全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典 50 题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，AD 是整数，求 AD 延长 AD 到 E,使 DE=AD, 则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE

A B C > E F 2 1 A D B C D B C  ' 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 证明：过 E 点，作 EG//AC，交 AD 延长线于 G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 证明：在 AC 上截取 AE=AB，连接 ED∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD （ SAS）∴∠AED=∠B ， DE=DB∵AC=AB+BD AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°， 求证： AE=AD+BE 证明： 在 AE 上取 F，使 EF＝EB，连接 CF 因为 CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为 EB＝EF， CE＝CE， 所 以 △CEB≌△CEF 所 以 ∠B ＝∠CFE 因 为 ∠B ＋ ∠D ＝ 180° ，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS） 所以 AD＝AF 所以 AE＝AF＋FE＝AD＋BE , 12. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC，BE、CE 分别平分∠ABC、∠BCD，且点 E 在 AD 上。

求证：BC=AB+DC 证明:在 BC 上截取 BF=BA,连接 EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于 CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B 【 B A C D F ； 1 E  13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C AB//ED,AE//BD 推出 AE=BD, 又有 AF=CD,EF=BC 所以三角形 AEF 全等于三角形 DCB， 所以:∠C=∠F 14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 证明：设线段 AB,CD 所在的直线交于 E， （当 ADBC 时，E 点是射线 AB,DC 的交点） 则：△AED 是等腰三角形所以：AE=DE 而 AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：△BEC 是等腰三角形所以：角 B=角 C. 15. P 是∠BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB

AF=AG=5 所以 DC=CF=2 < C B A F E A * C D P . A C B F | E D C B  18． （5 分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． * 延长 AD 至 H 交 BC 于 H;BD=DC; 所以:∠DBC=∠角 DCB;∠1=∠2; ∠DBC+∠1=∠角 DCB+∠2;∠ABC=∠ACB; 所以:AB=AC; 三角形 ABD 全等于三角形 ACD; ∠BAD=∠CAD;AD 是等腰三角形的顶角平分线所以:AD 垂直 BC 19． （5 分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N． 求证：∠OAB=∠OBA & 因为 AOM 与 MOB 都为直角三角形、共用 OM，且∠MOA=∠MOB 所以 MA=MB 所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90 度 所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA 20． （5 分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 证明：做 BE 的延长线，与 AP 相交于 F 点，∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°， 又∵，AE，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形在三角形 ABF中，AE⊥BF，且 AE 为∠FAB 的角平分线 ！ ∴三角形 FAB 为等腰三角形， AB=AF,BE=EF 在三角形 DEF 与三角形 BEC中，∠EBC=∠DFE,且 BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形 DEF 与三角形 BEC 为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21． （6 分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B 证明：在 AB 上找点 E，使 AE=AC∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD∴△ADE≌△ADC 。

DE=CD ， ∠AED=∠C∵AB=AC+CD ，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B PEDCBADCBA22． （6 分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于 E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF * （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 分析： 通过证明两个直角三角形全等， 即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论． 解答：解： （1）连接 BE，DF．∵DE⊥AC 于 E，BF⊥AC 于 F， ，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在 Rt△DEC 和 Rt△BFA 中， ∵AF=CE， AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA， ∴DE=BF． ∴四边形 BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF； （2） 连接 BE， DF． ∵DE⊥AC 于 E， BF⊥AC 于 F， ， ∴∠DEC=∠BFA=90°， DE∥BF， 在 Rt△DEC和 Rt△BFA 中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形 BEDF 是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF． 23． （7 分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形． （直接写出结果，不要求证明） ： ~ (1)DC∥AE， 且DC=AE， 所以四边形AECD是平行四边形。

于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC由 AE=BE，所以△AED≌△EBC （2）△AEC、△ACD、△ECD 都面积相等 ) 24． （7 分）如图，△ABC中，∠BAC=90 度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE． 证明：延长 BA、CE，两线相交于点 F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在 △BEF和 △BEC中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在 △ABD和 △ACF中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, OEDCBAFEDCBA∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE 25、 （10 分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C求证：△AED≌△BFC ( 26、 （10 分）如图：AE、BC 交于点 M，F 点在 AM 上，BE∥CF，BE=CF。

求证：AM 是△ABC 的中线 证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM∴AM 是△ABC 的中线. 27、 （10 分）如图：在△ABC 中，BA=BC，D 是 AC 的中点求证：BD⊥AC 三角形 ABD 和三角形 BCD 的三条边都相等，它们全等，所以角 ADB 和角 CDB 相等，它们的和是 180 度，所以都是 90 度，BD 垂直 AC [ 28、 （10 分）AB=AC，DB=DC，F 是 AD 的延长线上的一点求证：BF=CF 证明：在△ABD 与△ACD 中 AB=ACBD=DCAD=AD ∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC 29、 （12 分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB求证：AF=DE 因为 AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形 ABE=三角形 CDF 因为 角 DCB=角 ABFAB=DC BF=CE 三角形 ABF=三角形CDE 所以 AF=DE | MFECBAFEDCBADCBAFDCBAFEDCBA 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上. 证：∵AB 平行 CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在 BC 的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME 和△CMF 中 BE=CF（已知） ∠B=∠C （已证） EM=FM （已证） ∴△BME 全等与△CMF （SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等） ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E，M，F 在同一直线上 31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 证明： ∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF ∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS） 32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F 分别是 DC、BC 的中点，求证： AE＝AF。

连结 BD，得到等腰三角形 ABD 和等腰三角形 BDC，由等腰△两底角相等得：角 ABC=角 ADC 在结合已知条件证得：△ADE≌△ABF ( 得 AE=AF 33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 因为角 1=角 2∠3=∠4 所以角 ADC=角 ABC.又因为 AC 是公共边，所以 AAS==>三角形 ADC 全等于三角形 ABC.所以 BC等于 DC， 角 3 等于角 4,EC=EC 三角形 DEC 全等于三角形 BEC所以∠5=∠6 34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF． 因为 D,C 在 AF 上且 AD=CF 所以 AC=DF 又因为 AB 平行DE，BC 平行 EF 所以角 A+角 EDF，角 BCA=角 F（两直线平行，内错角相等）然后 SSA（角角边）三角形全等 ' ` B CA F E 654321EDCBA35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD． 、 证明：因为 AB=AC， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC，CE⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形 EBC 全等于三角形 DCB 所以 BE＝CD 36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：DE=DF． AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF 37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长 角 C=角 E=90 度 角 B=角 EAD=90 度-角 BAC BC=AE △ABC≌△DAE AD=AB=5 38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为 E、F，ME=MF求证：MB=MC 证明∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形∴∠B=∠C 又∵ME=MF，△BEM 和△CEM 是直角三角形 ∴△BEM 全等于△CEM∴MB=MC 39.如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD ③CEDE ④DC  ⑤DABCBA ．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况） ，并加以证明． 已知： 求证： > A C B D E F A E B D C 、 D C 、 A E BCMAFE' AB C Ｄ Ｅ 证明： 已知 1,2 求证 4 因为 AD=BC AC=BD，在四边形 ADBC 中，连 AB 所以△ADB 全等于△BCA 所以角 D=角 C 以 4,5 为条件，1 为结论。

即：在四边形 ABCD 中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：AD=BC 因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C，∠A=∠B，所以 2(∠A+∠D)=360°， ∠A+∠D=180°，所以 AB90ACBBCAC MN CMNAD DMNBE E1)当直线MN绕点C旋转到图 1 的位置时， 求证： ①ADC≌CEB； ②BEADDE； (2)当直线MN绕点C旋转到图 2 的位置时， （1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. | （1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而 AD⊥MN 于 D，BE⊥MN 于 E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在 Rt△ADC 和 Rt△CEB 中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS） ，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD； （2）不成立，证明：在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS） ，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE； ! 41．如图所示，已知 AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求证： （1）EC=BF； （2）EC⊥BF （1）证明;因为 AE 垂直 AB 所以角 EAB=角 EAC+角 CAB=90度因为 AF 垂直 AC 所以角 CAF=角 CAB+角 BAF=90 度所以角EAC=角BAF因为AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以 EC=BF 角 ECA=角 F （2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证）所以角 G=角 CAF 因为角 CAF=90 度所以 EC 垂直 BF 42． 如图： BE⊥AC， CF⊥AB， BM=AC， CN=AB 求证：（1） AM=AN；（2）AM⊥AN 证明： （1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN （2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN FBCAMNE1234A E B M C F —  、 43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF 连接 BF、CE， 证明△ABF 全等于△DEC（SAS） ， 然后通过四边形 BCEF 对边相等的证得平行四边形 BCEF 从而求得 BC 平行于 EF ` 44．如图,已知 AC∥BD，EA、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA，CD 过点 E，则 AB 与 AC+BD 相等吗请说明理由 在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以∠ANE=∠ACE 又 AC 平行 BD 所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE 为公共边, / 所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 45、 （10 分） 如图,已知: AD 是 BC 上的中线 ,且 DF=DE．求证:BE∥CF． 证明：∵AD 是中线∴BD=CD∵DF=DE，∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE‖CF * 46、(10 分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF． 求证：ABCD∥． 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，在 Rt△DEC和 Rt△BFA 中 ， DE=BF ， AB=CD ， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA ，∴∠C=∠A，∴AB∥CD． 47、(10 分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD 【待定】 A D E C B ( .3421DCBA 48、 (10 分)如图，已知 AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段 CE 与 DE 的大小与位置关系，并证明你的结论. 结论：CE>DE。

当∠AEB 越小，则 DE 越小证明：过 D作 AE 平行线与 AC 交于 F， 连接 FB 由已知条件知 AFDE为平行四边形， ABEC 为矩形 ， 且△DFB 为等腰三角形RT△BAE 中，∠AEB 为锐角，即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°RT△AFB 中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CE AF=DE∴CE>DE 49、 (10 分)如图，已知 AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE. 先证明△ABC≌△BDC 的出角 ABC=角 DCB 在证明△ABE≌△DCE 得出 AE=DE A C E D B A B E C D 50．如图 9 所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：∠ADC＝∠BDE． 证明：作 CG 平分∠ACB 交 AD 于 G∵∠ACB=90°∴∠ACG= ∠DCG=45°∵∠ACB=90° AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90° ∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵ AC=CB ∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE ∵∠DCG=∠B CD=BD∴△CDG ≌△BDE∴∠ADC=∠BDE A B C D E F 图 9 。