九年级数学九年级数学相似三角形的性质与判定人教实验版相似三角形的性质与判定人教实验版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形的性质与判定二. 学习重点和难点 1. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等.（2）相似三角形的对应边的比相等.（3）相似三角形的对应线段成比例.（4）两个相似三角形的周长比等于相似比.（5）两个相似三角形的面积比等于相似比的平方. 2. 相似三角形的判定方法：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本图形： A D E B C 推理格式：在ABC 中， DE/BC， ADEABC. E D B C A （2）如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.基本图形： A A B C B C 推理格式：在ABC 和中，CBA，ACCACBBCBAABABC.CBA（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.基本图形： A A B C B C 推理格式：在ABC 和中，CBA，A=CAACBAABA.ABCCBA（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.基本图形： A A B C B C 推理格式：在ABC 和中，CBAA=，B=，ABABC.CBA三. 我们的目标：通过学习进一步理解相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理的应用.【典型例题典型例题】 例 1. 如图，BCAF，FDAB，垂足分别为 C、D，那么图中有_对相似三角形. F C E A D B 分析：分析：观察图形，我们可以发现，图中有 4 个，它们是，RtADFRtABCRt，.这四个每两个之间都相似，所以一共有 6 对三角形相似.EDBRtCFERtRtABCEBD，ABCAFD，ABCEFCAFDEBD，AFDEFC，BEDFEC答：答：6 对注意：注意：在复杂图形中辨认相似三角形时，要着重抓住图形的特征.如本题重在找相等的角，然后再判定.例 2. 如图，ADE=B，则.)()()()(ACAE A E D B C 分析：分析：ADE=B，A=AADEABCABADBCDEACAE注意：注意：首先要判断ADEABC，然后正确找出对应边. 例 3. 如图，已知 DE/BC，DF 与 AC 交于 G，则图中的相似三角形有：_，_. A D E G B C F 答案：答案：ADE ABC，DEG FCG.注意：注意：要抓住 DE/BC 的条件，利用基本图形进行判定. 例 4. 如图，AD=DF=FB，DE/FG/BC，则_.321S:S:S A D E F G B C 1 2 3 答案：答案：1：3：5分析：分析：DE/FG/BC，ADEAFGABC又AD=DF=FB AD：AF：AB=1：2：3.4121SS2AFG13:1S:S219432SS2ABCAFG53SS325:3:1S:S:S321注意：注意：要抓住 AD=DF=FB，DE/FG/BC 的条件，利用基本图形进行判定三角形相似，然后利用性质解题. 例 5. 如图，ABC 中，D 为 AC 上一点，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD 于 E，连结 AE.（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形，若有请写出来，并说明理由；若没有请说明理由.（3）求BEC 与BEA 的面积比. B E C D A 解：解：（1）DE=DA，EC=EA=EB.证明： DEC=90，BDC=60，DCE=30.，即 DE=DA.DACD21DEDEA=DAE.又EDC=DEA+DAE=60，DAE=DEA=30.又BAC=45，EAB=BACDAE=15.又DEA=EAB+EBA，EBA=DEAEAB=15.EBA=EAB.EA=EB.DCE=DAE=30，EC=EA.EC=EA=EB.（2）ADECEA，或BCDACB 理由：ADE，CEA 均为底角为 30的等腰，ADECEA. 理由：CBD=CAB=45，CDB=ABC=60，BCDACB.（3）过点 A 作 AFBD，交 BD 延长线于点 F，则AFD=CED=90.又ADF=CDE，CEDAFD.，2ADAD2ADCDAFCE.2AFCEAFBE21CEBE21SSBEABEC即.2SSBEABEC【模拟试题模拟试题】 （答题时间：60 分钟）一、选一选 1. 下列四条线段成比例的是（ ）A. ，3，2，B. 3，2，6，423C. 4，5，6，10D. 12，8，11，16 2. 用一个 3 倍放大镜照一个ABC，下列说法正确的是（ ）A. ABC 放大后，A 是原来的 3 倍B. ABC 放大后，周长是原来的 3 倍C. ABC 放大后，面积是原来的 3 倍D. 以上答案都不正确 3. 若，则等于（ ）23bababA. 3：2B. 2：3C. 2：5D. 5：2 4. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）A. 两个等边三角形B. 两个全等三角形C. 两个直角三角形D. 有一个角是 120的两个等腰三角形 5. 如图所示，下列各式能使ACBDCA 的是（ ）A. B. ABACBDCDCDACACCBC. D. BCACABADABADADAC A B D C 6. 过三角形一边上一点画直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（ ）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条 7. 如图所示，已知 EF/BC，AEF 和梯形 EBCF 的面积分别为 18，80。
则 AE：EB 等于（ ）A. ：20B. 3：7C. 3：4D. 9：49103 A E F B C 8. 如图所示，CD 为 RtABC 斜边上的高，AC：BC=3：2，如果，那么9SADC等于（ ）BDCSA. 2B. 3C. 4D. 5 C A D B 9. 如图所示，已知 DE/AC，DF/BC，AF=4，CE=7，则四边形 DECF 的周长是（ ）A. 11B. 20C. 22D. 32 C F E B D A 10. 如图所示，E 为 DC 边的中点，AE 交 BD 于点 O，若，则等于（ 9SDOEAOBS）A. 18B. 27C. 36D. 45 A D O E B C 11. 如图所示，在长为 8cm，宽为 6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分） ，如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）A. B. C. D. 2cm282cm272cm212cm20 12. 如图所示，已知矩形 ABCD，R、P 分别是 DC、BC 上的点，E、F 分别是 AP、RP的中点，当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）A. 线段 EF 的长逐渐增大B. 线段 EF 的长逐渐减小C. 线段 EF 的长不改变D. 线段 EF 的长不能确定 A D E R F B P C 13. 如图所示，梯形 ABCD 的对角线交于点 O，有以下四个结论：AOBCOD；AODACB；，其中，始终AB:DCS:SAODDOCBDCAODSS正确的有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 D C O A B 二、填一填（每小题 3 分，共 18 分） 14. 在比例尺为 1：26000000 的中国地图上，量得北京到上海的距离是 4cm，则北京到上海的实际距离是_km。
15. 如图所示，在 RtABC 中，C=90，CDAB，则图中相似三角形共有_对 C A D B 16. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M 是 BC 上一点，且 BM：MC=2：3，连接AM 交 BD 于 F，则_FDBF A D F B M C 17. 点 P 为ABC 的边 AB 上一点，ABAC，写出一个使ACPABC 的条件_ 18. 如图所示，在直角坐标系中，ABC 的坐标为：A（2，3） ，B（4，0） ，C（0，0） ，把ABC 沿 x 轴向右平移 4 个单位后，得到，则此时的CBACBA、坐标分别是：_，_，_ABC y A 3 4 2 O x B C 19. 如图所示，线段 m 的两个端点分别是梯形两个腰从上至下的 2、3、4n 等分点，梯形的两底长为 a、b，根据图中规律，猜想 m 与 n 的关系是_ a a a m m m b b b b21a21mb31a32mb41a43m（n1）（n2）（n3）三、画一画 20. 如图所示，平移方格纸中的图形，使点 A 平移到处，画出放大一倍后的图形A（所画图中线段必须借助直尺画直，并用阴影表示） 21. 将如图所示的图形分成四块，使它们的形状大小完全相同，且与原图形相似，应怎样分？四、练一练 22. 如图所示，P 是等边ABC 的边 CB 延长线上的点，Q 是 BC 延长线上的点，PAQ=120，试证明 BC2=PBCQ。
A P B C Q 23. 如图所示，已知在ABC 中，AB=8，AC=6，点 D 在 AC 上，且 AD=2，在 AB 上作一点 E，使得ADE 与原三角形相似，想一想这样的点 E 有几个？求出 AE 的长 A D B C 24. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1 米的竹竿影长 0.9 米，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（如图所示） ，于是他测得留在墙上的影高 1.2 米，又测得地面部分的影长 2.7 米，请你帮他算出树高 A E D B C 【试题答案试题答案】一、1. B2. B3. C4. C5. B6. D 7. C8. C9. C10. C11. B12. C13. B二、14. 1040 15. 3 16. 52 17. ACP=B 或APC=ACB，或ACAPABAC 18. （2，3） ，（0，0） ，（4，0）ABC 19. nbna ) 1n(m三、20. 略 21. 如图四、22. 提示：证APBQAC，则QCABACPBAB=AC=BC，CQPBBC2 23. 有 2 个点，23AE 38AE 提示：过 D 点作ADE=B，交 AB 于 E；过 D 点作 DE/BC，交 AB 于 E。
24. 树高 4.2 米。
