浅谈定义、命题、定理与推论的学习今天来讲讲如何读数学书的问题，一般数学书总是通过定义（definition） 、命题（proposition） 、定理（theorem） 、推论（corollary）等等展开其基本内容，下面我就分别对它们做一个阐述先来看定义，这是数学中最基础的部分，如果连定义弄不明白的话，那说明那本书你暂时还看不了 但不要因为好像很容易， 就把定义一带而过， 要思考一下这个定义动机的什么，然后举一些简单的例子 很多书上在定义后面都会附带几个例子， 一般而言总是要比你举的例子典型一些，这时你就可以品味一下其中的味道假若不幸你举的例子比书上典型，可能是你对此领域非常有天赋， 但也可能是这本书的质量太差了， 这是可以考虑更换一些高级著作定义之后就是命题与定理， 它们是区分与自身的重要性和证明的复杂性有关， 这里并没有什么绝对的标准 这里我把证明简明短小的结论称为小命题， 而把证明复杂冗长的结论称为大定理，这和书上所标注的情况有所出入书上的有些结论可能原先证明比较麻烦，后来引入先进工具之后证明得到简化，但是由于历史原因，我们依然称其为定理；而一些结论的证明比较复杂，却只是重要结论的一个前提铺垫，也就只能被称为命题，假若这样的复杂结论偏离主线的话，那么更加适合的称呼则是引理（lemma） 。
对于那些小命题的证明， 一般我们在阅读时是容易掌握的， 特别是那些比较不乏机智的小证明，非常值得细细品味充分理解小命题的证明，对于研究大定理的证明，将是非常关键的 对于初学者而言， 大定理的证明并非一定要读透， 假若你觉得自己有能力把它消化掉，那自然是最好不过的了但是，这些大定理往往是数学家长时间的研究成果（不用自卑， 如果你自己在研究的话，你同样有那么多时间专门考虑那个问题） ，因此很可能导致初学者消化不良，最方便的办法莫过于记住结论之后，转而研究相应的注记（remark）或评论（comment） 假若实在要研读证明的话， 最好不要像编辑那样就是从头到尾的核对 （check），这样除了知道它正确之外，很少能得到额外的收获你应该尝试把定理拆解成若干命题， 然后对解决命题那样一一击破，看看还能不能得到一些额外的收获如果暂时做不到这一点，那说明你可能不适合读这个证明最后，你可以考虑一下有什么重要的特例，其中的条件是不是可以弱化， 条件强化后有没有新的结论 如果有了什么收获， 不妨自己来写上几条评论，写一点东西对提高自信心总是大有帮助的 严格的说，推论并不是一个单独的命题或者定理，最好不是借助定理把推论证明出来，而是要从定理中把推论给看出来。
如果你能够把从定义得到命题、 然后又从定理中看出推论的话，那么即使在定理的证明中有一些细节没吃透，也基本上可以说是学有小成了如何理解高度抽象的数学概念昨天录完讲范畴部分的讲座，发现像 category、scheme 这些高度抽象的数学概念是不容易讲清楚的，既然不容易讲得清楚，想必学习的时候也会遇到一些困难下面我来帮大家减轻一点负担，告诉大家几个破解此类抽象概念的秘诀秘诀一：体会 Motivation.要问一下为什么要有这样的概念，这样你可以得到一些处理这类概念的线索，不至于愣头愣脑的撞进去就 category 而言，它的 Motivation 主要有两个，一是避免集合论悖论，比如所有的群不构成集合，但说成 Group Category 就没问题了；二是可有同时刻画“点”与“射”，抽象之后得到 object 与 morphism.秘诀二：分清 Level.其实，这对于理解所有的概念都适用，不然头脑中就就可能变得乱糟糟一团然而，对于一些简单的概念，大脑可以自动完成了这个工作，若是概念比较复杂， 那么就得有意品味才能理解得清晰深刻 以scheme为例， ring→spectrum→ringed space（sheaf）→affine scheme→scheme 这条线索是非常适用的。
秘诀三：寻找 Model.要理解高度抽象的概念，找一些 example 是非常必要的，但更加受用则是 Model.如果一个 example 是我们所熟知的，既能够体现概念的主题（非平凡） ，又没有繁杂的枝节干扰，那么它就可以作为一个理想的 Model.比如对于 category 而言，不涉及对偶是可以用 Set Category 作为 Model， 涉及对偶的话不妨升级用 Group Category.此外，Model 并不限于 example，也包括一些平行概念，比如理解 scheme 时不妨用 manifold 作为Model.秘诀四：留意 Application.高度抽象的概念往往是自包含的，需要一定推论转化后才能使用， 假若对此不加注意， 那么就算是理解了一点也是死水一潭 即使后面专门学了应用，弄不好也是前后脱节，有用的找不到道理，有道理的发挥不了用处就 category 而言，它的一个应用是 morphism 的去对象化，也就是说讨论 morphism 的时候不借助 object，要证 明 f∈Hom(A,B)是双射，就直接找 g∈Hom(B,A),使得 fg=1B且 gf=1A.上述的 MLMA 就是破解抽象概念的常用秘诀，这里我希望各位同学能够从源头上理清思路，而不是遇到困难后再痛苦的走回头路。
如果能够从一开始就打出一块高地的话，后面的学习便会信心百倍势如破竹，学起来自然是轻松愉快的了本文作者 Strongart 是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流， 最后只能走上娱乐拯救学术的道路， 这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者 Strongart，欢迎访问 Strongart的新浪博客。