类型一：相似三角形的鉴定方法Ⅰ（一）.三角形中的平行线①定理：三条平行线截两条直线，所得的相应线段成比例；②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的相应线段成比例③定理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的相应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边经典例题1】如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是：___________【搭配练习1】将三角形ABC纸片的一面沿DE向下翻折，使点A落在BC边上，且DE平行于BC，则下列结论中不成立是 （ ） A、角AED=角C B、AD/DB=DE/BCC、DE=1/2BC D、三角形ADB是等腰三角形【搭配练习2】如图在□ABCD中P，Q三等分AC，DP的延长线交BC于E，EQ的延长线交AD于F，已知BC=18，求AF的长 （二） 两角相应相等，三角形相似【经典例题1】如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，。
搭配习题】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，假如P、Q同时出发，用t（秒）表达运动时间（0≤t≤6），那么当t为什么值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．（三） 两边相应成比例，夹角相等，三角形相似【典型例题1】已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC【典型例题2】如图，△ABC中，若a∶b∶c=4∶5∶6,求证：∠ACB=2∠A 【搭配练习1】 如图，△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求证：△ABC∽△CBD 【搭配练习2】如图，Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢ 交斜边于点E，CC ¢ 的延长线交BB ¢ 于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC=，∠CAC ¢ =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．（四） 三边相应成比例，三角形相似【经典例题1】 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）（A）．（B）．（C）．（D）．【搭配练习1】一个铁质三角形框架三边长分别为24cm,30cm,36cm，要估做一个与它相似的铁质三角形框架，现有长为27cm,45cm,的两根铁材，规定以其中的一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为此外两边，截法有（ ）A,0 B,1 C,2 D,3【搭配练习2】如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，（1）求证：△AEF∽△CEA。
2）求证：∠AFB+∠ACB=45° 【搭配练习3】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1) 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(2) P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(规定写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由ACBFEDP1P2P3P4P5类型二：相似三角形的性质（一） 相似证线段成比例【典型例题1】如图，EF∥BC，若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM∶AN=________,BN∶NC=________【典型例题2】已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证：DE2=BE·CE.【搭配练习1】如图四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OG∥AB交BC于E，交AD于F，交CD的延长线于G，求证：OG2=GE·GF.【搭配练习2】已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
求证：（1）MA2=MDME；（2）（二） 相似证角相等【经典例题1】已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且求证：∠AEF=∠FBD【搭配练习1】如图一,等边三角形ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边三角形EDC,连结AE.(1)求证:AE//BC;(2)如图二,将(1)中档边三角形ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形,所作三角形EDC该成相似于三角形ABC.请问:是否仍有AE//BC?证明你的结论 （三） 相似证线段相等【经典例题1】直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG【搭配练习1】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB1）求证：CE=EF2）求EG的长搭配练习2】已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF通过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F。
求证：OE=OF四） 相似得到两线平行【经典例题】已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD【搭配练习】如图，△ABC中，P是中线AD上的任意一点，BP，CP的延长线分别与AC，AB相交于E，F，求证：EF∥BC （四）相似中的面积与周长比【经典例题1】.已知平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，求△AEF与△CDF的周长比，假如S△AEF=6cm2,求S△CDF.【搭配练习1】如图，△ABC中，AD∥BC，连结CD交AB于E，且AE∶EB=1∶3，过E作EF∥BC，交AC于F，S△ADE=2cm2，求S△BCE，S△AEF.【搭配练习2】如图，在梯形AGHB中，AB∥CD∥EF∥GH，且面积S1=S2=S3求证：AB2+GH2=CD2+EF2 类型三：相似中常见的图形（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC（2）射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB； （3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可鉴定△ADC∽△ACB．（4）当或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB． 【搭配练习】1、如图1,∠ADC=∠ACB=900, ∠1=∠B,AC=5,AB=6, 则AD=______.2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3 , 则BM=______.4. 如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则 四边形ADEC的面积为__________.5.两个相似三角形的面积之比为1∶5, 小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.6. ΔABC的三边长为 , ,2 , ΔA'B'C'的两边为1和 ,若ΔABC∽ΔA'B'C',则 ΔA'B'C'的笫三边长为________.7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____, CD=_______.8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC= ,SΔBCD∶SΔABC=2∶3, 则CD=______.10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6, BC=6,EF=3,则PF=_____.11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________. 13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3, 则S四边形DFGE ∶S四边形FBCG=_________.14. 如图12,ΔABC中, 中线BD与CE相交于O点, SΔADE= 1 , 则S四边形BCDE =________.15. 已知:如图,ΔABC中, CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.16.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证: AB·BC=AC ·CD.17．已知:如图,CE是RtΔABC 的斜边AB上的高,BG⊥AP。
求证:(1)CE2=AE·EB ; (2) AE·EB=ED·EP18.已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F． （1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长类型五：相似中常用的辅助线作法。