2013年数二-真题+答案

考研专业课咨询考研专业课咨询 ：：197—567—2201 考研专业课真题资料淘宝网址：考研专业课真题资料淘宝网址： 12013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． １．设１．设2)(),(sin1cosxxxx，当，当0x时，时， x （（ ）） （（A）比）比x高阶的无穷小高阶的无穷小 （（B）比）比x低阶的无穷小低阶的无穷小 （（C）与）与x同阶但不等价无穷小同阶但不等价无穷小 （（D）与）与x等价无穷小等价无穷小 2．已知．已知 xfy 是由方程是由方程1lncosxyxy确定，则确定，则    12limnfn n（（ ）） （（A））2 （（B））1 （（C））-1 （（D））-2 ３．设３．设  ]2 ,[, 2), 0[,sin)( xxxxf，，xdttfxF 0)()(则（则（ ）） （Ａ）（Ａ）x为为)(xF的跳跃间断点．的跳跃间断点． （Ｂ）（Ｂ）x为为)(xF的可去间断点． 的可去间断点． （Ｃ）（Ｃ）)(xF在在x连续但不可导．连续但不可导． （Ｄ）（Ｄ）)(xF在在x可导．可导． ４．设函数４．设函数  exxxexxxf ,ln11 ,) 1(1)(11 ，且反常积分，且反常积分 dxxf收敛，则（收敛，则（ ）） （（A））2 （（B））2a （（C））02a （（D））20 ５．设函数５．设函数xyfxyz，其中，其中f可微，则可微，则 yz xz yx（（ ）） （（A））)( '2xyyf （（B））)( '2xyyf（（C））)(2xyfx（（D））)(2xyfx 6．设．设kD是圆域是圆域1| ),(22yxyxD的第的第k象限的部分，记象限的部分，记kDkdxdyxyI)(，则（，则（ ）） （（A））01I （（B））02I （（C））03I （（D））04I 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则 （（A）矩阵）矩阵 C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．的行向量组等价． （（B）矩阵）矩阵 C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．的列向量组等价． （（C）矩阵）矩阵 C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．的行向量组等价． （（D）矩阵）矩阵 C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．的列向量组等价． 考研专业课咨询考研专业课咨询 ：：197—567—2201 考研专业课真题资料淘宝网址：考研专业课真题资料淘宝网址： 28．矩阵．矩阵 1111aabaa与矩阵与矩阵 00000002b相似的充分必要条件是相似的充分必要条件是 （（A））2, 0ba （（B））0a，，b为任意常数为任意常数 （（C））0, 2ba （（D））2a，，b为任意常数为任意常数 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．．   xxxx10)1ln(2lim ．． 10．设函数．设函数dtexfxt 11)(，则，则)(xfy 的反函数的反函数)(1yfx在在0y处的导数处的导数0|ydydx．． 11．设封闭曲线．设封闭曲线 L 的极坐标方程为的极坐标方程为 663cosrt为参数，则为参数，则 L 所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为 ．． 12．曲线上．曲线上21lnarctantytx 对应于对应于1t处的法线方程为处的法线方程为 ．． 13．已知．已知xxxxxxeyxeeyxeey2 32 223 1,,是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0( ', 0)0(yy方程的解为方程的解为 ．． 14．设．设 ijaA 是三阶非零矩阵，是三阶非零矩阵，A为其行列式，为其行列式，ijA为元素为元素ija的代数余子式，且满足的代数余子式，且满足)3 , 2 , 1,(0jiaAijij，则，则A= ．． 三、解答题 15． （本题满分． （本题满分 10 分）分） 当当0x时，时，xxx3cos2coscos1与与nax是等价无穷小，求常数是等价无穷小，求常数na,．． 16． （本题满分． （本题满分 10 分）分） 设设 D 是由曲线是由曲线3xy， 直线， 直线ax)0(a及及x轴所转成的平面图形，轴所转成的平面图形，yxVV ,分别是分别是 D 绕绕x轴和轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若轴旋转一周所形成的立体的体积，若yxVV10，求，求a的值．的值． 17． （本题满分． （本题满分 10 分）分） 考研专业课咨询考研专业课咨询 ：：197—567—2201 考研专业课真题资料淘宝网址：考研专业课真题资料淘宝网址： 3设平面区域设平面区域 D 是由曲线是由曲线8,3,3yxxyyx所围成，求所围成，求Ddxdyx2．． 18． （本题满分． （本题满分 10 分）分） 设奇函数设奇函数)(xf在在1 , 1上具有二阶导数，且上具有二阶导数，且1) 1 (f，证明：，证明： （（1）存在）存在) 1 , 0(，使得，使得 1'f；； （（2）存在）存在) 1 , 1(，使得，使得1)()( ff．． 19． （本题满分． （本题满分 10 分）分） 求曲线求曲线)0, 0( 133yxyxyx上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20． （本题满分． （本题满分 11）） 设函数设函数xxxf1ln)( ⑴求⑴求)(xf的最小值；的最小值； ⑵设数列⑵设数列 nx满足满足11ln1nnxx，证明极限，证明极限nnx lim存在，并求此极限．存在，并求此极限． 21． （本题满分． （本题满分 11）） 设曲线设曲线 L 的方程为的方程为)1 (ln21 412exxxy．． （（1）求）求 L 的弧长．的弧长． （（2）设）设 D 是由曲线是由曲线 L，直线，直线exx , 1及及x轴所围成的平面图形，求轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标．的形心的横坐标． 22．本题满分．本题满分 11 分）分） 设设      bBaA110,011，问当，问当ba,为何值时，存在矩阵为何值时，存在矩阵 C，使得，使得BCAAC，并求出所有矩阵，并求出所有矩阵 C．． 23（本题满分（本题满分 11 分）分） 设二次型设二次型2 3322112 332211321)()(2),,(xbxbxbxaxaxaxxxf．记．记   321321 ,bbbaaa．． （（1）证明二次型）证明二次型f对应的矩阵为对应的矩阵为 TT2；； （（2）若）若,正交且为单位向量，证明正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为在正交变换下的标准形为 2 22 12yy．． 考研专业课咨询考研专业课咨询 ：：197—567—2201 考研专业课真题资料淘宝网址：考研专业课真题资料淘宝网址： 42013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １． 【详解】显然当１． 【详解】显然当0x时时)(~21~)(sin,21~)(sin1cos2xxxxxxx，故应该选（，故应该选（C） ．） ． 2． 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．． 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义． 【 详 解 】 将【 详 解 】 将0x代 入 方 程 得代 入 方 程 得1)0(fy， 在 方 程 两 边 求 导 ， 得， 在 方 程 两 边 求 导 ， 得01') ')(sin(yyxyyxy，代入，代入1, 0yx，知，知1)0( ')0( 'fy．． 2)0( '22)0()2( lim212lim     fnfnfnfn nn，故应该选（，故应该选（A） ．） ． ３． 【详解】只要注意３． 【详解】只要注意x是函数是函数)(xf的跳跃间断点，则应该是的跳跃间断点，则应该是xdttfxF 0)()(连续点，但不可导．应选（Ｃ） ．连续点，但不可导．应选（Ｃ） ． ４． 【详解】４． 【详解】 eedxxxxdxdxxf1111ln1 ) 1()(，， 其中其中10111) 1(eetdt xdx当且仅当当且仅当11时才收敛；时才收敛； 而第二个反常积分而第二个反常积分xxdxxx xe lnlim11|ln1 ln111， 当且仅当， 当且仅当0a才收敛．才收敛． 从而仅当从而仅当20时，反常积分时，反常积分 dxxf才收敛，故应选（Ｄ） ．才收敛，故应选（Ｄ） ． ５．【详解】５．【详解】)( '2)( ')(1)( ')(22xyyfxyyfxyfxxyfxyxyfxy yx yz xz yx   ． 应该选（． 应该选（A） ．） ． 6． 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知． 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 考研专业课咨询考研专业课咨询 ：：197—567—2201 考研专业课真题资料淘宝网址：考研专业课真题资料淘宝网址： 522122110222)1(|cossin31)sin(sin31)cos(sin)(kkkkkkDkddrrddxdyxyIk所以所以32,32, 04231IIII，应该选（，应该选（B） ．） ． 7． 【详解】把矩阵． 【详解】把矩阵 A，，C 列分块如下：列分块如下：nnCA,,,,,,,2121，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),, 2 , 1(2211nibbbniniii，得到矩阵，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时由。