第 2 讲逻辑用语与充分、必要条件|知识梳理1、充分条件、必要条件与充要条件的概念定义法判断充分条件、必要条件牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围注：注意区别夕是q 的充分不必要条件与P的充分不必要条件是4 两者的不同.若p=q,则 是的充分条 件,q是 的必要条件p是q的充分不必要条件p0q 且 4p是q的必要不充分条件，分q且q0PP是q的充要条件PlP是q的既不充分也不必要条件p 弁 q 且q分p(1)P是 q 的 充 分 不 必 要 条 件 且 44 p(注意标志性词：“是”，此时p 与 q 正常顺序)(2)P 的充分不必要条件是q o q n p 且夕4 q(注意标志性词：“的”，此时p 与 q 倒装顺序)集合判断法判断充分条件、必要条件若 p 以集合A的形式出现，q 以集合8 的形式出现，即 2：A=xp(x)J,q：B =xqx),则(1)若3,则 P 是 4 的充分条件；(2)若则P 是 的必要条件；(3)若则P 是 4 的充分不必要条件;(4)若则P 是 4 的必要不充分条件;(5)若 A=5,则 P 是 4 的充要条件；(6)若且人及8,则 P 是 4 的既不充分也不必要条件.传递法判断充分条件、必要条件(1)若P是 4 的充分条件，q是厂的充分条件，则P是 r 的充分条件；(2)若P是q的必要条件，q是 r 的必要条件，则是 的必要条件;(3)若P是q的充要条件，q是厂的充要条件，则P是厂的充要条件.等价转化法判断充分条件、必要条件由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题真假比较困难时(特别是那些带有否定性的命题)，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”.(1)P是 q 的充分不必要条件o f是P的充分不必要条件；(2)p 是 q 的必要不充分条件o 是 可 的必要不充分条件；(3)“是 q 的充要条件o r 是的充要条件；(4)p 是 q 的既不充分也不必要条件o r 是 力 的既不充分也不必要条件.2、全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等1_(2)全称命题和存在命题形全称命题特称命题语言表示对 M 中任意一个x,有 p(x)成立”中存在元素X 0,使 p(xo)成立符号表示VxM,p(x)a XQM,p(xo)(3)全称命题与特称命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p：VxeM ,p(x)p 的否定一/?：3x0 e M,r?1)；从一般形式来看，全称命题“对 M 中任意一个x,有 p(x)成立，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意xeM,M%)”的否定为 臼/eM ,全称命题PV%w M p(x)全称量词变为存在量词它的否定rp J 三 苑对结论进行否定全称命题的否定是特称命题对含有一个量词的特称命题的否定特称命题 p ：B xoe M ,p(x0)p 的否定：V%e M ,p(x)；从一般形式来看，特称命题“三/e M,p(x0)”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x0)进行否定,还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“现eM,(不)的 否 定 为 以 /,可 ”.命题P;:1%o M p(x0)存在量词变对结论进为全称量词行否定它的否定rp：VX)特称命题的否定是全称命题注:(1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论P(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.对没有量词的命题要结合命题的含义加上量词，再改变量词.(2)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(3)“夕或q”的否定为：“非 夕且非q”；且q”的否定为：“非 夕或非q”.常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等 于(=)大 于()小 于(0,乙：S J 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4.（2023天津）已知 a e R,贝!a 6”是“a2 36”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不允分也不必要条件5.（2023天津）设 a e R,贝！1“a 1”是“a2 a”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.（2023上海）已知 a、b E R ,贝！）“a2 b2”是“|a|网”的（）A.充分非必要条件C.充要条件B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.(2023浙江)若 a0,b 0,则“a+b*”是“ab q”的()A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.（2023天津）设 x e R,贝！x2-5x 0”是“|尤 4B.a3C.a 2D.a l【例 2-2（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六 校 2021届高三下学期第一次联考数学（理）试题）命题V xel,2,3/2 0”为真命题的一个必要不充分条件是（）A.a 4 B.a 2 C.a3 D.a 0 为假命题的一个充分不必要条件是（）A.（00,8u0,+oo）B.（8,0）C.（y D.-8,02、（云南省红河州第一中学20 21届高三年级理科数学第一次联考试题）是“I n x V d的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A.（f,2）B.（2,+co）C.（f,l n2）D.（i n2,+oo）3、（山西省吕梁市交城县20 22届高三核心模拟（下）理科数学（一）试题）“女 0,使得u W，成X+X+1立”的充要条件是（）A.a W B.a N C.a S D.aN 3 3 2 2（二）利用充分、必要条件求参数的取值范围【例 2-4】（20 23全国高三专题练习）已知集合A=X|X2-2.X-8 0,非空集合B =x -2 x 3+m x&B是x e A成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是.【例 2-5（20 23全国高三专题练习）已知P：尤 之。
染|x+2 a|3,且P是4的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.（-co,-1 B.（-co,-1）C.1,+8）D.（1,+8）【例 2-6（20 23全国高三专题练习）设x e R,a 2,条件4：x a,且 是 F 的充分不必要条件，则实数”的取值范围是（）A.l,+oo)B.(-oo,lC.-3,+oo)D.(一-32、(2023全国高三专题练习(理)设 P：ln(2 x-l)0,q.(x-a)x-(a+l)0,若 q 是 P 的必要不充分条件，则 实 数 的 取 值 范 围 是.(X 3 23、(2023全国高三专题练习)已知条件P：条件4：l-/n x 0)；条件r：l-t xW l+2t.若 P 是，的充要条件，贝!|/=若 p 是q 的必要不充分条件，则实数2的取值范围是考点三全称量词命题与存在量词命题的真假判断解题方略：1.全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素X,证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x=x ,使 p(x0)不成立即可.2.特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x=x o,使 p(xo)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总【例 3-1(2023全国高三专题练习)下列命题为真命题的是()命题名称真假判断方法一判断方一法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真真存在一个对象使命题真否定为假特称命题假所有对象使命题假否定为真A.VxeT?,X2-|X|+10C.3x0 e i?,(lnx0)20B.VxG 7?,-W 1cos%D.3x0 e R,sinx0=3【例 3 2】【多选】（20 23全国高三专题练习）给出下列命题，其中假命题为（）A.3aeR,ln(a2+l)2f a2 2a;C.G R ,sin(cz-0)=sincr-sin/?；D.，”是2a 2”的充要条件.【题组练透】1、（20 23全国高三专题练习）下列命题中的假命题是（）A.3x0,x2 x3 B.VxR,lnx0C.3xeR,sin x -l D.Vxe 7?,2X 02、（20 23全国高三专题练习）下列命题为真命题的是（）A./x,y G 7?,x+y B.Vx e 7?,x+2C.3x0 G 7?,X g-2x0+3 sinx3、（20 23全国高三专题练习）已知命题p：VX GR,2X x+l，则 力为（）A.V x e（O,+）,ex x +l B.Vx e（0,+o o）,eA x +lC.3X G（O,-H）,eA x+l【例 4-2】（山东省潍坊市20 22届高三下学期二模数学试题）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2,关于x,y,z的方程x +y =z”没有正整数解”，经历三百多年，19 9 5年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）A.对任意正整数”，关于x,y,z的方程x +y =z 都没有正整数解B.对 任 意 正 整 数2,关于x,y,z的方程x +y =z至少存在一组正整数解C.存在正整数7”2,关于x,y,z的方程x +y =z 至少存在一组正整数解D.存在正整数”2,关于x,j,z的方程x +y =z 至少存在一组正整数解【例 4-3【多选】（广东省佛山市顺德区20 22届高三一模数学试题）下列说法正确的是（）A.命题：V x e（1,1,XI 2+2 x-3 1是工 o 恒成立的充分非必要条件【题组练透】1,（贵州省遵义市2022届高三第三次统一考试数学（理）试题）命题“Vx O,l n x-x +14 0”的否定是（）A.4 4 V%0,I n x -%+1 0 w B.t 43 x 0,5C.“*O,l n x 尤 +1 4 0”D.3 x 0,l n x-x +l 0 2、（陕西省渭南市2022届高三教学质量检测（一）文科数学试题）设命题P:Vx G 0,：；s i n x co sxQ B.G 0,I,s i n x0 co s x D.VX G 0,s i n x co s xL 4；L 4；3、（江西省上饶市六校2022届高三第二次联考数学（理）试题）下列结论错误的是（）A.若“。
人 0”为真命题，则 p、q 均为真命题B.“，根 2”是“a b”的充分不必要条件C.命题“若x=4,贝！I f 一 2尤-8 =0”的否命题是“若无w4,则尤2_2了_8/0”D.命题“V x2 0,都有3*21”的否定是“大 0,使得3“1”（-）对含有一个量词的特称命题的否定【例 4-41（重庆市2022届高三第二次联合诊断检测数学试题）命题“先 e（0,y）,s i n x0.co s x0”的否定是（）A.V x e（0,+o o）,s i n x co s x B.V x e（0,+co）,s i n x.co s xC.V xG0 ,s i n x 一”的否定是（）%A.不存在实数%,使B.存在实数%,使 寸 V，%不C.对任意的实数x,都有e，4 D.对任意的实数x,都有e LX X【例 4-6 （黑龙江省哈尔滨市第九中学2 0 2 2 届高三第二次模拟考试数学（文）试题）下列说法正确的是（）A.若 p:Hre R,2 x；+3%+1 0 ,贝!|：Vx e 氏2 炉+3 x +l 必D.在 一 A B C 中，若 A 3,贝！Js in A s in 3【题组练透】1、（四川省2 0 2 2 届高三诊断性检测文科数学试题）曲线。
闫/eR,片一片+1 2 0,则刃为.2、（辽宁省2 0 2 。