(完整版)北师大数学七年级下册第一章乘法公式(基础)

乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、 完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义， 能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22()()ab abab 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，ba,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项” ，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()abba 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35 )(35 )xyxy （3）指数变化：如3232()()mnmn （4）符号变化：如()()ab ab  （5）增项变化：如()()mnp mnp （6）增因式变化：如2244()()()()ab ab abab 要点二、完全平方公式 完全平方公式：2222abaabb 2222)(bababa 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形： 2222ababab22abab 224ababab 要点三、添括号法则 添括号时， 如果括号前面是正号， 括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式 2()()()xp xqxpq xpq；2233()()ab aabbab； 33223()33abaa babb；2222()222abcabcabacbc. 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果． (1)2332abba； (2) 2323abab； (3) 2323abab； (4) 2323abab； (5) 2323abab； (6) 2323abab． 【思路点拨】 两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】 解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) 2323abab＝ 23b－22a＝2294ba． (3) 2323abab＝22a － 23b ＝2249ab． (4) 2323abab＝22a－ 23b ＝2249ab． (5) 2323abab＝23b－22a＝2294ba． 【总结升华】 利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项） ． 举一反三： 【变式】计算： （1）332222xxyy； （2）( 2)( 2)xx  ； （3）( 32 )(23 )xyyx． 【答案】 解： （1）原式2222392244xxyy． （2）原式222( 2)4xx ． （3）原式22(32 )(23 )(32 )(32 )94xyyxxyxyxy ． 2、计算： (1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】 解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1＝3600－0.01＝3599.99 (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002＝10000－4＝9996． 【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法， 构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算． 举一反三： 【变式】 （2015 春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算： （1）1232﹣124×122 （2） （2a+b） （4a2+b2） （2a﹣b） 【答案】 解： （1）1232﹣124×122 =1232﹣（123+1） （123﹣1） =1232﹣（1232﹣1） =1232﹣1232+1 =1； （2） （2a+b） （4a2+b2） （2a﹣b） =（2a+b） （2a﹣b） （4a2+b2） =（4a2﹣b2） （4a2+b2） =（4a2）2﹣（b2）2 =16a4﹣b4． 类型二、完全平方公式的应用 3、计算： (1)23ab； (2)232a ； (3)22xy； (4)223xy． 【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式. 【答案与解析】 解：(1)  22222332 396abaa bbaabb  ． (2) 22222322322 2334129aaaaaa   ． (3) 22222222244xyxxyyxxyy   ． (4) 222222232322 2334129xyxyxxyyxxyy ． 【总结升华】 (1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律： 当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意22abab 之间的转化． 4、 （2015 春•吉安校级期中）图 a 是由 4 个长为 m，宽为 n 的长方形拼成的，图 b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用 m、n 表示图 b 中小正方形的边长为 ． （2）用两种不同方法表示出图 b 中阴影部分的面积； （3）观察图 b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2， （m﹣n）2，mn； （4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知 a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值． 【答案与解析】 解： （1）图 b 中小正方形的边长为 m﹣n．故答案为 m﹣n； （2）方法①： （m﹣n） （m﹣n）=（m﹣n）2； 方法②： （m+n）2﹣4mn； （3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn； （4）由（3）得： （a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab， ∵ a+b=7，ab=5， ∴ （a﹣b）2=72﹣4×5 =49﹣20 =29． 【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量． 5、已知7ab，ab＝12．求下列各式的值： (1) 22aabb；(2) 2()ab． 【答案与解析】 解：(1)∵ 22aabb＝22ab－ab＝2ab－3ab＝27－3×12＝13． (2)∵ 2ab＝2ab－4ab＝27－4×12＝1. 【总结升华】由乘方公式常见的变形：①2ab－2ab＝4ab；②22ab＝2ab－2ab＝2ab＋2ab．解答本题关键是不求出, a b的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值． 举一反三： 【变式】已知2()7ab，2()4ab，求22ab和ab的值． 【答案】 解：由2()7ab，得2227aabb； ① 由2()4ab，得2224aabb． ② ① ＋②得222()11ab，∴ 22112ab． ① －②得43ab ，∴ 34ab ． 【巩固练习】 一.选择题 1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A.))((nmnm B.3333xyxy C.))((baba D.2222cddc 2．若xy＝6，xy＝5，则22xy等于( )． A.11 B.15 C.30 D.60 3．下列计算正确的是( )． A.55mm＝225m  B. 1 31 3mm＝21 3m C.24343916nnn    D.( 2abn)(2abn)＝224abn 4．下列多项式不是完全平方式的是( )． A.244xx B.mm 241 C.2296aabb D.24129tt 5． （2015 春•重庆校级期中）已知关于 x 的二次三项式 4x2﹣mx+25 是完全平方式，则常数m 的值为（ ） A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20 6．下列等式不能恒成立的是( )． A.222396xyxxyy B.22abccab C.22241)21(nmnmnm D.2244xyxyxyxy 二.填空题 7．若2216xax是一个完全平方式，则a＝______． 8. 若2294xy＝232xyM,则 M ＝______． 9. 若xy＝3，xy＝1，则22xy＝_______. 10.（2015 春•陕西校级期末） （1+x） （1﹣x） （1+x2） （1+x4）= ． 11. 25(2)(2)21xxx___________. 12.若212x，则代数式225xx的值为________. 三.解答题 13.（2015 春•兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程） ． （1）69×71； （2）992． 14.先化简，再求值：22) 1(2) 1)(1(5) 1(3aaaa，其中3a． 15.已知：2225,7xyxy，且,xy求xy的值. 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A； 【解析】A 中m和m符号相反，n和n符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数. 2. 【答案】C； 【解析】22xyxyxy＝6×5＝30. 3. 【答案】C； 【解析】55mm＝225m；1 31 3mm＝21 9m； (2abn)(2abn)＝2224a bn. 4. 【答案】A； 【解析】2211()42mmm；22296(3)aabbab；224129(23)ttt. 5. 【答案】D； 【解析】解：∵ 关于 x 的二次三项式 4x2﹣mx+25 是完全平方式， ∴ ﹣m=±20，即 m=±20． 故选：D． 6. 【答案】D； 【解析】 22222xyxyxyxy. 二.填空题 7. 【答案】±4； 【解析】2222162 44xaxxx ，所以4a  . 8. 【答案】12xy； 【解析】2294xy＝23212xyxy. 9. 【答案】7； 【解析】2222xyxyxy，22927xy. 10.【答案】1﹣x8； 【解析】解： （1+x） （1﹣x） （1+x2） （1+x4） =（1﹣x2） （1+x2） （1+x4） =（1﹣x4） （1+x4） =1﹣x8， 故答案为：1﹣x8 11.【答案】2421xx； 【解析】 22225(2)(2)2154441421xxxxxxxx. 12.【答案】6； 【解析】因为212x，所以2221,256xxxx. 三.解答题 13. 【解析】 解： （1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899； （2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801． 14.【解析】 解：223(1)5(1)(1)2(1)aaaa  22232151221210aaaaaa 当3,=2 3 1016a  时 原式. 15.【解析】 解：∵2222xyxyxy，且2225,7xyxy ∴27252xy，∴12xy ， ∵2222252 121xyxyxy  ∴1xy  ∵,xy即0xy ∴1xy. 。