导数与极限(一)极限i.概念(1) 自变量趋向于有限值的函数极限定义(I i mf (x) = AX )a(2) 单侧极限左极限:f(a—o)=ximm」(x) f(a+o)=ximm」(x)当 0 叮 X -a 卜：:.时，有 I f(x) - A|：：：；右极限：(3)自变量趋向于无穷大的函数极限:… 0，二心 > 0，当 0 ： a - x ：：、•时，有丨 f (x) - A 1 ：：：；A0，二菽 >0，当 0 ：：： x「a •；：• 2 时，有丨 f (x) - A 卜：；定义1： 一 ； 0, X 0，当极限，记为xmf x 〃y二A为曲线y = f x的水平渐近线xaX，成立f(x)-Av J则称常数a为函数f(x )在x趋于无穷时的定义2 :一； 0,定义3:一；・0,运算法则：1) ???????若 lim2) ???????若 lim1)2)3)???????若 lim2X >0，当 x〉X 时，成立 f (x )-A £ g ,则有 f(x )- AX 0，当 X —X 时，成立 f X — A ,则有 x1叭 f x = Af (x)=A, lim g(x)=°o，则 lim〔f(x)+g(x9 = °o。
f (x )= A&0,但可为比)，lim g(x)=°o，则 lim f (x)・g(x)=°o1lim 0f x ":，则 f x3)注：上述记号lim是指同一变化过程4) 无穷小的定义V® >0，为>0 ,当0 V x —a K §时，有丨f (x) K ,则称函数f (x)在xt a时的无穷小(量)， 即 Ximaf(X)"5) 无穷大的定义-M 0 0，当Oqx-a卜：：时，有|f(x)|・M，则称函数f(x)在x > a时的无穷大(量)，记为 Xmaf(X^： \直线x二a为曲线y二f x的垂直渐近线2.无穷小的性质 定理 定理 推论 推论1212有限多个无穷小的和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小 常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小无穷小与无穷大的关系lim f(x) *右XT ，3 •极限存在的判别法/ 八 lim f (x) = A(1) X)aI i mf (x) = A _X且f (x)不取零值，则f(X)是x > a时的无穷小f(a -0) = f(a 0) =Alim f (x)二 lim f (x) = AX 1 ： - X⑵処f(x)=A = f(x) = A *，其中〉是x—• a时的无穷小。
3)夹逼准则：设在点a的某个去心邻域N?(a^)内有g(x)兰f(X)兰h(x)，且已知四9&)二A和龙叮以)"，则必有児心)"4.极限的性质lim f (x) = A 口 lim f (x) = B r(1) 极限的唯一性 右x a 且x a ，贝U A = B2) 局部有界性 若蚪f(x)二A，则日皿＞o，在点a的某个去心邻域 心a,6)内有| f(x)|w M3) 局部保号性(I)卄 lim f (x) = A右x a(或 Ac0),则必存在a的某个去心邻域有 f(x) 0 (或 f(x) <0)II)若在点a的某个去心邻域N?(a^)内有f(x)兰0 (或 f(x)兰0 )，且x^ f (x) = A A _0)5•极限的四则运算与复合运算、八 c 曰》務 lim f (x) = A，lim g(x) = B,设c是常数， x a xlim[ f (x) _g(x)] = A _B;lim[ f (x) g(x)] = A B;xlim[c f(x)] =c A;x..f(x)limx Q g(x)(1)(2)(3)(4)若 lim g(x) =u0, limxt UT0f(u)二 A,(5)lim f[g(x)] = lim f(u)二则x6•两个重要极限sin xlim (1) x 10 x7.无穷小的阶的比较若'和-都是在同一自变量变化中的无穷小量，且aBU—0=1;(1 )若(2 )若(3 )若limlimlim，则A _ 0 (或且-x U(a,、)(、 0)，有g(x) = u1(2)哪1 x)^e 或1lim (1 )x ]：:」0,"，则称，关于[是高阶无穷小量，记作:=0(：)；=1，则称:和：是等价无穷小量，记作 -二 c (c = 0)，则称:和：是同阶无穷小量，记作:aA ：：：| —卜：B，就称a和P是同阶无穷小量。
B 0，使成立k若以x作为X—； 0时的基本无穷小量，则当〉=O(x )般情况下,若存在常数 A 0,(4)小量k为某一正数)时，称 [是k阶无穷定理1 o(二)定理ot a2设：「，一，且存在，则lim = "im「常用的等价无穷小xt 0时，x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctanx~ln(1+x)~ex—1,1 21 一 cos x ~ x2 二)函数的连续性1定义若函数y = f (x)在点a的某个邻域内有定义，则 f (x)在点a处连续 = 吧 f (x) = f (a) 叫卄02 •连续函数的运算连续函数的和、差、积、商(分母不为零)均为连续函数；连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数；一切初等函数在定义区间内都是连续函数3 •间断点(1) 间断点的概念不连续的点即为间断点2) 间断点的条件若点Xo满足下述三个条件之一，则 Xo为间断点：(a) f (x)在Xo没有定义；lim f (x)(b) x % 不存在；f(x)旷x若宀涉"m f(x)叶厂旷伯lim f (x)式f (x)(c) f (X)在X有疋乂， x % 也存在，但X必(3) 间断点的分类：(i)第一类间断点：在间断点X°处左右极限存在。
它又可分为下述两类：可去间断点：在间断点X°处左右极限存在且相等；跳跃间断点：在间断点X°处左右极限存在但不相等；(ii)第二类间断点：在间断点4 •闭区间上连续函数的性质(1)概念X°处的左右极限至少有一个不存在若函数f (x)在区间(a,b)上每一点都连续，在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)在区间［a,b］上 连续2) 几个定理最值定理：如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，则f(x)在此区间上必有最大和最小值有界性定理：如果函数 f(x)在闭区间［a，b］上连续，则f(x)在此区间上必有界介值定理：如果函数 f(x)在闭区间［a,b］上连续，则对介于 f(a)和f(b)之间的任一值c，必有x ［a,b］，使得 f (x) =c零点定理：设函数f (X)在闭区间［a,b］上连续，若f(a) f (b^：： 0，则必有(a,b)，使得f (x) = ° (三)导数1导数的概念(1) 定义 设函数y = f(x)在点a的某个邻域内有定义，当自变量在点 a处取得改变量 x^ 0)时，函数f (x)取得相应的改变量 勺二f (a ■・汶)- f (a)，若极限存在，则称此极限值为函数 y二f (X)在点a处的导数(或微商)，记作f (a)f H(a), y*dy或d f(x)x-， dxx^adxx^a..f (x)=lim -f (a)— x—a 。
导数定义的等价形式有O(2) 左、右导数左导数…)切丄右导数a x _af (a)存在 f _(a)二 f (a)2•导数的几何意义y = f(x)在点M(a, f(a))处的切线的斜率,从而曲线y = f(x)在点M(a, f(a))处的y _ f (a) = f (a)(x _a)1(x — a)函数y二f(x)在点a处的导数f (a)在几何上表示曲线即 k = f (a),切线方程为法线方程为3•函数的可导性与连续性之间的关系函数y = f(x)在点a处可导，则函数在该点必连续， 但反之未必即函数在某点连续是函数在该点可导 的必要条件，但不是充分条件因此，若函数f(X)点a处不连续，则f (x)点a处必不可导4 •求导法则与求导公式(1) 四则运算 若u、v、w均为可导函数，则(uv)二 u v uv ,(cu)・二ci (其中c = 0为常数)，(u 士v) = u 士v ,(uvw) = u vw uv w uvw ,u . u v -uv ,1 - v() 2 -v v二g(x)，且f(u)和g(x)都可导，则复合函数 y = f[g(x)]的导数为 dy dx(2) 复合函数求导设 y = f(u), ud y du du dxo(3) 反函数的导数若x二(y)是y(4) 隐函数的导数由一个方程F (x, y) = 0所确定的隐函数dy出dx即可。
5) 对数求导法先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法 对数求导法适用于幕指函数、连乘除函数6) 参数方程的导数二f (x)的反函数，则f (x)y = f(x)的求导法，就是先将方程两边分别对 x求导，再求若参数方程1%)、y=即(t)确定了一个函数dydx二f(x)，且均可导，则有:(t)7)基本初等函数的导数公式(a%) = a ln a ( a . 0 , a = 1) 『 1(log a x)xlna ( a>0 , a^1)(ex)'ex1(lnx)x5.高阶导数(1) 高阶导数的概念：函数f(x)的一阶导数f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，f(x)的二阶导数的导数称为 f(x)的三阶导数， ,f(x)的n-1阶导数的导数称为f(x)的n阶导数，分别记为.2 .3 .4d y d y d y(4) (n)y,y,y,y , ,y ，或(2) 常用的n阶导数公式(xn)(n) =n!,dx2 'dx3 'dx4 '(ex)(n) =ex,nd ydxn二阶及二阶以上的导数称为高阶导数n) n 兀(si nx)( =sin (x )2(-1)nJ。