高等代数高等代数高等代数高等代数§2.6 克莱姆法则克莱姆法则 高等代数高等代数高等代数高等代数授课题目授课题目 2.6 克莱姆法则克莱姆法则授课时数授课时数 2课时课时教学目标教学目标 掌握克莱姆法则，并能应用克莱掌握克莱姆法则，并能应用克莱 姆法则来求方程组的解姆法则来求方程组的解教学重点教学重点 : 1 法则的含意法则的含意; 2 法则的应用法则的应用教学难点教学难点: 对法则局限性的理解与应用对法则局限性的理解与应用 高等代数高等代数高等代数高等代数现在来讨论一般线性方程组现在来讨论一般线性方程组.所谓一般线性所谓一般线性方程组是指形式为方程组是指形式为一、线性方程组的概念一、线性方程组的概念的方程组，其中的方程组，其中 x1, x2 , … , xn 代表代表 n 个未知量，个未知量，s 是方程的个数，是方程的个数，aij (i = 1, 2, … , s, j = 1, 2, … , n) 称称 高等代数高等代数高等代数高等代数为方程组的为方程组的系数系数，，bi (i = 1, 2, … , s) 称为称为常数项常数项.方程中未知量的个数方程中未知量的个数 n 与方程的个数与方程的个数 s 不一定相等不一定相等.系数系数 aij 的第一个指标的第一个指标 i 表示它在第表示它在第 i 个方程，第二个方程，第二个指标个指标 j 表示它是表示它是 xj 系数系数.因为因为(1)含有含有n个未知量，个未知量，所以称为所以称为n元线性方程组。
元线性方程组 高等代数高等代数高等代数高等代数所谓方程组所谓方程组c1, c2 , … , cn 组成的有序数组组成的有序数组 ( c1, c2 , … , cn )，，当当x1, x2 , … , xn 分别用分别用 c1, c2, … , cn 代入后，代入后，(1) 中每中每个等式都变成恒等式个等式都变成恒等式.方程组方程组 (1) 的解的全体称为的解的全体称为的一个的一个解解就是指由就是指由 n 个数个数它的解集合它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合解，或者说，求出它的解集合. 如果两个方程组有如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为相同的解集合，它们就称为同解的同解的. 高等代数高等代数高等代数高等代数 关于线性方程组需要解决的问题有关于线性方程组需要解决的问题有: 线性方线性方程组程组是否有解是否有解?如果有解如果有解, 它它有多少个解有多少个解? 如何求如何求出这些出这些解解? 本节只讨论方程的个数与未知量的个数相等（即本节只讨论方程的个数与未知量的个数相等（即s=n）的情形）的情形 高等代数高等代数高等代数高等代数如果线性方程组 如果线性方程组 (1)的系数行列式的系数行列式二、克莱姆法则二、克莱姆法则 高等代数高等代数高等代数高等代数那么这个方程组有解，并且解是唯一，的可表那么这个方程组有解，并且解是唯一，的可表示为示为 的元素用方程组（的元素用方程组（1）的常数项 代换 ）的常数项 代换 所得的一个所得的一个 n 阶行列式，即阶行列式，即其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列 高等代数高等代数高等代数高等代数用常数项列替换用常数项列替换 D 的第的第 i 列，其余列不变。
列，其余列不变 高等代数高等代数高等代数高等代数证明思路：证明思路：1° 验证验证满足各方程（存在性）；满足各方程（存在性）；2° （（1）的）的 解定能表成形式解定能表成形式（唯一性）唯一性）所用结果：所用结果：证证1° 将将 Di 按第按第 i列展开列展开代入第代入第1个方程的左端个方程的左端将将4 高等代数高等代数高等代数高等代数左＝左＝（证＝（证＝b1)( )D按第按第1行展开行展开＝0＝0满足第满足第1个方程个方程 高等代数高等代数高等代数高等代数类似验证第类似验证第2，，…，，n个方程也满足个方程也满足是方程组（是方程组（1）的解2° 由由1°知，（知，（1）有解，）有解，a11x1+a12x2a1nxn+…+=b1a21x1+a22x2a2nxn+…+=b2an1x1+an2x2annxn+…+=bn……用用D的的第第i列列元素元素的代的代数余数余子式子式乘两乘两边边AniA2iA1iA1i这证明了（这证明了（1）有解）有解A1iA1iA2iA2iA2iAniAniAni对应对应相加相加整理整理 高等代数高等代数高等代数高等代数由定理由定理4和定理和定理5证毕证毕 高等代数高等代数高等代数高等代数说明：说明：说明：说明：2.2.克莱姆法则的三条结论克莱姆法则的三条结论1. 克莱姆法则的三个条件克莱姆法则的三个条件（（1）待解的方程组是线性方程组；）待解的方程组是线性方程组；（（2）待解方程组未知数的个数与方程组的个数相等；）待解方程组未知数的个数与方程组的个数相等；（（3）待解的方程组的系数行列式不等于零）待解的方程组的系数行列式不等于零.1° 有解有解2° 唯一解唯一解3° 解的公式解的公式 高等代数高等代数高等代数高等代数不足之处：不足之处：不足之处：不足之处：方程个数与未知数个数不等，或方程个数与未知数个数不等，或方程个数与未知数个数不等，或方程个数与未知数个数不等，或D=0D=0，不能用。
不能用如果线性方程组（如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式一定为零则它的系数行列式一定为零.克莱姆法则的等价命题是：克莱姆法则的等价命题是：思考：思考：若若D=0 呢？呢？ 第三章给出答案：第三章给出答案：可能无解，可能有无穷多个解！可能无解，可能有无穷多个解！ 高等代数高等代数高等代数高等代数例例2：解线性方程组：解线性方程组点评：点评： (1) 一共要计算一共要计算n+1个个n阶行列式，计算量大；阶行列式，计算量大； 不如用初等变换简单（第三章介绍）不如用初等变换简单（第三章介绍）2) 理论价值高于计算价值理论价值高于计算价值 高等代数高等代数高等代数高等代数常数项全为零的线性方程组称为常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方齐次线性方程组程组.显然，齐次线性方程组总是有解的，因为显然，齐次线性方程组总是有解的，因为(0, 0, … , 0) 就是一个解，它称为就是一个解，它称为零解零解.对于齐次对于齐次线性方程组，我们关心的问题是，它除去零解以外线性方程组，我们关心的问题是，它除去零解以外还有没有其他解，或者说，它有没有还有没有其他解，或者说，它有没有非零解非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有程组，应用克拉默法则就有二、齐次线性方程组克拉默法则二、齐次线性方程组克拉默法则 高等代数高等代数高等代数高等代数定理定理 7 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组的系数行列式的系数行列式的系数行列式的系数行列式 D D 0 0，那么它只有零解，那么它只有零解，那么它只有零解，那么它只有零解. .换句话说，如果它有非零解，则必有换句话说，如果它有非零解，则必有换句话说，如果它有非零解，则必有换句话说，如果它有非零解，则必有D = 0.D = 0. 高等代数高等代数高等代数高等代数现在只能得出现在只能得出有有无无非零解非零解这种定性结果，这种定性结果，求非零解的方法在第三章介绍。
求非零解的方法在第三章介绍点评：点评： 补例补例 若下列齐次线性方程组有非零解，若下列齐次线性方程组有非零解，k为何值为何值？？ 高等代数高等代数高等代数高等代数解解思路：思路：由定理知，方程组有非零解，则由定理知，方程组有非零解，则D=0计算计算D令其为零令其为零解解k由方程组有非零解，则由方程组有非零解，则即即k=1. 高等代数高等代数高等代数高等代数练习：练习：解解故方程组只有零解故方程组只有零解 高等代数高等代数高等代数高等代数例例3：证明下列方程组：证明下列方程组 p95 第第13题题只有零解．其中只有零解．其中 不全为不全为0．． 高等代数高等代数高等代数高等代数证：证：系数行列式系数行列式 高等代数高等代数高等代数高等代数由由 不全为不全为0，有 ，有 即即 ，故方程组只有零解． ，故方程组只有零解． 高等代数高等代数高等代数高等代数1. 1. 用克拉默法则解方程组的三个条件用克拉默法则解方程组的三个条件(2)(2)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(3)(3)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .2. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. .三、小结三、小结三、小结三、小结作业：习题作业：习题2.6 P64 1(2)、、2（（1）待解的方程组是线性方程组；）待解的方程组是线性方程组； 高等代数高等代数高等代数高等代数评评论论：： c cr ra am me er r法法则则给给出出一一类类线线性性方方程程组组的的公公式式解解，，明明确确了了解解与与系系数数的的关关系系，，这这在在以以后后的的许许多多问问题题的的讨讨论论中中是是重重要要的的，，同同时时便便于于编编成成程程序序上上计计算算机机进进行行计计算算. . 但但作作为为一一种种计计算算方方法法而而言言要要解解一一个个n n个个未未知知量量、、n n个个方方程程的的线线性性方方程程组组，，要要计计算算n n+ +1 1个个阶阶行行列列式式，，计计算算量量较较大大. .另另一一方方面面该该公公式式解解对对n n个个未未知知 量量 ，，m m个个 方方 程程 的的 一一 般般 线线 性性 方方 程程 组组 的的 求求 解解 无无 能能 为为 力力. . 高等代数高等代数高等代数高等代数促使人们对线性方程组解法作更深入的研究。
促使人们对线性方程组解法作更深入的研究Cramer Cramer 法则的应用法则的应用 高等代数高等代数高等代数高等代数资料：资料： 克莱姆是瑞士数学家，克莱姆是瑞士数学家，17041704年年7 7月月3131日生于日内瓦，日生于日内瓦，17521752年年1 1月月4 4日去世于法国塞兹河畔的巴尼奥勒日去世于法国塞兹河畔的巴尼奥勒. .早年在日早年在日内瓦读书，内瓦读书，17241724年起在日内瓦加尔文学院任教，年起在日内瓦加尔文学院任教，17341734年成年成为几何学教授，为几何学教授，17501750年任哲学教授年任哲学教授. . 1750 1750年，他在专著《线性代数分析导论》中首次提出年，他在专著《线性代数分析导论》中首次提出了由线性方程组的系数确定方程组解的表达式，即著名的了由线性方程组的系数确定方程组解的表达式，即著名的““克莱姆法则克莱姆法则”.(”.(其实莱布尼兹（其实莱布尼兹（16931693年）和马克劳林年）和马克劳林（（17481748年）也给出了该法则，但他们的记法不如克莱姆，年）也给出了该法则，但他们的记法不如克莱姆，故流传下来故流传下来) )。
他一生未婚，专心治学，平易近人，德高他一生未婚，专心治学，平易近人，德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会成员大利等学会成员. . 他为数学宝库留下大量的有价值的文献，他为数学宝库留下大量的有价值的文献，其严谨的科学态度值得我们学习其严谨的科学态度值得我们学习 高等代数高等代数高等代数高等代数二、二、齐次齐次线性方程组线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组一定有解一定有解（零解（零解 xj=0)，，现在讨论在什么条件下现在讨论在什么条件下有非零解有非零解（感兴趣的）感兴趣的）定理定理7证证2° 由由1°可得以后可以后可证是充证是充要的要的4 Thank you!30 。