奇偶一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类 . 能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数通常偶数可以用 2k〔k 为整数〕表示，奇数那么可以用 2k+1〔 k 为整数〕表示特别注 意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数二、奇数及偶数的运算性质性质 1：偶数±偶数 =偶数，奇数±奇数 =偶数性质 2：偶数±奇数 =奇数性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数性质 5：偶数×奇数 =偶数，奇数×奇数 =奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论 1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性推论 2：对于任意 2 个整数 a,b , 有 a+b 及 a-b 同奇或同偶第 12页整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除；一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125整除；2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和及偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除.4. 如果一个整数的末三位及末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除.【备注】〔以上规律仅在十进制数中成立 . 〕二、整除性质性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a，c︱b，那么 c︱( a± b) ．性质 2 如果数 a 能被数 b 整除， b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣ a，c∣b，那么 c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质 3 如果数 a 能被数 b 及数 c 的积整除，那么 a 也能被 b和 c 整除．即如果 bc∣a，那么 b∣a， c∣a．性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b及 c 的乘积整除．即如果 b∣ a， c∣a，且( b， c)=1 ，那么 bc∣ a．例如：如果 3∣12， 4∣ 12，且 (3 ，4)=1 ，那么 (3 ×4) ∣ 12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am也能被 bm整除．如果 b｜ a，那么 bm｜ am〔m为非 0 整数〕；性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，那么 bd｜ ac；约数及倍数1. 求最大公约数的方法①分解质因数法 ：先分解质因数，然后把一样的因数连乘起来．3例如： 231 3 7 11 ， 252 22 2 7 ，所以 (231,252) 3 7 21 ；②短除法： 先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：218 123 9 63 2，所以 (12,18) 2 3 6 ；③辗转相除法： 每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的 最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第 一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又 用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数． ( 如果最后的除数是 1，那么原来的两个数是互质的 ) ．例如，求 600 和 1515 的最大公约数： 1515 600 2 315 ；600 315 1 285 ； 315 285 1 30 ； 285 30 9 15 ； 30 15 2 0 ； 所 以1515 和 600 的最大公约数是 15．2. 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n ．3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最大公约数 b； ba即为所求．二、倍数的概念及最小公倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例 如 ： 231 3 7 11 ，2252 232 7 ， 所 以231,252 22 327 11 2772 ；②短除法求最小公倍数；例如：218 123 9 63 2，所以 18,12 2 3 3 2 36 ；2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，那么它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ； ab即为所求．例如：3 5 [3,5] 15[ , ]4 12 (4,12) 4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数 . 例如：1 , 41,442 3 2,3三、最大公约数及最小公倍数的常用性质1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果 m 为 A 、 B 的最大公约数，且 A ma ， B mb ，那么 a、b 互质，所以 A 、 B 的最小公倍数为 mab，所以最大公约数及最小公 倍数有如下一些根本关系：① A B ma mb m mab ，即两个数的最大公约数及最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是 A 、 B 、 A B 、 A B 及最小公倍数的约数．2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积即(a, b) [ a, b] a b完全平方数1. 完全平方数的尾数只能是 0， 1，4， 5， 6， 9不可能是 2， 3，7， 82. 在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数3. 完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数p 整除完全平方数a 2 ，那么 p 能整除 a 1. 任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4〔或 8〕除余 1. 即被 4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数2. 一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1. 即被 3 除余 2的数一定不是完全平方数3. 自然数的平方末两位只有： 00， 01， 21，41，61， 81，04， 24， 44， 64， 84， 25， 09， 29， 49， 69， 89， 16，36，56， 76， 96。
4. 完全平方数个位数字是奇数〔 1， 5， 9〕时，其十位上的数字必为偶数5. 完全平方数个位数字是偶数〔 0，4〕时，其十位上的数字必为偶数6. 完全平方数的个位数字为 6 时，其十位数字必为奇数7. 凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“ 0”的自然数不是完全平方数；个位数字为 1，4， 9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数3. 平方差公式： a 2b2 ( a b)( a b)质数合数分解质因数1. 质数及合数一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数( 也叫做素数 ). 一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数 .要特别记住： 0 和 1 不是质数，也不是合数 .常用的 100 以内的质数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、 37、41、 43、47、 53、59、 61、67、 71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字只能是 1， 3， 7 或 9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点.⑵ 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3， 7 或 9. 这也是很多题解题思路，需要大家注意 .2. 质因数及分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数 .互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数 .2分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来， 叫做分解质因数 .例如： 30 2 3 512 2 2 3 23 ，2、3 都叫做 12 的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式 . 分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征 .3. 唯一分解定理〔算术根本定理〕任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，1 2 3即： n pa1pa2pa3p ak其中为质数，a a a n 的质因子分k1 2 k解式.例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数 .分析：∵ 210=2×3×5×7，∴可知这三个数是 5、6 和 7.4. 局部常用数的分解5. 判断一个数是否为质数的方法2根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q( 均为整数 ) ， 使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大于且接近 p 的平方数K ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的那么 p 就为质数 .例如： 149 很接近 144 12 12 ，根据整除的性质 149 不能被2、3、5、7、11 整除，所以 149 是质数 .余数问题一、带余除法的定义及性质一般地 ， 如果 a 是整数 ， b 是整数 〔 b≠0〕 , 假设有a÷ b=q r ，也就是 a＝ b× q＋r ,0≤ r ＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1) 当r 0 时：我们称 a 可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或完全商(2) 当r 0时：我们称 a 不可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b的商或不完全商二、三大余数定理： 余数之和同余于和余数之积同余于积3. 剩余定理(a,b)=1 c,d 为整数那么除以 a 。