平面与平面垂直的判定(导学案)

1 -平面与平面垂直的判定（导学案）制作：陈 国 讲授：陈 国一．学习目标：（有的放矢）1.理解并掌握平面与平面垂直的判定定理及应用2.进一步陪养解决空间问题平面化的思想3.学习重点：平面与平面垂直的判定 学习难点：面面垂直判定定理的应用二． 知识与方法（万变不离其宗）1.定义：（1）文字语言：若两个平面相交成直二面角，则这两个平面互相垂直2）符号语言：（3）图形语言：（4）定义的理解：①、正确作出二面角的平面角（都与棱垂直） ，不能是任意两条交线a②二面角的平面角必须是直角，不能是任意角③运用定义证明两个平面垂直的步骤：一作，二说明，三解（在三角形中，通常勾股定理的逆定理） ，四证明α∩β= lAO⊥ 于 OBO⊥ 于 O∠AOB=90 0α⊥βBOβα lA- 2 -2.判定定理（1）文字语言：如果一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （简记为：线面垂直 面面垂直）（2）图形语言：（3）符号语言： a⊥β（需要证明） ， a α（需要说明）（4）定理的理解：①、通过另一个平面，而不是穿过，即整条直线都必须在平面内。

②必须是另一个平面的垂线，即直线与平面垂直③定理的证明：（用定义证明）证明：在平面 β 内引直线 BE⊥CD， ∵AB 平面 β，CD 平面 β，∴AB CD, ∵AB 平面 则,∠ABE 是二面角 α-CD-β 的平面角．a⊥βa αα⊥β β α l a- 3 -∵AB 平面 β，BE 平面 β ∴AB⊥BE． ∴α⊥β④运用定理的关键：证明两个平面垂直的关键是在其中一个平面内找（证）一条直线分别与另一个平面垂直⑤数学思想：化归与转化的思想(线线垂直 线面垂直 面面垂直)⑥判定定理的一个推论：若一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直说明：运用定理的推论，避免直接在平面内证明直线与另一个平面垂直（直接较难或无法证明）三、题型示范与巩固（举一反三）例 1 过点 S引三条不共面的直线 SA、 B、 C，如图， 90BS，60ABC，若截取 a求证：平面 平面 C；(定义法,判定定理,等腰三角形底边中线的性质 ,勾股定理的逆定理)变式 1（一题多变）：(1)证明：平面 ABC平面 SH变式 2（多题归一） 2, ,.DaDBCAaAB()如 图 ， 在 四 面 体 中 ，求 证 ： 平 面 平 面12〉 一 条 直 线条 件 要 点 ： 内 有 〉 和 垂 直结 论 ： a⊥βa//⊥β- 4 -(2) 如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形， PDABC底 面 ，点 E 在棱 PB 上.求证：平面 E平 面 ； 例 2 已知：如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 将 折起，使点 C 移到点 ，BDA1且 1CABDOAB在 平 面 上 的 射 影 恰 好 在 上 。

1(2).C1（ ） 求 证 ：求 证 ： 面 面(折叠问题)变式 1（一题多变）：求证：平面 平面1ABD变式 2（多题归一）（1）.如图：在 ,ABC0中 ,=6,0C9B是 上 的 高 ，沿 A把 BD折起，使 0D=9， 证明：平面 ABD⊥平面 ADCOBC1ADCDAB CACDB图2图 1.- 5 -..aABCFDEGDEDEAFG(2)如 图 ， 已 知 边 长 为 的 正 三 角 形 的 中 线 与 中 位 线 相 交 于 点 ， 将此 三 角 形 沿 折 成 二 面 角求 证 ： 平 面 平 面四、反思小结（触类旁通）1.应用定义判定面面垂直时应注意:正确作出二面角，如果两平面具有相似，全等，对称等规则的较容易作出二面角2.应用判定定理判定面面面垂直的关键：在一个平面找(证)一条直线垂直另一个平面3．找线线垂直的方法有：等腰三角形底边上的中线,菱形对角线(正方形),勾股定理的逆定理（条件中有明显的长度关系而需要垂直则考虑此法，当然有时也可以自己也可设一些长度再验证满足勾股定理）,直径所对的圆周角,线面垂直的性质,等4．数学思想与方法：转化与化归的思想方法：线线垂直 线面垂直 面面垂直5. 证明面面垂直的方法:①根据两个平面垂直的定义②根据两个平面垂直的判定定理及推论③如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它垂直于另一个平面（不常用）6.面面垂直的题型:从两个平面的特征有：有交线的垂直,无交线(或交线不规则)垂直,有公共点垂直,无交线无公共点垂直(解决策略:无的转化为有的解决)；从题干背景有：柱体（三棱柱、四棱柱） ，锥体（三棱锥、四棱锥）圆锥，圆柱，圆等及其切割、- 6 -组合图形中解决垂直问题；以及垂直的位置和方向的不同；翻折问题（抓住翻折前后不变的结论）五、课后练习（融会贯通）1. 在三棱锥 ABCD中，若 ECDAB,,是 的中点，证明：平面 DEB⊥平面 ABC2. 直四棱柱 A1B1C1D1—ABCD 底面是菱形，求证：平面 A1DC1⊥平面 BB1DD1；3.如图，将边长为 a的正三角形 ABC以它的高 D为折痕折成一个二面角 CAD．若二面角 是直二面角，求 的长4.如图，已知 是圆 的直径， 垂直于圆 所在的平面， 是圆周上不同于 的ABOPAOC,AB任一点，求证：平面 平面 ．CBA BCDD1C1B1A1A BCOP- 7 -5.在圆锥 PO中，已知 = 2，⊙O 的直径 2AB,C是 的中点， D为 AC的中点．求证：平面 平面ACD6.如图 3 所示，在长方体 中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱 CC1的中点1ABCD证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M17.长方体 中， ， ， 是底面对角线的交点。

1ABCD12A2BCO求证：平面 ⊥平面 ；- 8 -。