第一章 行列式一、习题1. P22 2.2. P23 5.3. P23 6.4. P23 7.（1）5. P23 8.（3）提示：原式.6. P23 8.（4）提示：见P25 4.的解答7. P23 9.（1）8. P24 11.（2）、（3）提示：（2）原式;注意（2）、（3）的共性9. P24 11.（4）方法一 递推法分析：该行列式每一行（列）元素大多为0，易采用降阶法. 按第1行（列）或按第n行（列）展开. 两次降阶后产生由2n阶至2（n-1）阶的递推公式. .方法二 分析：由于该行列式的特点，按Laplace展开会很简便..** 该结果对于具有这种形式的行列式有通用性.10. P24 12.（1）提示：方法一 按最后一行展开方法二 产生下三角行列式.从第二列开始，依次将前一列的倍加到后一列上.方法三 从最后一列开始，依次将后一列的倍加到前一列，然后按第一列展开.方法四 按第一列展开，产生递推公式.11. P24 12.（2）提示：方法一原式方法二原式.二、计算实践实践指导：（1）注意到上（下）三角行列式和对角行列式的值等于其对角线上元素的乘积，所以利用行列式的性质应尽可能地把行列式化为三角形行列式；（2）利用行列式的性质尽可能多地把行列式的某一行（列）元素化为零，然后按行（列）展开，通过降阶的方式达到计算行列式的目的；（3*）利用Laplace展开式；（4）利用范德蒙行列式；（5）计算行列式的方法有定义法、性质法、降阶法、加边升阶法、递推法、归纳法及方阵行列式法(参见第二章)等. 方阵行列式的一些可用结论：设A，B是同阶方阵，则，，，.例1.1 计算行列式解 分析：该行列式任意一行或一列都无零元素且元素之间无完全的整数倍关系，仔细观察之后发现，如果把第2列加到第3列，则新的第3列元素之间成整数倍，这时利用性质易将第3列的元素大部分化为零，然后降阶，余下计算过程类似.原式 例1.2 计算行列式解 分析：仔细观察之后发现，第2行为0的元素多且非0元素成整数比关系，因此先利用性质把这一行元素大部分化为0，然后按第2行降阶. 依照此理，接下来又选择了第1行、第3行降阶.原式 例1.3 计算行列式.解 方法一 性质法分析：根据行列式的特点，采取列运算，原式. 方法二 方阵的行列式法.分析：注意到所以原式.例1.4 计算解 方法一 分析：注意到每行元素都有完全相同的n个元素，所以每行的元素都加到一起会得到同一个数. 对列运用性质，容易将其化为三角形行列式.原式 方法二分析：根据每列对角线以上元素、以下元素分别都相等的特点，所以对行运用性质易将其元素大部分化为0.原式 .例1.5 计算爪形行列式.解 原式.例1.6 计算行列式解 方法一分析：根据每列对角线以上与以下元素都相等的特点，所以对行运用性质易将其化为爪形行列式，余下照例1.7计算.原式（进一步整理得）. 方法二 分析：采用加边升阶法，然后运用性质易化得简单的爪形行列式.原式 .（如果有某xi=ai，，那么该行列式易化为三角形行列式.）例1.7 计算三对角行列式.解 这类题的一般做法是产生递推公式. 按第n行展开有令，则是方程的根，代入上式得， 对于具体的三对角行列式，一般计算会简单些.例1.8 计算三对角行列式.解 方法一 利用例1.9得到的递推公式.（这里递推公式中的x，y显然分别为a，b）方法二 （1）考虑到对称性，也有 （2）联立（1）、（2），解之得.对称性在本题中起了重要作用. 本题还可以用数学归纳法做.例1.9 计算三对角行列式.解 分析：把第2至第n+1行依次加到第1行，那么新的第1行元素将只有最后一个元素不为0，然后降阶.原式（上三角行列式） 例1.10 计算行列式解 分析：注意到本行列式元素的特点，自然想到会要使用范德蒙行列式的结果.如果第1至第n行分别提取公因子，那么可将其化为范德蒙行列式.原式. 例1.11 计算n阶行列式.解 分析：该行列式酷似范德蒙行列式，而实不然，但形式上已表明它一定会要使用到范德蒙行列式的结果.与范德蒙行列式比较，能想到利用加边升阶法构造一个n+1阶的范德蒙行列式.可见原行列式是该行列式中元素xn-1的余子式，而xn-1的代数余子式An+1即为上式右端项中xn-1的系数，所以原式＝例1.12 计算行列式.解 分析：行列式元素构成中有范德蒙行列式元素的影子，所以想到会要使用到范德蒙行列式的结果. 通过加边升阶法有原式（两个范德蒙行列式）.以下是几道行列式知识的活学活用题.例1.13 已知行列式，计算M41+M42+M43+M44.解 容易想到的方法是按余子式的定义直接计算，但要计算4个三阶行列式，有M41+M42+M43+M44 .其实还有另一种好的计算方法，即利用余子式与代数余子式的关系以及代数余子式的定义，把M41+M42+M43+M44转化为一个四阶行列式，有M41+M42+ M43+M44＝-A41+A42-A43+A44.一般来说，高于3阶的情形益采用后一种方法.例1.14 已知5阶行列式，求和.解 ∵ ， （按第四行展开）， （第二行元素乘以第四行元素的代数余子式）∴ 例1.15 A是n阶方阵，a为矩阵，b为矩阵，且，求证.证 .本题利用了行列式的拆分与降阶性质.例1.16 设a是n维向量，且，证明.证 因为，即a是n个变量n个方程的齐次线性方程Ax＝0的非零解，所以。