46 點與圓的位置關係點與圓的位置關係 任意一點 P 與圓 O 的位置：將一點 P 慢慢向圓靠近，會有下列三種情形： 1.P 點在圓 O 外：如圖，即OP ＞r 2.P 點在圓 O 上：如圖，即OP ＝r 3.P 點在圓 O 內：如圖，即OP ＜r 直線與圓的位置關係直線與圓的位置關係 在平面上一圓與一直線位置關係：將一直線 L 慢慢向圓靠近，會有下列三種情形： 1.不相交：直線 L 與圓 O 不相交，即直線 L 與圓 O 的距離OA＞r（圓 O 的半徑） r P O O P r O P r L O A r47 2.相交於一點：直線 L 與圓 O 只交於 P 點，則直線 L 叫做圓 O 的切線切線，P 點叫做切點，切點， 直線 L 與圓 O 的距離OP ＝r（圓 O 的半徑） 3.相交於兩點：直線 L 與圓 O 相交於 A 與 B 兩點，則稱直線 L 叫做圓 O 的割線割線 直線 L 與圓 O 的距離OD＜r（圓 O 的半徑） 切線性質：切線性質： 【性質 1】圓心到切線距離等於圓的半徑且圓心與切點的連線必垂直此切線 【性質 2】過一圓直徑端點的垂線必為此圓切線 1.圓心到切線距離等於圓的半徑且圓心與切點的連線必垂直此切線。
【已知】L 為圓 O 之切線，切點為 P 點，圓的半徑為 r 【求證】OP ＝r 且 L⊥ OP 【證明】(i)自圓心 O 作直線 L 的垂線交 L 於 Q 點 (ii)若點 P 與 Q 點不是同一點，則△OPQ 中， ∵∠OQP＝90 0 ∴ ∠OQP＞∠OPQ ⇒ OP ＞OQ，即OQ＜r ⇒Q 點在圓 O 的內部 (iii) ∵L 為圓 O 之切線，切點為 P 點 ∴L 與圓 O 只交一點 P ⇒L 上除了 P 點以外的均在圓 O 外部，與（ii）矛盾 ⇒點 P 與 Q 點是同一點；即OP ＝OQ＝r ⇒ L⊥ OP L A B O D r P LO r O L P Q48 L Q A O P O M 弦心距 A B 割線 A o A B o 2.過一圓直徑端點的垂線必為此圓切線 【已知】 AP 為圓 O 的直徑，L⊥ AP 【求證】L 為圓 O 的切線 【證明】(1)設 Q 為 L 上異於 P 的任意一點，連接OQ (2)在直角三角形 OPQ 中， ∵OQ為斜邊， ∴OQ＞OP (3)∵OP 是圓 O 的半徑且OQ＞OP ， ∴OQ大於圓 O 的半徑，即 Q 在圓 O 外。
(4)∵L 上除了 P 以外的任意一點都在圓 O 外， ∴直線 L 與圓 O 僅相交於一點 P，即直線 L 與圓 O 相切於 P 3.切線作圖：過圓 O 上一點 A，求作圓 O 的切線 【已知】A 為圓 O 上一點 【求證】過 A 作圓 O 的切線 【求作】(1)作OA (2)過 A 點作OA的垂線 AB suu r ，則直線 AB suu r 即為所求 【證明】(1) ∵AB suu r ⊥ OA於 A (2) ∴AB suu r 是圓 O 的切線（過一圓半徑端點的垂線必為此圓切線） 弦心距弦心距:圓心到弦的距離（這邊所指的距離是指圓心到弦的垂直垂直距離） 如右圖，圓心 O 到弦 AB 的垂直距離OM即為此弦的弦心距49 O A B C D M N O A B C D M N 弦心距的性質: 等圓中，如果兩弦相等，則它們的弦心距也相等，反之，如果兩弦的弦心距相等， 則這兩弦相等 注意: 1.通過圓心的弦是最長的弦，也就是直徑 2.在等圓(同圓)中，如果兩弦相等，則其弦心距也相等，反之亦然 3.在等圓(同圓)中，如果兩弦不相等，則較長弦的弦心距較短，如下圖: AB ＝CD ⇔ OM ＝ON AB ＞CD ⇔ OM ＜ON 【已知】圓 O 與 O'是等圓，AB ＝CD，OM 是 AB 的弦心距， N O' 是CD的弦心距。
【求證】OM ＝ N O' 【證明】(1)連接OA和 C O' ，則OA＝ C O' (2)∵OM 是 AB 的弦心距， ∴OM 垂直平分 AB ， ∴ AM ＝MB ＝ 2 1 AB ， 1 ∠ ＝90 0 (3)∵ N O' 是CD的弦心距， ∴ N O' 垂直平分CD， ∴CN ＝DN ＝ 2 1 CD， 2 ∠ ＝90 0 (4)∵ AB ＝CD， ∴ AM ＝CN (5)∵△AOM 與△CO'N 都是直角三角形，且 AO＝ ' CO ， AM ＝CN ， ∴△AOM≅ △CO'N(RHS) ∴OM ＝ N O' A M B C D N O O' 1 250 A B M P O A B M P O 有關弦心距的計算有關弦心距的計算：弦心距的計算問題多與垂直有關，因此常常會用到商高定理計算之 【範例】圓 O 的半徑是 17，弦 AB 垂直半徑OP 且交於 M，OM ＝8，求 AB 的長 【解】(1)作OA ∴ AB ⊥ OP ∴ AM ＝ 22 OAOM − ＝ 22 178 − ＝15 (2)∵ AB ⊥ OP ∴ AB ＝ 2 AM ＝ 30 【範例】 AB ＝6 公分，CD＝8 公分， AB 的弦心距OM 為 4 公分， 求CD的弦心距ON 之長。
【解】(1)作OA、OC ，則OA＝OC (2)在△AMO 中 AM ＝ 2 1 AB ＝ 2 1 ×6＝3 OA＝ 22 AMOM + ＝ 22 43 + ＝5＝OC (3)在△CNO 中 CN ＝ 2 1 CD＝ 2 1 ×8＝4 ON ＝ 22 OCCN − ＝ 22 54 − ＝3（公分） A B C D O M N A B C D O M N51 A B P O A B P O 【範例】將乒乓球放入高腳杯內，若該球與杯子的接觸點為A、C兩點，且球的半徑為 1.8 公分， AB ＝2.4 公分，則此球表面離杯底B點最短的距離為多少公分？ 【解】OB ＝ 2 2 AB OA + ＝ 2 2 4 . 2 8 . 1 + ＝3 DB＝OB －OD＝3－1.8＝1.2（公分） 【範例】左圖為兩個同心圓， AB 切小圓於 P 點，已知 AB 長為 10，則灰色面積為? 【解】連OP 、OA AB Θ 為小圓切線、P 為切點 ∴OP ⊥ AB 且PA＝PB＝5 Θ OP ⊥ AB ∴ 2 OA ＝OP 2 ＋PA 2 灰色面積＝π ( 2 OA －OP 2 ) ＝π (PA 2 ) ＝25π (平方單位)52 O B C A O B C A 【範例一】 【練習一】 過圓 O 上一點 A，求作圓 O 的切線 已知：A 為圓 O 上一點 求作：通過 A，作圓 O 的切線 作法：(1)連接OA (2)過 A 點作 AO的垂線 AB 則 AB 即為所求 AB 切圓 O 於 B，AO交圓 O 於 C， AB ＝12， OC ＝5，求 AC 的長 解答：作OB 則OB ＝OC ＝5 且OB ⊥ AB ∴ AO＝ 22 125 + ＝13 故 AC ＝13－5＝8 【範例二】 【練習二】 圓 O 的半徑是 15，弦 AB 垂直半徑OP 且交於 M，OM ＝12，求 AB 的長。
解答：(1)作OA ∴ AB ⊥ OP ∴ AM ＝ 22 OAOM − ＝ 22 1512 − ＝9 (2)∵ AB ⊥ OP ∴ AB ＝2 AM ＝2×9＝18 圓 O 的直徑 AB 平分弦CD於 M 點，CD＝6 公分， AM ＝1 公分，求 AB 的長 解答：(1)作OC ∵直徑 AB 平分弦CD ∴CM ＝ 2 1 ×6＝3 且∠OMC＝90 0 (2)設OC ＝x 公分， 則OM ＝（x－1）公分 (3)在△OMC 中 ∵∠OMC＝90 0 ∴ 2 OC ＝ 2 OM ＋ 2 CM ， x 2 ＝(x－1) 2 ＋3 2 ⇒x＝5 (4) AB ＝2OC ＝2×5＝10 O A B M P O C D A M B O A B O A O A B M P O C D A M B53 【範例三】 【練習三】 AB 、CD是圓 O 中相等的兩弦相交於 P 點 試證：∠1＝∠2 證明：(1)作OM ⊥ AB 於 M，ON ⊥ CD於 N ∵ AB ＝CD ∴OM ＝ON (2)在△OPM 與△OPN 中 ∵OM ＝ON ∠OMP＝∠ONP＝90 0 ， OP ＝OP ∴△OPM≅ △OPN(RHS) 故∠1＝∠2 AB 是圓 O 的直徑，∠1＝∠2。
試證： AC ＝ AD 證明：(1)作OM ⊥ AC 於 M ON ⊥ AD於 N (2)在△AOM 與△AON 中 ∵∠1＝∠2 AO＝ AO ∠AMO＝∠ANO＝90 0 ∴△AOM≅ △AON(AAS) ⇒ OM ＝ON 故 AC ＝ AD（等弦對等弦心距） 【範例四】 【練習四】 AB ＝8公分 ，CD＝6公分 ，AB 的弦心距OM 為 3 公分，求CD的弦心距ON 之長 解答：(1)作OA、OC 則OA＝OC (2)在△AMO 中 AM ＝ 2 1 AB ＝ 2 1 ×8＝4 OA＝ 22 AMOM + ＝ 22 43 + ＝5＝OC 已知圓 O 的直徑是 26 公分， AB 是圓 O 的一 弦，它的弦心距為 12 公分，求 AB 的長 解答：如圖，OM ⊥ AB ，OM ＝12， OA＝ 2 1 ×26＝13 ∴ AM ＝ 22 OAOM − ＝ 22 1312 − ＝5 AB ＝2 AM ＝2×5＝10（公分） O C D 1 2 P A B O C D P A B M N O A B C D 1 2 O A B C D MN 1 2 O A B C D N M O A B M O A B M54 O A B C M N O A B C D M N (3)在△CNO 中 CN ＝ 2 1 CD＝ 2 1 ×6＝3 ON ＝ 22 OCCN − ＝ 22 53 − ＝4（公分） 【範例五】 【練習五】 圓 O 是△ABC 的外接圓，∠C＞∠B， OM ⊥ AB ，ON ⊥ AC 。
試證：∠OMN＞∠ONM 證明：(1)在△ABC 中 ∵∠C＞∠B ∴ AB ＞ AC (2)∵ AB ＞ AC 且OM ⊥ AB ，ON ⊥ AC ∴OM ＜ON （大弦對小弦心距） (3)在△MON 中 ∵OM ＜ON ∴∠OMN＞∠ONM 在圓 O 中，OM ⊥ AB ，ON ⊥ CD，∠OMN ＜∠ONM 試證：CD＞ AB 證明：(1)在△OMN 中 ∵∠OMN＜∠ONM ∴ON ＜OM (2)∵ON ＜OM 且ON ⊥ CD，OM ⊥ AB ∴CD＞ AB （小弦心距對大弦） O A B C D N M55 兩圓的位置關係：兩圓的位置關係：我們如果兩圓慢慢靠近可以依序得到下列五種兩圓的位置關係 (一)兩圓不相交: 1.兩圓外離外離：圖中，圓 O 1 與圓 O 2 兩圓外離 2.兩圓內離內離：圖(一)中，圓 O 1 與圓 O 2 兩圓內離 在內離的情況下，若圓 O 1 與圓 O 2 的圓心重疊，我們稱這兩圓為同心圓同心圓(如 圖二) 圖(一) 圖(二) (二)兩圓相交於一點: 3.兩圓外切外切：圖中，圓 O 1 與圓 O 2 兩圓外切 4.兩圓內切內切：圖中，圓 O 1 與圓 O 2 兩圓內切。
＊這兩圓叫做相切圓相切圓，相切的點叫做切點切點 (三)兩圓相交於兩點:圖中，圓 O 1 與圓 O 2 兩圓相交兩點 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O256 r1 r2 o2 o1 O1=O2 o1 o2 r1 r2 o1 o2 r1 r2 r1 o1 o2 r2 o2 o1 r1 r2 連心線的定義及性質連心線的定義及性質 1. 連心線的定義： (1) 連心線: 平面上，兩圓的圓心分別為 O 1 與 O 2 ，連接 O 1 、O 2 的直線，稱為這兩圓 的連心線 (2) 連心線。