==数值分析复习题整合

第 1 章 解线性方程组的直接法三、重、难点分析例 1 用列主元消元法的方程组53684221x注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的解 第 1 列主元为 3，交换第 1、2 方程位置后消元得，315684231xx第 2 列主 ，元为交换第 2、3 方程位置后消元得3523168421xx回代解得 ,,1123x例 2．将矩阵 A 进行三角分解（Doolittle 分解,Crout 分解,LDU 分解）其中 1324说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素） 在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算解：A=LUL=[1 0 0;1/2 1 0;-1/2 -2 1 ]U=[4 2 -2;0 1 -1;0 0 10]则矩阵的 Doolittle 分解为因为对角阵，则所以矩阵的 LDU 分解为矩阵的 Crout 分解为例 3 用 LU 分解求解方程组54813242x注意：消元过程是解方程组 ，和回代过程是解方程组 。

bLYYRX解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得： 矩阵的三角分解为（2）解方程组（3）解方程组所以 X= [2 0.9 0.9]第 2 章 解线性方程组的迭代法三、重、难点分析例 1 已知向量 X=（1，-2，3）,求向量 X 的三种常用范数解 ，maxiX 14,61221 niinii xXx例 2 证明 ,1证明 因为 11axxnipi Xipni ma1所以 ,X例 3 已知矩阵 ，求矩阵 A 的三种常用范数2A解 ， ，4max31jiji niijja114mx39 )9(43615282812 2AIT例 4 已知方程组12213xa（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当 时，雅可比迭代法收敛4（3）取 , ，求出 5aTX)10,5()0 )2(X解 （1）对 ，从第 个方程解出 ，得雅可比法迭代公式为：32iiix ,10,)21()(()()(3(3)()(2()(2)(1 mxaxmmm（2）当 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。

4（3）取 ， 5TX)10,5()0由迭代公式计算得， ， 1)(x28)1(x)(3x， ， 2503)( 5)( 250)(则 =（ ， ， ））（X0T例 5 用高斯——塞德尔迭代法解方程组4351021x（1）证明高斯——塞德尔迭代法收敛（2）写出高斯——塞德尔法迭代公式（3）取 ，求出TX）（）（ 0）（ 2X解 （1）因为 A 为严格对角占优矩阵，故高斯 ——塞德尔迭代收敛2）对 ，从第 个方程解出 ，得高斯——塞德尔法迭代公式为3,iiix ,10,)4(513)(1(2) (3)1(2(2)( mxxmmmm（（3） ， ， 4)1( 9)( 1259)(3x， ， 则 =（ ， ， 3113/3125））（ 2X59623T第 3 章 矩阵特征值与特征向量的计算三、重、难点分析例 1 已知 ，用乘幂法求21A1e，说明：乘幂法是求实方阵 A 的按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法逆幂法是求实方阵 A 的按模最小特征值及其特征向量的一种反迭代方法。

注意：初始值 不能取零向量0X解 取 ，用乘幂法迭代公式0(1)Tx，()()1()/makkkyxA ,10例 2 用雅可比法求 的全部特征值与特征向量234注意：平面旋转矩阵 R 的元素的排列顺序和旋转角的确定解 雅可比法是求对称矩阵的全部特征值与特征向量的变换方法 ， ， 1,3ij623cos231234211ART1352132153所以 ，Tx）（， 0351, 2)(2, 13Tx23013第 4 章 函数插值与曲线拟合-new三、重、难点分析例 1 已知 用线性插值计算 ，并估计误差3)9(,2)4(ff )5(f解 取插值节点 x0= 4,x1= 9，两个插值基函数分别为)(5)(10xl )4(1)(01xxl故有 56)539211 yllxL.56)(5f误差为 )(2)(4!22 ffR例 2 已知函数 数值表为)(xf1 2 3 y1 3 7用抛物插值法求近似值 。

)8.(f解 作差商表： xy一阶差商 二阶差商1 12 3 23 7 4 1代入牛顿插值多项式得：)2(1)(21)(2 xxxXN故 4.218.).(8.1).(22Nf例 3 已知数表： x1 2 3y3.8 7.2 10用最小二乘法拟合一次多项式解 设最小一次式为 ，由系数公式得：xag101)(30ns2016is 14203ixs20iyf .48201iixyf于是有法方程组 2.6310a解法方程组得 .*180*所以最小二乘一次式 xxg.3)(例 6 已知插值基函数 ，证明 ：当 时，nkl,10, nmmkkxl0)(证明：令 ，mxf)(则有 )(!1()()0xnflnkmk因为 ，所以 )(,1nf则 mkkl0)第 5 章 数值积分-new三、重、难点分析例 1 在区间 上，求以 为节点的插值求积公式],[1,,132xx解：由系数计算公式得 12 103)( ,4)0(,)(dxAdA所以求积公式为 )1(3(4)1((1 ffff例 2 求积公式 的代数精确度为（ ） 。

)2(31)40(31)(20 fffdxf 解 由于此公式为 3 个节点的插值求积公式，代数精度至少为 2令 ，代入插值求积公式得)(xf左边= ，右边 ， 所以 左边=右边4120203xd 431)0(31再令 ，代入内插求积公式得4)(xf左边= ，右边= 所以 左边 右边53220d321344所以此公式具有 3 次代数精度例 3 用梯形公式和 的复合梯形公式求积分 ，并估计误差n10xd解 （1） 梯形公式 因为 ， ，代入梯形公式得1,0ba1)(xf则 75.0]0[2][210 fdx（2） 复化梯形公式因为 和复化梯形公式得4abh)]1(43)21(()0[8110 fffffdx697.0]7652因为 ， ， 1)(xf 3)1()xf 2)(max102fM所以 962)2)(3fnabfR注意：在用复合梯形公式和复合 Simpson 公式计算 积分时注意系数的排列例 4 用 Simpson 公式和复合 Simpson 公式计算 积分 ，使误差小于10xd310解 （1） Simpson 公式因为 ， ，代入辛卜生公式得1,0ba1)(xf469.0]1240[624610 fffxd（2） 复合抛物线公式 因为 24)1()max54(104 xfM解不等式 3441080mabfR）（得 ，用 ，复化辛卜生公式计算得2,n  )1(2)43(1)(110 fffffxd69325.0 )()()(fffff例 5 设 为插值求积公式系数),1(niA证明 niiabx043)2((证明：设 ，因为3)(f 0,4xRn所以 。

niibanii xAadx034303)(1第 6 章 非线性方程求根-new三、重、难点分析例 1 证明计算 的切线法迭代公式为：)0(,1,21nxaxn并用它求 的近似值（求出 即可）1x解 （1）因计算 等于求 正根， ，a02aaxf2)(xf2)(代入切线法迭代公式得)(211 nnn xxx ,1(2) 设 ，因 )(f ,02f 025.1)(f所以 5.1,2*x在 上 5.1, 0)(xf 02)(f由 ，选)(0xf .用上面导出的迭代公式计算得 4167.2)(210xx例 2 用二分法、割线法求 的最小正根（求出 即可） 432x解 （1）用割线法因 ， ，故 ，0)(f 0125.)(f 5.0,*在 上， ，5., 43x6)(xf，3ma,)(min21Mf，1,821RK16K取 ， ，用双点弦迭代公式0x5.，)24()24(11331  nnnn xx,计算得 7.082x例 3 求方程 的根时，)(f用牛顿法求具有（ ）收敛速度。

用割线法法求具有（ ）收敛速度第 7 章 常微分方程数值解法三、重、难点分析例 1 用欧拉法，预估—校正法求一阶微分方程初值问题，在 （0.1）0.2 近似解)0(yx0解 （1）用 欧拉法计算公式1.h，nnn xyx1.09.)(.计算得 9.01y 822y（2）用预估—校正法计算公式1,0)(05.190(11)0(  nyxynnn计算得 ，.183.2例 2 欧拉法的局部截断误差的阶为 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。