学内容教学内容: 一、复合函数微分法一、复合函数微分法 设函数( , )zf u v,而, u v都是, x y的函数,( , ),( , )ux y vx y,于是z  [ ( , ), ( , )]fx yx y是, x y的函数,称函数z [ ( , ), ( , )]fx yx y为( , )zf u v与 ( , ),( , )ux y vx y的复合函数. 二元复合函数有下列的微分法则,称为锁链法则或链法则. 定理定理 1设( , ),( , )ux y vx y在点( , )x y处有偏导数,( , )zf u v在相应点 ( , )u v有连续偏导数,则复合函数z [ ( , ), ( , )]fx yx y在点( , )x y处有偏导数 , zzuz vzzuz v xu xv xyu yv y            (1) 证明略. 【例例 1】 设 22 22 ln(),, xy zuv uevxy  ,求, zz xy   . 解解因为 22 22 21 ,2 ,2,1,, 1 xyxy uvuvzuz exye xxyyuuvuv     ,所以 2 2 2 2 2 2 22 22 222 22 22 222 21 2 2 () 21 21 1 (41) xy xy xy xy xy xy zzuz v xu xv x u ex uvuv ex exy zzuz v yu yv y u ye uvuv ye exy                             【例例 2】 求 22 ()xyzxy的偏导数. 解解令 22, uxy vxy,则 v zu,因为 1 2 ,,2 ,,,ln vv uvuvzz xyyxvuuu xxyyuv     所以 沈阳工程学院 1 2 2222 22 2(ln ) 2 ()ln() vv xy zzuz v xu xv x vuxuu y x y xyyxy xy               根据函数 22 ()xyzxy关于, x y的对称性,可相应写出 2 2222 22 2 ()ln() xy zxy xyxxy xxy      多元复合函数的复合关系多种多样,但根据锁链法则,我们可以灵活掌握复合函数的求导 法则.下面讨论几种情形. 1.只有一个自变量 设( , ),( ),( )zf u v ux vx,则复合函数[ ( ), ( )]zfxx的导数为 dzz duz dv dxu dxv dx    (2) 这里( , )zf u v是, u v的二元函数,而, u v都是x的一元函数,则[ ( ), ( )]zfxx是x的一 元函数,这时复合函数对x的导数 dz dx 称为全导数. 【例例 3】 设 22 ,sin , uv zeux vx  ,求 dz dx . 解解 dzz duz dv dxu dxv dx    2 22 sin2 cos( 2) 2 (cos4 ) uvuv xx exex exx     2.中间变量和自变量多于两个的情形 若( , , ),( , , )ux y z vx y z,则复合函数( , )[ ( , , ), ( , , )]wf u vfx y zx y z的偏 导数为 ww uw v xuxvx ww uw v yuyvy ww uw v zuzvz            (3) 若( , , )wf u v t,而( , ),( , ),( , )uu x y vv x y tt x y,则复合函数[ ( , ),wf u x y ( , ), ( , )]v x y t x y的偏导数为 ww uw vw t xuxvxtx     ww uw vwt yuyvyty     【例例 4】 设 2 (,,)wf xxy xyz,求,, www xyz   . 解解设 2, ,ux vxy txyz,则 沈阳工程学院 2 ww uw vwtwww xyyz xuxvxtxuvt      ww uw vwtww xxz yuyvytyvt      ww uw vw tw xy zuzvztzt     3.特殊情形 若( , , ),( , )zf u x y ux y,则复合函数[ ( , ), , ]zfx y x y可看作是,vx ty的 特殊情形,此时, x y既是自变量,同时又与y一起形成中间变量, ,u x y.因此1, v x    0, t x    0,1 vt yy    .故 , zfufzfuf xu xxyu yy        在上式中 z x   (或 z y   )表示复合函数[ ( , ), , ]zfx y x y对自变量x(或y)的偏导数(此 时把自变量y(或x)看成常数);而 f x   (或 f y   )表示函数( , , )zf u x y对中间变量x(或y)的 偏导数,此时, ,u x y皆为中间变量.求 f x   (或 f y   )时,把中间变量, u y(或x)看成常数,所以 z x   (或 z y   )与 f x   (或 f y   )的意义是不同的,不可混淆. 【例例 5】 设( , cos )zf x xy,求 z x   , z y   . 解解设cosuxy,则 cos sin zfuf dxff y xu xx dxux zfuf xy yu yu            二、隐函数的微分法二、隐函数的微分法 在一元函数中,我们曾学习过隐函数的求导法则,但未给出一般公式.下面由复合函数的 求导法则推导出隐函数的求导公式. 设方程( , )0F x y 确定了隐函数( )yf x,将其代入方程,得 [ , ( )]0F x f x 两端对x求导,得 '' 0 xy dy FF dx  若 ' 0 y F ,则有 ' ' x y Fdy dxF   若方程( , , )0F x y z 确定了隐函数( , )zf x y,将( , )zf x y代入方程得 沈阳工程学院 [ , , ( , )]0F x y z x y 两端对, x y求导数得 '''' 0,0 xzyz zz FFFF xy    若 ' 0 z F ,则得 ' ' '' , y x zz F Fzz xFyF      【例例 6】 设 22 1xy,求 dy dx . 解解因 22'' ( , )1,2 ,2 xy F x yxyFx Fy,所以 ' ' 2 2 x y Fdyxx dxFyy     【例例 7】 设 222 234xyzx,求 2 ,, zzz xyx y    . 解解令 222 ( , , )234F x y zxyzx,则 ''' 24,4 ,6 xyz FxFy Fz 故 ' ' ' ' ' 2 22 3 242 63 42 63 221 33 2122 333 2(2) 9 x z y z y Fzxx xFzz F zyy yFzz zxx x yyzz xzxy xyzz x y z                           课堂练习课堂练习: 1.设 222 ln ,2,zuv uxy vxy,求, zz xy   . 2.设 2 sin0 x ex yy,求 dy dx . 小结小结: 多元复合函数和隐函数求导既是本章的重点也是难点之一。

解决多元复合函数求导的关 键是正确分清所给具体问题中的几个变量，谁是因变量，谁是中间变量，谁是自变量 作业作业:P173- 2,4 。