对两个重要极限的重要性的认识之青柳念文创作 摘要：通过对两个重要极限重要性的懂得和认识 , 总结有 关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的 计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识 不但局限于讲义，要培养提高探究问题的才能，系统全面的 对待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性.关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着无 足轻重的作用，今朝，关于这方面的分析已经很成熟，有关 于它们的来历，证明，应用和深入扩大，本文系统的总结了 部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两 个重要极限的重要性，对刚接触极限实际，没有深入认识两 个重要极限的学生来讲，具有指导意义.《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限和 时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位.它能将许 多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常矫捷.因此，这两个 重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性 就不难懂得了.试想, 若没有它们, 那末只要遇见微积分相 关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还纷歧定求得出 来，更不必说由它们推广出的更复杂的应用了.2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限实际的重要内容 , 也是处理极限问题 的一种有效方法 , 在学生的学习中 , 起着重要作用，懂得它们的证明方法对充分懂得和认识它们是十分需要 的，它的证明过程也是对双方夹定理及单调有界 数列必有极限这一准则的恰当应用.sin xlim = 1x tO xlim(l +XT82.1 第一个重要极限：sin xlim = 1xtO x证明：作单位圆，如图1:0 a > 0，有不等式:< (n + 1)bnb—a即： bn+i — an+i < (n + 1)bn (b — a),即： an+1 > bn[(n +1)a — nb]i)现令显 然 b> a >0 ， 因 为(n + 1)a - nb = n +1 +1 — (n +1) = 1 将 其 代 入所以(1 + ^—) n+1 > (1 + - n+1 n1，所以｛(1+n)｝为单调数列，记作｛ xn｝(ii)又令 a = 1，11n (n + 1)a — nb 二 n +1 — (n + ㊁)二 q所以1 > (1 +丄)"•丄所以 2n 2二 2 > (1 + 丄)2nn 4 > (1 + 丄)2n2n ，即对 Vn, x < 4，又对对(111+ )2n+1 < (1 + )2n+2 < 42n +1 2n + 2所以｛(1 + !) n ｝是有界的.由单调有界定理知［级(1 + )n存在，并使用e来暗示,lim(1 + 二)n 二 e 二 2.718281828459045 即x * n在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类：① 幕函数y = x« (a e R ),② 指数函数y二ax (a > 0, a丰1)，③ 对数函数y = log x (a > 0,a丰1)，a④ 三角函数 y二sin x, y二cos x, y=tan x, y=cot x,⑤ 反三 角函数 y二arc sinx, y二arc cosx, y二arc tanx, y=arc cotx.由基本初等函数颠末有限次四则混合运算与符合运算 所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们常常需要 计算初等函数的导数，微分学的基本概念——导数是建立 在极限概念基础上的f宀即即求一个函数f(x)在点x处的导 数 ,就是计算极限J (7 心TO 心(3.1)当这一极限存在时，其值就是 .但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限 3.1 的 话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用 . 事实上，在求函数的导数时，其实不都需要计算极限 3.1， 而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则便可以很 方便地求得任何一个初等函数的导数.因此，两个重要极限 对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用.关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函 数：第一类是幂1函数，第二类是三角函数和反三角函数，Ox第三类是指旨数函数和对数函数.对于第一类函数的求导，要 操纵二项式定理和导数定义便求得 .对于第二类函数的求导，需要操纵到 lim沁二1这个重要极限.对于第三类x TO x函数的求Hm(1 +1)x二e导，需要操纵到lim(1 +1)x二e …" 这个极限.… 下面来看一看基本求导公式是如何得来的.3.1 重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数sin x其中应用了第一个重要极限sin xlimx—0 xlimAx—0Axsin -2Axsint=lim = 1t—0 tAx（令t 二 T）.求得(sin x) ' = cosx后，其余的三角函数和反三角函数 的导数公式便可以操纵多个求导法则得到了.3.2 重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用 其次，再看看对数函数 log ax 的求导公式的推导过程 a由导数定义其中应用了第二个重要极限XT(1+x) x二e，即(令 x / Ax = u )limlog (1+ )心 =lim(l+— )u = eAx—0 ° x u fg u求得了 (log x)' 以后，指数函数和幂函数的求导公式就容 a 易得出了. 可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过 程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作 用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不成能 得出.两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽 带作用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程 中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类 函数以及它们的反函数出发，颠末有限的四则运算复合得 到.因此，从这两类函数的导数出发，操纵函数的四则运 算、复合和反函数求导法则，就可以求得全部初等函数的 导数.再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表， 依靠他们能算出大量初等函数的积分 .可以说，两个重要极 限可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程 中起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其 重要.第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限 .若分 子分母分别求极限便 得 这一不定的成果，因此称这一类型的极限为 型未定式.近似地，第二个重要极限是属于1g型未定式.综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的 型未定式和1o° 型未定式，我们都可无妨用两个重要极限来试试，看可否 求出它的成果，以下举例来讲明如何应用这两个重要极限于极限运算中的.解:解:limx tO1 一 cos xx 21 一 cos x lim —x to x 22sin2 — lim —x tO x 2tan x 一 sin xx 3・ x sin2 — =lim 2x tO2・x1 sin=lim—- —x to 2 x2.xsin2x2sin x1 一 cos x‘.tan x 一 sin x lim一 sin xsin x--limcos x=lim cos xx t 0 x3 -x tOx 3x tOx 3例2limx t 0求lim(1 一 x)xx T8 xsinx 1 1 一cosx—lim - lim - lim=x to x x to cos x x to x2解：令一 x =t,则x-— 7 ・当x时t 0,于是lim(1 - —) xx Ta x— —=lim(1 +1)-1 = [lim(1 +1) t ]-2 =e -2t tO t tO例43 — x 求 lim(2-x)x .x Ta 厶解：3 — x 令 2-x =1+U,1则 x=2- u.当x时u 0,2 2)x = lim(1u —0■—=lim[(1 + u)-u - (1 + u)2]u —0=[lim(1 + u)u ]-1 - [lim(1 + u)2] =e -1u —0 u —0求 lim(1 + tan x)cot xx tO1解： 设 t二tanx，贝» 1 =cotx.当x 0时t 0,于是lim(l + tan x)x tOcot x1=lim(1 +1) t =et tO十 sin xlimxtO x的应用sin u (x, y) _ 1极限 要极限的推广，其中，(x，y)T(x0,y°)时，u(x,y) t 0，把u(x,y)看做新变量t，思索极限过程sin(x 3 + y 3)sin( x 3 + y 3)解：(x, ；)Z,0) x 2 + y 2例 1 求极限(x, y )t(0,0) x2 + y2sin(x3 + y3) x3 + y3=lim •-(x, y )t(0,0) x3 + y3 x2 + y2极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形.f ( ) _ sin(x3 + y3)我们设八x, y) _ —x2 + y2 ，定义域是D _ {(x, y)|(x, y)丰(0,0)}.” / 、 sin(x3 + y3) x3 + y3f(x,y)=再设 1 x 3 + y 3 x 2 + y 2定义域D广y)(x,y)丰(0,0)且y 丰 x］显然有 D1 e D.可以看到，从函数f (x, y)到fi( x, y)定义域变小了，但f (x, y)，f( x, y)分别在各自的定义域D与D］内，当(x, y)T (0,0)时，可以证明极限都是存在的，证明如下:)_ sin(x3 + y3)(1 ) 以下是对 兀，x 2 + y 2 在定义域D _ {(x y)|(x y)主(o,o)}内极限的证明.因为当(x, y) h(o,o)时，有:sin(x 3 。