第八讲第八讲 1414种布拉菲格子种布拉菲格子1深层分析 复习：复习：点对称操作、点对称操作、7 7种晶系、种晶系、3232种点群种点群2深层分析 360o/n (n = 1,2,3,4,6)1 (E, L1)2 (C2, L2)3 (C3, L3)4 (C4, L4)6 (C6, L6)1 (i, C)2 (σ, P), m3 (S65, Li3)4 (S43, Li4)6 (S35, Li6)++,+_,旋转轴，旋转轴， n 旋转反演轴，旋转反演轴， n 点对称操作点对称操作3深层分析 1 (E)2 (C2)3 (C3)4 (C4)6 (C6)1 (i)2 (σ), m3 (S65)4 (S43)6 (S35)(C41, C42, C43, C44 )(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 )(C31, C32, C33)n = 1n (iCn), Sn = σCn(σh, σv, σd) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E)点对称操作点对称操作!!!(C21, C22) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 664深层分析 对称条件对称条件晶系晶系特点特点四个三次轴四个三次轴四个三次轴四个三次轴三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)两个两个两个两个2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)a≠ b≠ c, ≠ ≠ a≠b≠c, = = 90o≠ a≠b≠c, = = = 90oa = b≠c, = = = 90oa = b≠c, = = 90o, = 120oa = b = c, = = = 90oa = b = c, = = 菱形菱形a = b≠c, = = 90o, = 120o全对称点群全对称点群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m5深层分析 点群各符号的顺序点群各符号的顺序晶系晶系在在在在 国国国国 际际际际 符符符符 号号号号 中中中中 的的的的 位位位位 置置置置123三斜三斜单斜单斜正交正交四方四方三方三方六方六方立方立方只用一个符号只用一个符号第一种定向：第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴是唯一轴2或或2沿沿a2或或2沿沿b2或或2沿沿c4或或4沿沿c2或或2沿沿a和和b2或或2沿沿a±b3或或3沿沿c2或或2沿沿a、、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、、b和和a+b3或或3沿沿<111>2或或2沿沿<110>2或或2 a、、b和和a+b2或或2沿沿a、、b和和a+b4、、4、、2或或2沿沿<100>6深层分析 1(L1)m(P)1(C)42m (Li42L22P)2(L2)2/m (L2PC)222(3L2)mm2 (L22P)mmm (3L23PC)4 (Li4)422 (L44L2)4/mmm(L44L25PC)4mm (L44P)4/m (L4PC)4(L4)62m (Li63L23P)6 (Li6)622 (L66L2)6/mmm (L66L27PC)6mm (L66P)6/m (L6PC)6(L6)23(3L24L3)m3 (3L24L33PC)432 (3L44L36L2)m3m (3L44L36L29PC)3m (Li33L23P)3(L3)3m (L33P)32(L33L2)43m (3Li44L36P)3(Li3)32323232种种种种点点点点群群群群及及及及其其其其点点点点对对对对称称称称操操操操作作作作7深层分析 1 (L1)三三斜斜晶晶系系1 (C)8深层分析 单单斜斜晶晶系系 (主主轴轴 c)2 (L2)m (P)2/m (L2PC)E; C2; i; h1; 2; 1; 2(m)主轴主轴 b b9深层分析 正正交交晶晶系系222 (3L2)mm2 (L22P)mmm (3L23PC)2/m 2/m 2/mE; C2; C2’ ; C2’; i; h; v; v10深层分析 四四方方晶晶系系4 (L4)4/m (L4PC)4mm (L44P)4/mmm (L44L25PC)422 (42, L44L2)4 (Li4)42m (Li42L22P)11深层分析 四四方方晶晶系系一般形，可直观地反映一般形，可直观地反映( (尤其是同一晶系尤其是同一晶系) )各点群的差别各点群的差别4 (L4)4/m (L4PC)4mm (L44P)4/mmm (L44L25PC)422 (42, L44L2)4 (Li4)42m (Li42L22P)12深层分析 六六方方晶晶系系6 (L6)6/m (L6PC)6mm (L66P)6/mmm (L66L27PC)622 (62, L66L2)6 (Li6)13深层分析 三三方方晶晶系系3 (L3)3m (L33P)32 (L33L2)3 (L3C)3m (L33L23PC)3m131m3213123m131m14深层分析 六六方方晶晶系系42m (Li42L22P)62m (Li63L23P)6m2 (Li63P3L2)4m2 (Li42L22P)30o45o15深层分析 a = b = c, = = = 90o立方晶系立方晶系16深层分析 yxz立方晶系中的立方晶系中的3 3 h h，，6 6 d dxy45o60o90o54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’17深层分析 面、方向、轴面、方向、轴y-xz45o, 90o, 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’, 60oxy01011111111111110001010000111011011011001110110101118深层分析 xyxy立方点群中立方点群中立方点群中立方点群中的的的的2次轴次轴次轴次轴19深层分析 xyxy立方点群中立方点群中立方点群中立方点群中的的的的4、、4次轴次轴次轴次轴20深层分析 yxz23 3m3 3yyx21深层分析 一般点及其操作一般点及其操作3 3、、、、3 3、、、、4 4、、、、4 4、、、、2 2次轴次轴次轴次轴xy01011111111111110001010000111011011011001110110101122深层分析 立立方方晶晶系系23 (3L24L3)xy{3[111]}{3[111]} = {2[010]}没有没有没有没有4 4 4 4次轴！次轴！次轴！次轴！XXyzx23深层分析 立立方方晶晶系系没有没有没有没有4 4 4 4次轴！次轴！次轴！次轴！m3 (2/m3, 3L24L33PC)XXzyx没有没有没有没有4 4 4 4次轴！次轴！次轴！次轴！左右手问题左右手问题左右手问题左右手问题yxXX24深层分析 立立方方晶晶系系xy43m (3Li44L36P)没有没有没有没有4 4 4 4次真旋转轴！次真旋转轴！次真旋转轴！次真旋转轴！zyxXX25深层分析 立立方方晶晶系系432 (43, 3L44L36L2)xy有有有有4 4 4 4次轴！次轴！次轴！次轴！zyx26深层分析 立立方方晶晶系系m3m (4/m32/m,3L44L36L29PC)有有有有4 4 4 4次轴！次轴！次轴！次轴！yxzxy27深层分析 TThTdOOhTetragonalOctahedralTd28深层分析 4/mmm(L44L25PC)6/mmm (L66L27PC)m3m (3L44L36L29PC)4/mmm(L44L25PC)E, 2C4, C2, 2C2’, 2C2”, σh, 2σv, 2σd , i, 2S46/mmm (L66L27PC)E, 2C6, 2C3, C2, 3C2’, 3C2”, σh, 3σv, 3σd,i, 2S3, 2S6m3m (3L44L36L29PC)E, 8C3, 3C2, 6C4, 6C2, 3σh, 6σdi, 8S6, 6S4, 29深层分析 1 (E)2 (C2)3 (C3)4 (C4)6 (C6)1 (i)2 (σ), m3 (S65)4 (S43)6 (S35)(C41, C42, C43, C44 )(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 )(C31, C32, C33)n = 1n (iCn), Sn = σCn(σh, σv, σd) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E)点对称操作点对称操作!!!(C21, C22) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 6630深层分析 从旋转点群推导从旋转点群推导3232种点群种点群 点群的熊夫利斯符号点群的熊夫利斯符号11111111种纯旋转群：种纯旋转群：种纯旋转群：种纯旋转群： 1 2 3 4 6222 32 422 62223 432C1 C2 C3 C4 C6 D2 D3 D4 D6 T O循环点群循环点群二面体点群二面体点群立方点群立方点群11111111种中心对称点群：种中心对称点群：种中心对称点群：种中心对称点群：m3 m3mS2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h D6h Th Oh1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmm10101010种新子群：种新子群：种新子群：种新子群：m3 m3m1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmm C1h S4 C3h C2v C3v C4v D2d C6v D3hTdmmm2463m4mm 42m43m6mm 6m231深层分析 推导推导3232种点群的种点群的熊夫利斯方案熊夫利斯方案 熊夫利斯符号熊夫利斯符号五种循环群五种循环群五种循环群五种循环群 C C C Cn n n n ( ( ( (5 5 种种种种) ) ) ) C C C Cnhnhnhnh = C = C = C = Cn n n n ×××× {E, {E, {E, {E, σσσσh h} (} (} (} (5 5 5 5 种种种种) ) ) ) C C C Cnvnvnvnv = C = C = C = Cn n n n × {E, × {E, × {E, × {E, σσσσv v v v} (} (} (} (4 4 种种种种, C, C, C, C1v1v1v1v = = = = C C C C1h1h1h1h) ) ) )非真旋转非真旋转非真旋转非真旋转 S S S Sn n n n ( ( ( (3 3 种，种，种，种，n =2, n =2, n =2, n =2, 4, 6)4, 6)4, 6)4, 6) D D D Dn n n n = C = C = C = Cn n n n ×××× {E, C {E, C {E, C {E, C2 2 2 2[100][100][100][100] } (} (} (} (4 4 4 4 种种种种) ) ) ) D D D Dnhnhnhnh = C = C = C = Cnhnhnhnh ×××× {E, {E, {E, {E, d d} (} (} (} (4 4 4 4 种种种种) ) ) ) D D D Dndndndnd = S = S = S = S2n2n2n2n ×××× {E, C {E, C {E, C {E, C2 2 2 2[100][100][100][100] } (n =2, } (n =2, 3 3 共共共共2 2 2 2种种种种) ) ) )立方点群立方点群立方点群立方点群( ( ( (无主轴）无主轴）无主轴）无主轴）5 5 种种种种: T, T: T, T: T, T: T, Th h h h, T, T, T, Td d d d, , , , O, OO, OO, OO, Oh h h h32深层分析 第八讲第八讲 1414种布拉菲格子种布拉菲格子旋转对称性旋转对称性晶系、参考轴晶系、参考轴初基初基P单胞单胞 (6)有心化有心化新的点阵新的点阵(有心有心 8 种种)满足点阵条件满足点阵条件 + 晶系不变晶系不变P点阵中高对称位置加心点阵中高对称位置加心(体心体心I, 全面心全面心F, 单面心单面心A, B或或C 双面心双面心)14种布拉菲点阵种布拉菲点阵旋转对称性旋转对称性六方格子特殊心六方格子特殊心 菱形菱形( (三方三方) )单胞单胞33深层分析 ABXXXX双面心不满足点阵条件！双面心不满足点阵条件！34深层分析 对称条件对称条件晶系晶系特点特点四个三次轴四个三次轴四个三次轴四个三次轴三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)两个两个2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)a≠ b≠ c, ≠ ≠ a≠b≠c, = = 90o≠ a≠b≠c, = = = 90oa = b≠c, = = = 90oa = b≠c, = = 90o, = 120oa = b = c, = = = 90oa = b = c, = = 菱形菱形a = b≠c, = = 90o, = 120o全对称点群全对称点群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m35深层分析 三三斜斜晶晶系系单单斜斜晶晶系系三斜三斜 P P单斜单斜 P P单斜单斜 B B单斜单斜 C = PC = P不是新点阵不是新点阵单斜单斜 B = I = F = Ab b轴为唯一轴轴为唯一轴: :B = P，，C = I = F = A36深层分析 正交正交 P P正交正交 C C正交正交 I I正交正交 F F正正交交晶晶系系正交正交 C = A = B C = A = B ≠ P ?≠ P ?37深层分析 立方立方 P P立方立方 I, bccI, bcc立方立方 F, fccF, fcc四方四方 I I四方四方 P P四四方方晶晶系系立立方方晶晶系系四方四方 C = P ≠A ≠BC = P ≠A ≠B四方四方 F = IF = I单面心破坏单面心破坏4 4个个3 3次对称性！次对称性！非点阵非点阵非点阵非点阵38深层分析 六六方方晶晶系系三三方方菱菱形形晶晶系系六方六方 P P三方三方 R R底面心：正交底面心：正交侧面心：非点阵侧面心：非点阵+c/2体心：非六方点阵体心：非六方点阵+c/2(1/3, 2/3, 0)：：P+2c/3+c/3±(1/3, 2/3, 2/3)：：R有心化有心化±(1/3, 2/3, 1/3)：：R39深层分析 +2c/3+c/3abc正定向正定向+c/3+2c/3abc反定向反定向六六角单胞有心化后，已不具有角单胞有心化后，已不具有6 6次对称性，却导出有次对称性，却导出有3 3次对称性的次对称性的菱形初基单胞。
菱形初基单胞R R 点阵可由两种轴系表示：点阵可由两种轴系表示：R R晶系、六角晶系晶系、六角晶系a = b≠c, = = 90o, = 120oa = b = c, = = 菱形菱形R R单胞有心化单胞有心化单胞有心化单胞有心化面心面心面心面心体心体心体心体心R R R R单胞只单胞只单胞只单胞只有有有有P P P P格子格子格子格子不同轴长和轴间角不同轴长和轴间角不同轴长和轴间角不同轴长和轴间角40深层分析 41深层分析 作业：作业：Page 65-66:2, 3, 4, 10, 1142深层分析 43深层分析 。