第3章 效用论基数效用论需求曲线的推导基数效用论者以边际效用递减规律和建立在此规律上的消费者效用最大化的均衡条件为基础推导消费者的需求曲线消费者愿意为商品支付的价格取决于商品的边际效用，商品的边际效用大则商品的需求价格就高，相反就越低由于边际效用递减规律的作用,随着商品的消费量的增加，该商品的边际效用递减，则消费者为购买这种商品所愿意支付的价格就随着递减又由于消费者为了达到效用最大，就必须使它的商品购买量符合效用最大化的均衡条件，即假设货币的边际效用不变，则需求曲线可以通过边际效用曲线得到如图3.1所示：在图（a）中，横坐标为某商品的消费量，纵坐标为商品的边际效用图（b）中横坐标为商品的需求量，纵坐标为价格在A点消费量为，边际效用为，则相对应在图（b）中得到点，在点，需求量为，商品的价格为，按照此办法可以根据边际效用曲线得到向右下方倾斜的需求曲线，它表示商品的需求量随着商品的价格的上升而减少，随着商品的价格的下降而增加基数效用论和序数效用论的联系如果假定商品的效用可以用基数来衡量，则商品的边际替代率可以表示为两商品的边际效用和之比由于在保持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费量所带来的效用的增加量和相应减少的另一种商品的消费量所带来的效用的减少量必定是相等的。
即有：所以，商品的边际替代率可以表示为：与上式相应，可以有：根据上面两式，序数效用论者关于消费者的均衡条件可以改写为：或者其中，为货币的边际效用于是，上式与基数效用论者关于消费者的均衡条件是相同的可见，虽然基数效用论者和序数效用论者分析消费者行为的假设条件不同，所采用的方法也不相同，但是，二者由各自分析所得出的消费者效用最大化的均衡条件的本质是相同的序数效用论消费者需求曲线推导（1）价格-消费曲线价格-消费曲线是在消费者的偏好、收入以及其他商品价格不变的条件下，与某一商品的不同价格水平相联系的消费者预算线和无差异曲线相切的消费者效用最大化的均衡点的轨迹如图3－2（a），其中PCC曲线为商品1的价格-消费曲线2）需求曲线由消费者的价格-消费曲线可以推导消费者的需求曲线在图3.2（a）中，PCC曲线上的每一点都是一个均衡点，都存在着价格与需求量的一一对应点，把每一个价格及其对应的需求量绘制到（b）图上，就得到消费者需求曲线D，由图可见，需求曲线向右下方倾斜，它表示商品的价格与需求量成反方向变动劣等品（Inferior Goods）与吉芬品（Giffen Goods）：（1）劣等品指需求量随收入变化而成反方向变化，收入增加，其需求量反而减少的商品。
对于劣等品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动而且，一般情况下，收入效应的作用小于替代效应的作用，从而总效应与价格成反方向的变动，这样使得其需求曲线向右下方倾斜但是，在少数的场合，某些低档物品的收入效应的作用会大于替代效应的作用，于是，就会出现违反需求曲线向右下方倾斜的现象这类物品就是吉芬品2）吉芬品是随着价格下降其需求量也下降，即需求量与价格同方向变化的商品吉芬品是一种特殊的劣等品作为劣等品，吉芬品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动其特殊性在于：它的收入效应的作用大于替代效应的作用，从而总效应与价格成同方向的变动，这样使得吉芬品的需求曲线向右上方倾斜消费者均衡（equilibrium of the consumer）：指消费者的效用达到最大并维持不变的一种状态其研究单个消费者如何把有限的货币收入分配在各种商品的购买中以获得最大的效用也可以说，它是研究单个消费者在既定收入下实现效用最大化的均衡条件这里的均衡指消费者实现最大效用时既不想再增加、也不想再减少任何商品购买数量的这么一种相对静止的状态在基数效用论者那里，消费者实现效用最大化的均衡条件是：如果消费者的货币收入水平是固定不变的，市场上各种商品的价格是已知的，那么，消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等。
或者说，消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱所带来的边际效用相等即，其中λ为货币的边际效用序数效用论者把无差异曲线和预算线结合在一起说明消费者的均衡任何一个理性的消费者在用一定的收入购买商品时，其目的是为了从中获得尽可能大的消费满足消费者偏好决定了消费者的无差异曲线，一个消费者的关于任何两种商品的无差异曲线组可以覆盖整个坐标平面；消费者的收入和商品的价格决定了消费者的预算线，在收入既定和商品价格已知的条件下，一个消费者关于两种商品的预算线只能有一条那么，当一个消费者面临一条既定的预算线和无数条无差异曲线时，只有既定的预算线和其中一条无差异曲线的相切点，才是消费者获得最大效用水平或满足程度的均衡点，此时满足判断下列说法正误，并说明理由1）“不论可供消费者选择的消费束（consumption bundle）的数量是有限的还是无限的，如果偏好序不满足连续性假设，那么，效用函数就不存在 （2）我总愿意用6单位的x替代1单位的y，那么我的偏好违背了单调性假设3）当面临两种商品和，某甲的效用函数为，某乙的效用函数为那么甲和乙对这两种商品的偏好是一样的答：（1）错误如果偏好序满足完备性、自返性、传递性假设，则偏好序就可以用一个连续效用函数来表示，但如果偏好序不满足连续性假设，效用函数就不一定是不存在的，只是不能保证连续性。
2）此命题不正确偏好的单调性是就消费束而言的，是指若商品不是厌恶品，人们是多多益善更为精确的讲，如果（x1，x2）是一个由正常商品组成的消费束，（y1，y2）是一个至少有两种商品组成并且其中一种多一些的消费束，那么（y1，y2）>（x1，x2）而本题中是（3）正确因为是对的单调变换（初等变换）根据“一个效用函数的单调变换还是一个效用函数，这个效用函数代表的偏好与原效用函数代表的偏好相同”（单调变换的话,你用复合求导,驻点还是不变的吧?那么你的需求函数,就是一阶条件求出来的结果怎么会变呢），得甲和乙对这两种商品的偏好是一样的请分析价格-消费曲线分别向右上、右下倾斜及呈水平和竖直直线的原因答：价格-消费曲线指在消费者的偏好、收入以及其他商品价格不变的条件下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者的预算线和无差异曲线相切的消费者效用最大化的均衡点的轨迹假设Y商品的价格固定，让X商品的价格变化，并且y轴表示Y商品的购买量1）价格-消费曲线向右上倾斜，是因为X商品的需求价格弹性较小当X的价格降低时，X的购买量只会少量增加，花费在X上的收入实际上减少，从而能购买更多的Y商品，表现在图形上为价格-消费曲线向右上倾斜。
极端的情况是：如果X商品的需求价格弹性为0，此时X商品的价格变化并不引起X购买量的变化，节省的收入全部用于购买Y，从而价格－消费曲线为竖直线2）价格-消费曲线向右下倾斜，是因为X商品的需求价格弹性较大当X的价格降低时，X的购买量会大量增加，花费在X上的收入实际增加，从而只能购买少量的Y商品表现在图形上为价格-消费曲线向右下倾斜3）价格-消费曲线为水平线，是因为X商品的需求价格弹性为单位弹性，即X商品价格的下降所引起的购买量的增加正好使得在X上的花费不变从而Y的购买不变，表现在图形上为价格-消费曲线为水平线4）价格-消费曲线为竖直直线，表示商品为中性物，亦即不管商品多少，对某位消费者没有影响例如，他人的收入多少，影响其购买使用的能力，是他人可使用的，自己并不能使用他人收入，因此他人收入的多少对自己则毫无影响故其表现在图形上为价格-消费曲线为竖直直线某消费者消费X和Y两商品已知在该消费者收入和商品Y的价格不变的条件下，当商品X的价格上升时，该消费者对商品Y的消费数量保持不变试求：（1）请画出该消费者的价格—消费线（即PCC）2）请根据（1）判断商品X和商品Y分别属何种商品（正常品、劣等品或中性品）（3）消费者对X商品的需求价格弹性为多少？请根据PCC线画出相应的X商品的需求曲线，并说明其形状特征。
解：（1）由题意画出该消费者的价格一消费曲线如图3.27所示：其中价格－消费线是收入给定的前提下相对价格变化与消费需求量变化之间的对应关系轨迹2）正常品的定义是随着收入的增加，该商品的消费也随之增加；劣等品的定义随着收入的增加，该商品的消费随之减少分析商品是正常品、劣等品还是中性品需要剔除替代效应，而只考虑收入效应由于替代效应与价格的变化呈反方向变动，所以X的价格上升的替代效应必然使X的消费减少，使Y的消费增加但是，由于总效应使Y的消费量保持不变，因此收入效应使Y的消费量减少，因此，Y必为正常品X商品为何种类型的商品不能确定：X商品可能为正常品，如图3.27（a）所示；X商品可能为中性品，如图3.27（b）所示；X商品可能为劣等品，如图3.27（c）所示3）由题意可知，设为商品的价格，为商品的价格，、分别为和商品的价格，则 得出 由于、、都不随的变动而变动，故不妨令，为一固定的常数 商品的需求曲线的形状如图3.28所示，其形状类似于双曲线一侧，无限向轴及轴接近若无差异曲线是一条斜率是-的直线，价格为、，收入为时，最优商品组合是什么？解：预算方程为：，其斜率为 由于无差异曲线是直线，这时有角解。
当时，角解是预算线与横轴的交点（可用试探法求角解），这时，由预算方程得，最优商品组合为当时，角解是预算线与纵轴的交点，这时，由预算方程得，最优商品组合为当时，预算线上各点都是最优商品组合点斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的异同答：希克斯替代效用与斯勒茨基替代效用是分别以两位经济学家希克斯与斯勒茨基的名字命名的希克斯替代效用是在商品相对价格变化后，在保持消费者实际收入不变（这里的实际收入不变是指使消费者在价格变化前后保持在同一条无差异曲线上）情况下所引起的商品需求量的变化斯勒茨基替代效用是在商品相对价格变化后，在保持消费者实际收入不变（这里的实际收入不变是指消费者在价格变化后能够购买他想要购买的价格变动以前的商品购买量）情况下所引起的商品需求量的变化下面利用图3.33讨论斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应斯是绕着初始消费束转动，即价格变了之后购买力不改变 希是绕着初始的无差异曲线转动，即效用不变假定某消费者的效用函数为：，其中为大于零的常数，且设和的价格分别为和，消费者的收入为1）请画出该消费者的无差异曲线，并说明相应商品的边际替代率；（2）请说明商品的收入效应，替代效应和总效应；（3）请画出相应的收入—消费线（ICC）和商品的恩格尔曲线（EC）。
解：（1）由于商品和为互补品，消费者要保持其效用最大化，须始终保持的比例来消费两物品相应的无差异曲线为直角形状，边际替代率为0(平行于横轴)或为∞(垂直于横轴)2）由于消费者始终会以的比例消费两物品，物品的替代效应为O 又因为总效应＝替代效应+收入效应所以总效应与收入效应相同其中指总效应，指收入效应总效应为∴总效应为，收入效应为，替代效应为03）收入消费曲线指：价格给定的前提下，由于收入变化，预算线与无差异曲线的共切点的轨迹其形状如图3.37所示恩格尔曲线是描述收入增加与商品需求量变动之间关系的曲线因为，与成正比例关系，所以对应的恩格尔曲线为一从原点出发的射线（图3.38）说明一种商品的价格-消费曲线与其需求曲线之间的关系令无差异曲线图的横轴表示X商品的数量，纵轴表示Y商品的数量假设在收入给定条件下，当X的价格变动、Y的价格不变时。