最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可 求出关于动点的最值．本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点 P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点 运动轨迹并求出最值，为常规思路．一、轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点. 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？P【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ 是 OP 一半，任意时刻，均有△AMQs^AOP, QM:PO=AQ:AP=1:2.【小结】确定 Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由 A、 Q、 P 始终共线可得： A、 M、 O 三点共线 由Q为AP中点可得：AM=1/2AO.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ丄AP且AQ=AP. 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP丄AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM丄AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO. 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO^^AQM.引例3：如图，△APQ是直角三角形，ZP4Q=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨 迹是？【分析】考虑AP丄AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM丄AO； 考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1. 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO^^AQM，且相似比为2.广M【模型总结】为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（ZPAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：：AQ是定值）.【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角ZPAQ=ZOAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP：：AQ=AO：：AM，也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.古人云：种瓜得瓜，种豆得豆. “种”圆得圆， “种”线得线，谓之“瓜豆原理”.【思考1】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为一边作等边△APQ. 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q【分析】Q点满足(1)ZP4Q=60°； (2) AP=AQ，故Q点轨迹是个圆： 考虑ZP4Q=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足ZMAO=60°； 考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO. 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO^^AQM.【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例 均等于AP与AQ的位置和数量关系.【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ. 考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足(1)ZP4Q=45°； (2) AP：：AQ=41 : 1，故Q点轨迹是个圆.连接AO，构造ZOAM=45°且AO：AM=^2 : 1. M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均 有△AOPs^AMQ.即可确定点Q的轨迹圆.A【练习】如图，点P (3,4),圆P半径为2, A (2.8,0), B (5.6,0),点M是圆P上的动点,点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是 ．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点.考虑C是BM中点，可知C点轨迹: 取BP中点O,以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹.当A、C、O三点共线且点C段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O,利用 两点间距离公式求得OA,再减去OC即可.【2016武汉中考】如图，在等腰Rt^ABC中，AC=BC=2J2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 .【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：取AB中点O,连接CO取CO中点D,以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹.AEC F B当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长 半，即可解决问题．【2018南通中考】如图，正方形ABCD中，AB 2^5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF, 连接AE、CF.求线段OF长的最小值.OC【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆.考虑DE丄DF且DE=DF,故作DM丄DO且DM=DO, F点轨迹是以点M为圆心,2 为半径的圆．直接连接OM,与圆M交点即为F点，此时OF最小.可构造三垂直全等求线段 长，再利用勾股定理求得OM,减去MF即可得到OF的最小值./e【练习】△ABC中，AB=4, AC=2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE, BD、CE交于点O,则线段AO的最大值为 .【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB,将AC看 成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值.根据AC=2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆.接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察OBOC是等腰直角三角 形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆， 以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大，根据AB先求AM， 再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO,相加即得AO．此题方法也不止这一种 最大值．比如可以如下构造旋转，当A、C、A'共线时，可得AO或者直接利用托勒密定理可得最大值．二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运 动时， Q 点轨迹是？A【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N 在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点 轨迹是一条直线．A【引例】如图，AAPQ是等腰直角三角形，ZP4Q=90°且AP=AQ，当点P在直线 BC上运动时，求Q点轨迹？Q【分析】当AP与AQ夹角固定且AP：AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形.当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段.Q1BC【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（ZPAQ是定值）; 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：：AQ是定值）.结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于ZPAQ （当ZPAQ<90时，ZPAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ （由'ABCs'AMN，可得AP:AQ=BC:MN）【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC中，AB=10, BD=4, BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD,以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边^OPF,当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是 .【分析】根据ADPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动 到A点路径长为8,故此题答案为8.【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为2朽的一个定点，AC丄 x轴于点M,交直线y=-x于点N 若点P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,BA丄PA则点P段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O 运动到点N时，点B运动的路径长是 .【分析】根据ZP4B=90°，ZAPB=30°可得：AP：：AB= <3：：1，故B点轨迹也是线段,且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为<3:1，P点轨迹长ON为2、J6，故【练习】如图，在平面直角坐标系中，A (-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点 C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边“ABP，点B在y轴上运动时, 求OP的最小值.x【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线 上运动，故可知P点轨迹也是直线.取两特殊时刻：(1)当点B与点O重合时，作出P点位置P1； (2)当点B在x轴 上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2.连接P1P2，即为P点轨迹.根据ZABP=60°可知：PP与y轴夹角为60°,作OP丄PP，所得OP长度即为最1 2 1 23小值，OP2=OA=3，所以 OP=—.2【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD的边长为4, E为BC上一点，且BE=1, F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边^FG,连接CG,则CG的最小值为 .【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹： 考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置, 初始时刻G点在G位置，最终G点在G位置（G不一定在CD边），GG即为G1 2 2 1 2 点运动轨迹.2CG最小值即当CG丄GG的时候取到，作CH丄GG于点H, CH即为所求的最1 2 1 2小值.根据模型可知：GG与AB夹角为60°,故GG丄EG .1 2 1 2 11 3过点 E 作 EF丄CH于点 F,则 HF= GE =1, CF= — CE =-, i 2 2所以CH=5，因此CG的最小值为5 .2 2DG2B E C三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”,就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性,根据主、从动点与 定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比,可确定从动点的轨迹,而 当主动点轨迹是其他图形时,从动点轨迹必然也是．2【2016乐山中考】如图，在反比例函数y =--的图像上有一个动点A,连接AOx并延长交图像的另一支于点B,在第一象限内有一点C,满足AC=BC，当点A运k动时，点C始终在函数y = k的图像上运动，若tanZCAB=2，则k的值为（ ）xA．2 B．4C．6 D．8【分析】ZAOC=90。
且AO:OC=1:2,显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N,连接OC,易证OAMOs △ONC,.・.CN=2OM,0N=2AM,：.。