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数值分析11对称正定矩阵的收敛性课件

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数值分析11对称正定矩阵的收敛性课件_第1页
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Ø边值问题数值解算例边值问题数值解算例Ø对称正定矩阵的收敛性对称正定矩阵的收敛性Ø超松驰迭代算法超松驰迭代算法Ø分块矩阵的块迭代分块矩阵的块迭代《《数值分析》》 11 例例1 1 常微分方程边值问题常微分方程边值问题 在在x1=0.1, x2=0.2,···,x9=0.9 处的数值解处的数值解解解: 令令 h = 0.1, 记记 yj=y(xj) ( j = 1,2,···,9),将将代入微分方程代入微分方程,整理得整理得 – yj-1 + (2 – h2) yj – yj+1 = xj h2 ( j= 1,2,···,9) 2/18 yj = [xj h2 + yj-1 + yj+1]/ (2 – h2) , ( j= 1,2,···,9)– yj-1 + (2 – h2) yj – yj+1 = xj h2 高斯高斯-赛德尔迭代格式赛德尔迭代格式:3/18 程序程序h=0.1;x=0:h:1;y=zeros(size(x));r1=h*h;r=2-r1;er=1;k=0;while e>0.0001 er=0; for j=2:10 s=(y(j-1)+y(j+1) + r1*x(j))/r; er=max(er,abs(s-y(j)));y(j)=s; end k=k+1end准确解准确解: y(x)=sin x/sin 1 - x----- y(x)o yj4/18 正方形区域上第一边值问题正方形区域上第一边值问题 准确解准确解: :O1x1y5/18 取正整数取正整数n, ,记记 对区域做网格剖分对区域做网格剖分: : xi = i h ( i = 0,,1,,……,,n+1 )yj = j h ( j = 0,,1,,……,,n+1)在点在点(xi,,yj ) 处记处记 uij = u(xi ,yj) ,五点差分格式五点差分格式整理整理6/18 边界条件边界条件: u0, j = 0 (j = 1, ···, n); un, j = ( j = 1, ···, n); ui,0 = 0 ( i = 1, ···, n); ui,n = 0 ( i = 1, ···, n) 结点数结点数n2 102 202 402迭代次数迭代次数 91 303 978CPU时间时间(s) 0.14 1.843 24.6720误差误差 0.0028 5.6995e-4 6.6671e-4高斯高斯- -赛德尔迭代法实验赛德尔迭代法实验:7/18 定理定理4.4 方程组方程组 Ax=b中中, 若若A是实对称正定是实对称正定矩阵矩阵,则则Gauss-Seidel迭法收敛迭法收敛证明证明: 由由 A = D – L – LT  BG-S = (D – L)-1LT设设λ为为BG-S的任一特征值的任一特征值, x为其特征向量为其特征向量,则则(D – L)-1LT x =λx  LT x =λ(D – L)x  A正定正定,故故 p = xTDx>0, 记记 xTLTx = a , 则有则有xTLTx =λxT(D – L)xxTAx=xT(D – L – LT)x=p – a – a =p – 2a >08/18 所以所以, 迭代矩阵迭代矩阵BG-S的谱半径的谱半径ρ(BG-S) < 1,从而从而当方程组当方程组 Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A 是实对称正定矩是实对称正定矩阵时阵时,Gauss-Seidel迭代法收敛迭代法收敛称称 R= – lnρ(B) 为迭代法的渐近收敛速度为迭代法的渐近收敛速度9/18 (i=1,2,···, n; k = 1,2,3, ·········· )超松驰超松驰(SOR)迭代法迭代法Gauss-Seidel迭代格式迭代格式10/18 定理定理4.8 若若A是对称正定矩阵是对称正定矩阵,则当则当0<ω<2时时SOR迭代法解方程组迭代法解方程组 Ax = b 是收敛的是收敛的定理定理4.9 若若A是严格对角占优矩阵是严格对角占优矩阵,则当则当0<ω<1时时SOR迭代法解方程组迭代法解方程组 Ax = b 是收敛的是收敛的迭代矩阵迭代矩阵11/18 例例4.3 用用SOR方法解方法解方程组方程组(ω=1.4)w=input('input: w:=');A=[2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 2];b=[1;0;1.8]; x=[1;1;1];er=1;k=0;while er>0.0005 er=0;k=k+1; for i=1:3 s=0;t=x(i);x(i)=0; for j=1:3 s=s+A(i,j)*x(j); end x(i)=(1-w)*t+w*(b(i)-s)/A(i,i); er=max(abs(x(i)-t),er); endendkk=10x= 1.1999 1.3999 1.5999ω=1.2,只需只需k=612/18 块迭代法简介块迭代法简介设设 A∈∈Rn×n, x∈∈Rn, b∈∈Rn将方程组将方程组A x = b中系数矩阵中系数矩阵A分块分块其中其中, Aii∈∈Rni×ni, Aij∈∈Rni×nj , xi∈∈Rni, bi∈∈Rni13/18 将将A分解分解, A = DB – LB – UB (1)Jacobi块迭块迭代代 DB X(k+1) = (LB + UB)X(k) + bi=1,2,···, r(2)Gauss-Seidel块迭代块迭代 DB X(k+1) = LB X(k+1)+ UBX(k) + bi=1,2,···, r14/18 块迭代求解块迭代求解X1 = [x1 x2 x3]TX2 = [x4 x5 x6]Tb1 = [0 5 0]Tb2 = [6 –2 6]TDX1 – X2 = b1–X1+ DX2=b2DX1(k+1)= b1+X2(k)DX2(k+1)=b2 + X1(k)15/18 ( i, ,j = 1,···,,···,n )边值问题边值问题:( i, ,j = 1,···,,···,n ; k = 1,2,3,······ ))保留三对角块保留三对角块16/18 取正整数取正整数n, h=1/(n+1)离散点离散点xi = i h yj = j h zm = m h (i, j, m = 0,1,···,n+1)用七点差分格式计算求解,用用七点差分格式计算求解,用slice命令绘四维图命令绘四维图17/18 高斯高斯- -赛德尔迭代法赛德尔迭代法18/18 。

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