7.97.9 最小多项式最小多项式由哈密尔顿凯莱定理， 是A的特征多项项式，则则 因此，对对任定一个矩阵阵 ，总可以找到一个多项式 使 多项式 以A为根.引入本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系.此时，也称 7.97.9 最小多项式最小多项式一、最小多项式的定义一、最小多项式的定义定义：设 在数域P上的以A为根的多项为A的最小多项式.式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 7.97.9 最小多项式最小多项式二、最小多项式的基本性质二、最小多项式的基本性质1.（引理引理1 1）矩阵A的最小多项式是唯一的.证：设 都是A的最小多项式.由带余除法， 可表成其中 或 于是有 7.97.9 最小多项式最小多项式 由最小多项式的定义， 即， 同理可得， 又 都是首1多项式, 故 7.97.9 最小多项式最小多项式2.（引理引理2 2）设 是矩阵A的最小多项式，则以A为根 证：充分性显然，只证必要性由带带余除法， 可表成 其中 或 于是有 7.97.9 最小多项式最小多项式由最小多项式的定义， 由此可知：若 是A的最小多项式，则 整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子. 7.97.9 最小多项式最小多项式例1、数量矩阵阵 kE的最小多项式是一次多项式特别别地，单单位矩阵阵的最小多项项式是； 零矩阵的最小多项式是. 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵.例2、求 的最小多项式. 7.97.9 最小多项式最小多项式解：A的特征多项式为又 A的最小多项式为 7.97.9 最小多项式最小多项式4. 相似矩阵具有相同的最小多项式.证证：设设矩阵阵A与B相似， 分别为它们的最小多项式.由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 从而 也以B为根，同理可得 从而 又 都是首1多项式， 7.97.9 最小多项式最小多项式反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.如：的最小多项式皆为 但A与B不相似. 注：即所以，A与B不相似. 7.97.9 最小多项式最小多项式5.（引理引理3 3）设设A是一个准对角矩阵并设 的最小多项项式分别为别为 . 则A的最小多项式为 的最小公倍式.证证：记首先， 即A为 的根. 7.97.9 最小多项式最小多项式所以 被A的最小多项式整除.则 从而 其次，如果从而 故 为A的最小多项式. 7.97.9 最小多项式最小多项式若A是一个准对角矩阵且 的最小多项式为则则A的最小多项式是为推广：特别地，若两两互素，即则则A的最小多项式是为 7.97.9 最小多项式最小多项式6.（引理引理4 4） 级若当块的最小多项式为 证：J的特征多项项式为为 7.97.9 最小多项式最小多项式而 的最小多项式为 7.97.9 最小多项式最小多项式6.（定理定理1313） 与对角矩阵相似 的最小多项式是P上互素的一次因式的积. 证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设设V上线线性变换变换 在某一组基下的矩阵为A，则 则则的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 7.97.9 最小多项式最小多项式若为P上互素的一次因式的乘积：则 其中 （此结论的证明步骤同定理12）把 各自的基合起来就是V的一组基.从而A相似于对角矩阵.特征向量.所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.在这组基中，每个向量都属于某个 ， 即是的 7.97.9 最小多项式最小多项式8. 与对对角矩阵阵相似的最小多项式没有重根.练习：练习：求矩阵 的最小多项式. 7.97.9 最小多项式最小多项式又 的最小多项式为 解： 的特征多项式而 。
