题目《奖学金、助学金分配问题的优化模型》姓名： 1111111 学号： 09102126 专业： 信息与计算科学 学院： 数学与信息科学 指导老师： 熊思灿 时间： 2011/3/24 奖学金、助学金分配问题的优化模型摘要奖学金、助学金分配方案涉及每个学生的切身利益,一直是学生关注的热点问题之一因此，分配结果是否合理，对调动学生的积极性及优秀学生的正确评选都有着重要意义本文主要通过采取Q值法和目标函数法来建立模型实施名额及奖金的分配针对问题一，我们首先将待分配参数从整体上单独分配，即将待分配总名额与待分配总金额分开考虑，依据Q值法模型分配给三个专业，用MATLAB编程求解得到结果一为了尽量使分配各类奖项所对应的待分配名额公平，先将每类奖项作为一个整体，用Q值法模型分配给各专业，并依据各专业所得各类奖项名额可求出所分配的金额，即得到结果二最后将结果二与结果一比较，对不同种类奖金名额进行人为对调，使得总名额与总金额保持相对公平各专业所得名额为：37、44、48；各专业所得金额：123000、146000、160000由于问题二是问题一的细化，以对数应专业的班级进行分配为例，我们假设问题一的分配结果公平，在问题一的分配基础上依据问题二的要求进行再分配。
此次我们首先采取比例法实施分配，把最终分配结果的数据做成表格经分析此结果，发现此法并不公平，因为071011班只比081011班多2人，而该班却多出两个名额和8000元故我们使用Q值法按问题二的要求再进行分配，求得数应各班所得名额为：8、8、8、6、7；所得出金额为：28000、26000、26000、19000、24000针对问题三，由于国家奖学金金额很大，我们应当结合分配金额及分配名额来处理这个分配故我们使用目标函数法来解决此问题用LINGO编程求解得各专业名额分配为：37、44、49；各金额分配结果为：125000、148000、164000由于问题一已经分配出了除特等奖以外的名额和奖金，所以通过对数据的对比我们可以知道加入特等奖之后的分配相当于信管增加了一个名额，而其他两个专业名额没有变化但考虑到不确定三个专业中符合国家级奖学金这一奖项评选条件的同学的在哪个专业，故将国家级奖学金一一分给三的专业后再对结果进行修正，便可问题三的最终分配结果关键词： Q值法 比值法 目标函数法 奖学金、助学金分配问题一、问题重述2010年数信学院各类奖学金、助学金的总数与金额如下表：名称国家奖学金励志奖学金A等助学金B等助学金C等助学金金额（元）80005000200030004000名额（人）121275427数信学院具有评优条件的各专业人数如下表：数学与应用数学信息与计算科学信息管理07级0710110710210710220710313430295308级08101108101208102108102208103108103232302933323309级09103109103209102109102209103109103209103323302432242826请根据以上情况建立合理的数学模型解决以下问题：（1） 不考虑国家奖学金的分配，请根据各个专业的人数与各奖金金额大小确定分配方案，使分配方案尽量公平合理。
2） 不考虑国家奖学金的分配，请根据各个班级的人数与奖学金金额大小确定分配方案，使分配方案尽量公平合理3） 考虑国家奖学金与其他奖学金一起分配，请确定分配方案二、问题分析(一) 问题1的分析问题1的要求是在不考虑国家奖学金的分配的前提下，将剩下的奖金与名额分配给各专业求解出问题1便能大体上将各专业分配所得名额的总体情况给出，从而有利于问题2的求解问题1属于典型的席位分配问题，对于解决此类问题我们采取最大Q值法进行求解和分析二) 问题2的分析问题2的要求是在不考虑国家奖学金的分配的前提下，将剩下的奖金与名额分配给各个班该问题与问题1类似，只是分配工作具体到了每个班求解出此问题会使得分配结果更加清晰明朗，从而让分配工作顺利进行在求解问题二时，假设问题1中的求解结果公平，再用Q值法将各专业所得的名额及金额分配给各班，即可得到问题2分配的结果三) 问题3的分析问题3要求考虑国家奖学金与其他奖学金一起分配由于国家奖学金的金额数目较大，且只有一个名额故无论将这个名额给哪个专业，都会造成该专业对另两个专业的不公平度在金额分配上大大增加由于考虑到实际分配执行过程中学校是将国家级奖学金分配给待评选人中综合素质最高的学生，故分配情况有三种可能。
三、模型假设1. 假设题目所给的数据真实可靠；2．假设各专业都具有符合各评选条件的学生；3. 假设所有的相对不公平度最小时，便视为分配结果公平；4．假设上文求解的结果对下文都可以利用且视为真实可靠的；5. 假设各专业都有可能具有获得国家奖学金的的学生四、定义与符号说明序号符号符号定义1代表的总人数2代表所分配到的名额3代表的总人数4代表所分配到的名额5代表待分配的总人数6代表各方总人数之和7代表未分配完的名额五、模型的建立与求解5.1 问题一最大Q值法模型5.1.1 最大Q值法模型的建立过程：用Q值法来衡量是否公平是基于这样一条原则：如果两个数相同，那么它们的比值是零即如果两个数相等，它们的比值是1即如果，则并且上述比值越大，对来说，这种分配方案就越不公平用作为衡量不公平的值假定把名额给，计算的不公平程度，然后假定把名额给，计算的不公平程度我们的分配方案将使不公平程度最低在这种情况下，当时，获得额外名额做一下简化，我们可得到：当时，获得额外名额记：，则把名额分配给Q大的一方将该方法推广到n个专业的名额分配情况设各专业分配的人数已经确定，当再增加1名额时，计算各专业的Q值其中Q值为：将该名额分配给Q值最大的一方，这样可使造成的不公平程度最小。
5.1.2相对公平度评判标准：设各专业分配的名额为，则各专业名额代表的人数为，平均每个名额代表的人数为对每个专业来说，尽量的使与接近因此有：若分配后，将结果代入上式能使Z值最小，则认为该分配方案是相对公平的5.1.3模型求解：首先将总金额和总名额分开考虑，用最大Q值法分给各专业，用MATLAB 求解（程序见附录），整理数据得到下表： （表一）专业分配数应信计信管总名额数（人）374448总金额数(￥)122000146000161000其次，按各类奖项名额分别利用Q值法模型分给三个专业（求解程序见附录），则各专业所分配的名额及奖金，整理后如下表所述：（表二） 种类专业励志奖学金名额A等助学金名额B等助学金名额C等助学金名额总名额数（人）奖金总数(￥)数应6816838126000信计7918943143000信管810201048160000对比表一与表二，发现两个表格中各专业所分到的总名额数及奖金总数有差别，即表二中信计总名额数比表一中少一个，金额也少3000元；而与之对应的数应却多一个名额，奖金也多4000元又根据公平度评判标准可知道，将表一中总名额数和总金额数数据代入公式运算（求解见附录）得：Z=0.2800362E-03同理，表二中对应数据代入求得：Z=0.2830362E-03。
因此,可知按表一中数据分配相对更公平所以对表二中不同种类奖助学名额进行人为调整，使得表二中总名额数和总金额数与表一中一样，这样可以保证分配给各专业总名额数和总金额数相对公平，而不同种类奖项分配也有一定公平度人为调整具体是：从表二中很容易发现只要数应给信计一个B等助学金的名额，三个专业的总名额数就能达到相对公平，再对比表一与表二的总金额数就可知，数应拿一个C等助学金名额与信管换一个B等助学金名额即可使三个专业奖金总数达到相对公平整理数据得出下表：（表三） 种类专业励志奖学金名额A等助学金名额B等助学金名额C等助学金名额总名额数(人)奖金总数(￥)数应6815737122000信计7919944146000信管810191148161000如此调整之后，表格三中各专业分得的总名额及总奖金数据便与表一中的数据一致，即可以认为我们的分配方案是相对公平的5.2 问题二 比例法模型5.2.1 比例法分配模型的一般数学表达式：设各班级分得名额的小数部分为：，尚未分配完的名额为：，则将个尚未分配完的名额依次分给小数部分最大的班级即比例法的思想就是按比例分配给各班级名额及奖金5.2.2 模型求解：我们按比值法的思想来编写求解程序（程序见附录），将表三中数应专业的名额及奖金具体分配到各班，求解得到分配结果整理如下表所示：（表四）种类 班级071011081011081012091011091012励志奖学金21111A等助学金22211B等助学金43323C等助学金22211总名额(人)108856总金额（￥）3400026000260001700020000同时，我们再用Q值法求解问题二中各班级分配应得的总名额数与总金额数，得到数据整理后如下表所示：（表五）总额 班级071011081011081012091011091012总名额（人）88867总金额（￥）2800026000250001900025000通过比较表四和表五的数据，两表中总名额与总金额相差较大。
通过评判标准Z值比较，发现代入表五中总名额和总金额数据时比代入表四中对应数据时Z值更小，说明按表五中数据分配相对更公平一点因此，在保持总名额和总金额与表五中一致的前提下，使用与模型一中相同的方法，对表四中的数据进行人为调整，由此可得出数应的分配结果如下表所示：（表六）种类 班级071011081011081012091011091012励志奖学金21111A等助学金12221B等助学金43323C等助学金12212总名额（人）88867总金额（￥）2800026000260001900024000同理可得信计与信管的分配结果分别为表七和表八所示：（表七）种类 班级071021071022081021081022091021091022励志奖学金111211A等助学金211212B等助学金433333。