常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果/C=90°,a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a+b=c；反之，若三角形的三边a、b、c满足a+b=c，则该三角形是直角三角形，c为斜边.与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2,贝V称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）.勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x-1，x，x+1），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x2=（x+1）2,解得x=4或x=0（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（3，4，5）;类似有3n,4n,5n（n是正整数）都是勾股数二、后两数为连续整数的勾股数易知：（5，12，13），（9，40，41），（113，6338，6385）,…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n=1，2，3，…就得勾股数组（3，4，5），（5，12，13）:（7,24，25），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道(20,21,29),(119,120,169),(4059,4060,5741)…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：(x,x+1,,2x22x1)(x为正整数)设前两数为连续整数的勾股数组为(x,x+1,y),y=.2x22x1则x2+(x十1$=y2(*)整理，得2x2+2x+1=y2,化为(2x+1f-2y2=-1,即2x1..2y2x1-.2y=—1,又1...21—2=—1,二1•2"11"1=—1(口-N),故取2x1.2y=1、2,2x1-2y=1-/2,解之，得x=1〔1「.22n1+1-22n1—2〕，y=2〔1.^22n1—44—22n1〕,故前两数为连续整数的勾股数组是(丄〔122n1+1八22"1—2〕，丄44〔1.22n1+1「22n1—2〕+1,2〔1,.22n1—^,22n1])•4四、后两数为连续奇数的勾股数22如(8,15,17),(12,35,37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)-1,4(n+1)+1(n是正整数).五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m2—1,c=m2+1(m大于1的整数).2.a=丄(m—n2),b=mn,c=丄(m+n2)22(其中m>n且是互质的奇数).3.a=2m,b=m2—n2,c=m2+n2(m>n,互质且一奇一偶的任意正整数)F面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考:345；51213；6810；72425；81517；91215；94041；102426；116061；121620；123537；138485；144850；152025；153639；15112113；163034；1663652129；204852；202129；204852；2017144145；182430；188082；19180181；2099101；212835217275；21220221；22120122；23264265；243240；244551；247074；24143145256065；25312313；26168170；273645；27120123；27364365；284553；289610028195197；29420421；304050；307278；30224226；31480481；326068；32126130288290；32255257；334455；335665；33180183；33544545；34358491；35120125160164；36323325；160164；36323325；4258；407585；4035612613；364860；367785；36105111；3637684685；38360362395265；398089；39252255；39760761；4096104；4019820240399401；41840841；425670；42144150；42440442；43924925；44117125；4424024444483485；456075；45108117；45200205；45336339；46528530；485573；4864804890102；48140148；48189195；48286290；48575577168175；50120130；50624626516885；51140149；51432435；52165173；52336340；52675677；547290；5424024654728730；55132143；55300305；5690106；5610511956192200；56390394；56783785577695；57176185；57540543；58840842；606387；6080100；6091109；6014415660175185；60221229；60297303；60448452；6089990162960962；6384105；6321622563280287；63660663；64120136；64252260；64510514657297；65156169；654204256688110；66112130；66360366；68285293；685765806992115；69260269；6979279570168182；70240250；7296120；72135153；7215417072210222；72320328；7242943572646650；75100125；75180195；75308317；7556056575936939；76357365；7672072477264275；77420427；78104130；78160178；785045108084116；80150170；8019220880315325；80396404；80798802；81108135；8136036984112140；84135159；8418720584245259；84288300；84437445；84585591；84880884；85132157；85204221；8572072587116145；87416425；88105137；88165187；88234250；88480488；88966970；9012015090216234；90400410；90672678；91312325；91588595；92525533；93124155；9347648595168193；95228247；95900905；96110146；96128160；96180204；96247265；9628029696378390；96572580；96765771；98336350；99132165；99168195；99440451；99540549100105145；100240260；100495505；100621629.以下是大于100的勾股数：第223组：第224组：第225组：第226组：第227组：第228组：第229组：第230组：第231组：第232组：102136170102280298102864870104153185104195221104330346104672680105140175105208233第233组：第234组：第235组：第236组：第237组：第238组：第239组：第240组：第241组：第242组：第243组：第244组：第245组：第246组：第247组：第248组：第249组：第250组：第251组：第252组：第253组：第254组：105608617105784791108144180108231255108315333108480492108725733108969975110 264286600610110 148185680689111 180212210238112384400112441455112780788114152190114352370115252277第255组：第256组：第257组：第258组：第259组：第260组：第261组：第262组：第263组：第264组：第265组：第266组：第267组：第268组：第269组：第270组：第271组：第272组：第273组：第274组：第275组：第276组：117156195117240267117520533117756765119 120169119408425120 126174120160200120182218120209241120225255120288312120350370120391409120442458120594606120715725120896904121 660671123164205第277组：第278组：第279组：第280组：第281组：第282组：第283组：第284组：第285组：第286组：第287组：第288组：第289组：第290组：第291组：第292组：第293组：第294组：第295组：第296组：第297组：第298组：125300325126168210126432450126560574128 240272504520128 172215920929129 144194312338130840850132176220132224260132351375132385407132475493132720732133156205133456475135180225第299组：第300组：第301组：第302组：第303组：第304组：第305组：第306组：第307组：第308组：第309组：第310组：第311组：第312组：第313组：第314组：第315组：第316组：第317组：第318组：第319组：第320组：135600615136255289。