在平面上画立体图形1．三视图是指我们从三个方向所看到的图形，分为从正面看到的正视图、从左面看到的左视图(或从右面看到的右视图)和从上面看到的俯视图．(1)画出下面几何体的三视图．提示：该几何体的三视图如下．(2)某几何体的三视图如下，则该几何体是______．提示：四棱锥2．斜二测画法的规则是：(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°；(2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.x′O′y′所确定的平面表示水平平面；(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段；(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．如图所示的直观图的平面图形是( )．A．任意梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形提示：由于直观图中，AD∥x轴，BC∥x轴，AB∥y轴，所以在原图中，BC∥AD，AB⊥AD，且BC≠AD，因此该平面图形是直角梯形．3．投影中心距投影面有限远时，投射线都经过投影中心的投影法叫作中心投影法，用此法得到的投影叫作中心投影 (也称作透视投影)．如果所有的投射线都互相平行，或看成投影中心在无限远处，这种投影法叫作平行投影法，用此法得到的投影叫作平行投影．一、画简单几何体的三视图【例1】画出如图所示六棱柱的三视图：→→→→解：三视图如图所示：在画三视图时，一定要按照三视图的画法规则和三视图方向的选择，以及三视图的排列规则，即正视图在左，左视图在右，俯视图在正视图的正下方，而且要符合“长对正、高平齐、宽相等”．1－1作出下面几个几何体的三视图．(1)正方体；(2)圆柱．解：(1)正方体：如图：(2)圆柱：如图：二、画简单组合体的三视图【例2】如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．解答本题可根据长方体的轮廓线和各面交线画出三视图．解：长方体截角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图如图：对于较复杂的组合体，关键是要观察清楚截面轮廓线和分界线，并注意有无遮挡，被遮挡部分的轮廓线用虚线表示．未被遮挡的轮廓线要画成实线，画完图后要注意检查．2－1如图(1)所示的一个几何体，在图(2)中是该几何体俯视图的是( )．图(1)图(2)解析：由几何体知，该物体是由一个长方体和一个截角三棱柱组成的，结合它们的轮廓线和交线可知它的俯视图应为C.答案：C2－2画出下面几何体的三视图．解：物体的三视图如下：三、由三视图还原几何体【例3】根据下图所给出的物体的三视图，试画出它的形状．由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．解：实物图如图所示．由三视图想象几何体也要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本特征，想象视图中每部分对应的实部的形象，特别注意几何体中与投射面垂直或平行的线及面的位置．3－1如下图所示，这是一个几何体的三视图，试根据三视图想象出原型并画出其形状．解：该物体是一个正四棱台，其上底面边长为20，下底面边长为40，高为15，其形状如下图所示．四、利用斜二测画法画直观图【例4】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．解答本题可先利用几何体图形的对称性建系，再利用斜二测画法的规则及步骤画出直观图．解：画法：(1)画轴画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图顺次连结PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质还是各顶点的确定．4－1画出水平放置的正五边形的直观图．解：(1)在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，过点O与y轴垂直的直线为x轴，分别过B，E作GB∥y轴、HE∥y轴，与x轴分别交于G，H.画对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以点O′为中心，在x′轴上取G′H′＝GH，分别过G′，H′，在x′轴的上方，作G′B′∥y′轴，H′E′∥y′轴，使G′B′＝GB，H′E′＝HE；在y′轴的点O′上方取O′A′＝OA，在点O′下方取O′F′＝OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′＝CD.(3)连结A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，所得五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图．五、斜二测画法的逆用【例5】图形A′B′C′D′是一个平面图形的直观图，∠A′＝45°，请画出它的实际图形．→→→解：(1)在原图中建立如图①所示的坐标系x′O′y′，再建立一个直角坐标系，如图②所示；(2)图②中的四边形ABCD就是所要求的实际图形．将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度为原来的2倍．5－1如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，将其恢复成原图形．解：画法：(1)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)在题干图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.(3)连结AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．六、投影【例6】在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的是__________．①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．解析：①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B，C，D，A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝，故四边形AGD′E不是菱形．对于③由②知是两个边长对应相等的平行四边形，从而③正确．答案：①③本类型问题多为选择或填空题，应抓住已知图形中的端点，确定端点在投影面的位置，进而确定投影图形．6－1两条相交直线的平行投影是( )．A．两条相交直线 B．一条直线C．一条折线 D．两条相交直线或一条直线解析：若光线与两相交直线所在平面平行，则投影是一条直线；否则，投影是两条相交直线．答案：D6－2如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列说法正确的是( )．A．内心的平行投影还是内心B．重心的平行投影还是重心C．垂心的平行投影还是垂心D．外心的平行投影还是外心解析：由平行投影的性质可知，三角形各边的中点的投影还是投影后三角形各边的中点，故三条中线的交点的平行投影不变，还是重心．答案：B。