2024.05北京市各区二模初三数学试题汇编：几何综合答案及解析一、 以四边形为背景的几何综合题（一）四边形+轴对称+旋转1.（202405石景山二模27）在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接，.（1）如图1，若是等边三角形，则 ；（2）如图2，延长交的延长线于点，连接交于点，连接．①求的大小；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．图1 图2答案：（1）； ………………………… 1分（2）①解：∵四边形是正方形，∴，．∵点与点关于直线对称，∴，．∴．设．在中，，可得．在中，，可得．∴． …………… 3分②数量关系：．证明：过点作交于点，连接，如图2．在中，，可得．∴，．∴．图2∵四边形是正方形，∴，，．∴．∴≌．∴．∴．在中，由勾股定理，得，即． ………………………… 7分2.（202405房山二模27）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），连接，点 关于直线的对称点是点，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点.（1）依题意补全图形；（2）求的度数；（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.答案：27.（1）依题意补全图形，如图. ………….………..……….2分（2）解：∵四边形是正方形，∴，.∵点，是关于直线对称，∴，，. ∴. ∴. ∵，∴.∵，∴.∴，即. ………….………..……….4分（3）. ………….………..……….5分证明：过点作交延长线于点.∴.∵，∴.∴.∵，∴. ∴.∴△≌△. ………….………..……….6分∴. 在△中，.∴. ………….………..……….7分二、以三角形为背景的几何综合题（一）三角形+旋转+轴对称3.（202405西城二模27）答案：4.（202405丰台二模27）如图，等边△ABC中，过点A在AB的右侧作射线AP，设∠BAP=α（60°<α<90°）．点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，CE，且BE，CE分别交射线AP于点D，F． （1）依题意补全图形；（2）求∠AFE的大小；（3）用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明． 答案：27．（1）依题意补全图形． 1分（2）解：∵点B与点E关于直线AP对称， ∴∠BAD=∠EAD=α，AB=AE． ∵∠CAE=∠BAD＋∠EAD－∠BAC=2α－60°， ∵AB=AC，∴AC=AE．∴∠AEC =∠ACE=120°－α． ∴∠AFE =180°－∠AEC－∠EAD = 60°． 3分（3）猜想：AF=2DF－CF． 4分证明：连接BF，在AP上截取FG=FC，连接CG．由（2）可知∠AFE = 60°．∵CF=FG， ∴△CFG是等边三角形． ∴CF=CG，∠FCG=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°．∴∠BCF =∠ACG．∴△BCF≌△ACG． ∴BF=AG． ∵点B与点E关于直线AP对称， ∴BF=EF，AF⊥BE． ∵∠DEF=90°－∠DFE=30°，∴EF=2DF．∴BF=AG=2DF．∵AF=AG－FG， ∴AF=2DF－CF． 7分5.（202405门头沟二模27）27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45º,CD⊥AB于点D，点E，F分别在AC， BC上，且∠CEF=∠BAC，EF， CD交于点N.（1）如图1，当点E与点A重合时，_________；（2）如图2，当点E在AC边上时，① 依题意补全图2；②的值是否发生变化，请说明理由. 图1 图2答案：27．（本小题满分7分）解（1）2； ………………………………………………1分 （2） ①略 ； …………………………………………………2分 ②的值不发生变化. …………………………………………3分证明： 过点E作EM∥AB交CD，CB分别于点G，M，……………4分∴∠CEM=∠BAC=45º，∠EGC=∠ADC，∠EMC=∠B.∵CD⊥AB于点D，∴∠EGC=∠ADC=90º，∠CEM=∠ECG=45º.∴GE=GC.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠EMC =∠ACB.∴EM =EC. …………………………………5分∵∠CEF=∠BAC，∴∠CEF=∠CEM.∴EF⊥CM， 2CF=2MF=CM.∵∠GEN+∠GMC=∠GCM+∠GMC =90º，∴∠GEN =∠GCM. ……………………………………………6分∴△GEN△GCM.∴EN=CM=2CF.∴. …………………………………………………7分（二）三角形+旋转6. （202405顺义二模27）答案：7.（202405昌平二模27）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE. 连接BE，G为BE的中点，连接AG，CD. （1） 如图1，当点D在AC边上时，①根据题意，补全图1；②直接写出：=________；（2） 如图2，当点D在△ABC内部时，（1）问中的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由. 27题图227题图1答案：27.解（1）①补图 ………………………………………………………………………2分图1②=2； ……………………………………………………………………4分（2）仍成立. ……………………………………………………………………5分证明：延长BA使AF=AB，连接EF.图2∴A为BF中点∵G为BE中点∴AG为△BEF中位线∴EF=2AG∵线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE，∴∠DAE=2α，AD=AE.∵∠B＝∠C＝α，∴∠CAF=2α，AB=AC∴∠DAE=∠CAF=2α∴∠DAC=∠EAF∵AB=AF，AB=AC，∴AC=AF∵AD=AE∴△ADC≌△AEF∴CD=EF∵EF=2AG∴=2 …………………………………………………………………………7分8.（202405燕山二模27）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，M为AB的中点，D为线段AB上的动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接AE，CM．(1) 如图1，点D段AM上，求证：AE＝MD；图1图2(2) 如图2，点D段BM上，连接DE，取DE的中点F，连接AF并延长交CD的延长线于点G，若∠G＝∠ACE，用等式表示线段AE，AF，FG的数量关系，并证明．答案：27．（本题满分7分）(1) 证明：∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，∴CD＝CE，∠ECD＝60°．∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝AB．∵M为AB的中点，∴AM＝AB，∴AC＝AM，∴△ACM为等边三角形，∴∠ACM＝60°，CA＝CM．∵∠ECA＝∠ECD－∠ACD＝60°－∠ACD，∠DCM＝∠ACM－∠ACD＝60°－∠ACD，∴∠ECA＝∠DCM．在△CEA和△CDM中，CE＝CD，∠ECA＝∠DCM，CA＝CM，∴△CEA≌△CDM，∴AE＝MD． …………………………………………3分(2) FG＝AE＋AF． …………………………………………4分证明：如图，在FG上截取FH＝AF，连接DH．在△EAF和△DHF中，AF＝HF，∠AFE＝∠HFD，EF＝DF，∴△EAF≌△DHF，∴AE＝DH，∠EAF＝∠FHD，∴AE∥DH．∵△ACM为等边三角形，∴∠AMC＝∠ACM＝60°，∴∠CMD＝120°．∵△CAE≌△CMD，∴∠CAE＝∠CMD＝120°，∠ACE＝∠MCD，∴∠CAE＋∠ACM＝180°，∴AE∥CM，∴CM∥DH，∴∠MCD＝∠HDG．又∵∠G＝∠ACE，∴∠G＝∠HDG，∴GH＝DH＝AE，∴FG＝GH＋FH＝AE＋AF． …………………………………………7分9.（202405朝阳二模27）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，将线段AB绕点A逆时针旋转（），得到线段AD，连接DB，DC.（1）依据题意，补全图形；（2）求∠CDB的度数；（3）作BE⊥CD于点E，连接AE，用等式表示线段AE，BD，CD之间的数量关系，并证明. 答案：27.（1）补全图形，如图所示：……….1分（2）解：根据题意，可知AB=AD=AC，∠BAD=α. ∴∠ADB=∠ABD=……………………2分 ∵∠BAC=90°， ∴∠DAC=90°+α. ∴∠ADC=∠ACD=. ∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=45°………….3分（3） . 证明：作AF⊥AE，交CD于点F. ∴∠EAF=90°. ∴∠EAB=∠FAC. ∵BE⊥CD，∠BDC=45°，∴∠DBE=45°. ∴BE=DE=……………。
