专题复习一 勾股定理常见勾股数如下：3,4,56,8,109,12,1512,16,2015,20,255,12,137,24,259,40,4110,24,268,15,173、常见平方数：； ； ； ； ；； ； ； ；； ； ； ； ；4、已知斜边和一条直角边求另一条直角边由a+b=c可得 a= c- b=(c+b) (c-b) （平方差公式）例如，已知c=61, b=60, 则a= c- b= (61+60) (61-60) =121, 则 a=11已知c=41, b=40, 则a= c- b= (41+40) (41-40) =81,则 a=9已知c=17, b=8, 则a= c- b= (17+8) (17-8) =25 x 9=52 x 32= (5 x 3)2A则 a = 5 x 3 =155、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半CDE如图，CD为斜边AB的中线，过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F在RT▲ADE 和RT▲DBF中， DAE=BDF , AD=DB ADE=DBF BRT▲ADE≌RT▲DBF ∴ EA=FD, 有因CEDF为矩形， ∴FD=CE=EA=1/2 CAFRT▲ADE≌RT▲CDE ∴ CD=AD=DB=1/2 AB 6、直角三角形30°角的对边等于斜边的一半7、三角形内角平分线上的点到两边的距离相等8、任意三角形三个内角的角平分线相交于一点。
该点称三角形的内心（内切圆圆心） 9、任意三角形三个边上的垂线（高）相交于一点该点称三角形的垂心10、任意三角形三个边上的中线相交于一点该点称三角形的重心11、任意三角形三个边上的垂直平分线（中垂线）相交于一点该点称三角形的外心（外接圆圆心）12、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，︱a-b︱﹤c﹤a+b13、三角形面积计算公式：S=底边长 x 高 14、垂直平分线垂直且平分其所段 垂直平分 线上任意一点，到线段两端点的距离相等15、点A沿某一条线段（EF）折叠至点B，折线EF则折线EF垂直平分线段AB16、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形判断 ：根据勾股定理a+b=c可判断c边的对角C是否为直角若a+b>c， 则∠C为锐角； 若 a+b=c 则∠C为直角； 若a+b
Rt▲ABC, a=3, c=5, 则 b=4, S=ab=x 3 x 4=6又如，三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 ∵ 52+122 =25+144=169=132∴ 该三角形为直角三角形，且5,12 为直角边S=ab=x 5 x12=302) 已知周长（a+b+c）和斜边长c ，或已知 （a+b）及c，求面积:在RT▲ABC中，∵ (a+b)2=a2+b2+2ab, c2=a2+b2∴ (a+b)2-c2 =2ab因此S=ab=[(a+b)2-c2]= (a+b+c) (a+b-c)即 S= (a+b+c) (a+b-c) = x (周长) x (周长-2c) （公式）例题2、一直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 解S= (a+b+c) (a+b-c)=x 12 x (12-5-5)=6 (m2)１． 已知直角三角形的周长是2+，斜边长2，求它的面积 S= (a+b+c) (a+b-c) =(2+) x (2+-2-2)=(2+) x (-2)= x [()2-22]=x 2= ２．已知直角三角形的斜边中线为５，面积为２４，求它的周长。
RT▲ABC中线为5， 则斜边长c为10, 由 (a+b)2=a2+b2+2ab, c2=a2+b2 得 (a+b)2= c2+2ab=100+（2x2 x24）=196 ∴ (a+b) =14 ∴ a+b+c=24３．已知直角三角形的周长是５６，面积为４２，求它的斜边长S= x (周长) x (周长-2c) ∴ 42 =x 56 x (56-2c) 56-2c=3 2c=53, c=53/23) 已知a、b，c，（或已知a、b，根据勾股定理求出c），求高h. 根据RT▲ABC面积计算公式S=ab 以及 S=h*c 得 ab= hc ∴ h =例题3、在RT▲ABC中，，BC=8, AB=10, CD是斜边的高，求CD的长？∵ ，AB为斜边，且BC=8, AB=10∴ 直角边AC=6 h ====4.8练习：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，则CD的长为（ ）∵AB为斜边，设AC=4x, BC=x, 则 (4x)2+x2=1 17x2=1, ∴ x2=1/17 在RT▲ABC中， 斜边AB上的高 CD=== 4x2=4/174) 直线上摆正方形问题S1S2S3直线l上有三个正方形S1、S2、S3，若已知S1和S3的面积，则S2的面积为 证明：在RT▲ABC和RT▲CDE中，，，=180°∵正方形S2中，，AC=CE∴=90°而∴=又==90° AC=CERT▲ABC≌RT▲CDE∴BC=DE∵S2=AC2=AB2+BC2 =AB2+DE2 而S1=AB2，S3=DE2∴S2= S1+ S3例题4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于 解: ∵ S1+ S2=1, S3+ S4=3∴ S1+ S2 + S3+ S4= 1+3 = 4 8、有一块土地形状如图3所示，，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积添加辅助线构造直角三角形） DCBA图39、如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D =90°求四边形ABCD的面积证明： 延长AD和BC相交与点E∵∠A=60°, ∠B=90°∴∠E=30°AB=2AE=4,BE2=AE2-AB2=12BE=，同理可知 DE=S▲ABE= x AB x BE= x 2 x =ES▲CDE= x CD x DE= x 1 x =则四边形ABCD的面积为 S▲ABE- S▲CDE=10、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=4，BC=8，求：重合部分△EBD的面积∵==∴BE=DE AE2+AB2=BE2=DE2=(AD-AE)2AE2+42=(8-AE)2=82+AE2-16AE16AE=64-16=48AE=3S△EBD=S△ABD-S△ABE= x 32-x 3 x 4=1011、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.专题二、勾股定理与折叠点A沿某一条线段（EF）折叠至点B，折线EF。
则折线EF垂直平分线段AB1、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？解：设CE=x，则AE=8-x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴AE=BE=8-x，在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2，解得x=1.75，∴CE=1.75．EDBCA图52、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=8，BC=6,现将顶点A折叠至点B，折线为DE，求CE的长？解： DE为折线，则DE垂直平分线段AB，因此AE=BE BE2=EC2+BC2(AC-CE)2=EC2+BC2(8-CE)2=62+CE2 64-16CE+ CE2=62+CE2 16CE=64-36=28 CE== A B C D E3、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长图4EGCDBA4、如图，长方形ABCD中，AB=3cm BC=4cm，将此长方形折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，求AE、EF的长设AE=x, EF为折线，EF 为AC的垂直平分线，则CE=AE=xBE=BC-CE=4-xAB2=AE2-BE2= x2-(4-x)2=8x-16=9 ∴ x=25/8EF⊥AC ∴ EO2=AE2-AO2=()2-()2==∴ EO=∴ EF=2x=AEDBCFD1O5、如图6，在矩形纸片ABCD中，AB=，BC=6,沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在Q点处，AD与PQ相交于点H，BPE=图6PHFEQDCBA（1）求BE、QF的长（2）求四边形QPEF的面积。
7、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为D专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度1、如图7，铁路上A、B两站相距25千米，C、D为两村庄，DAAB于A点，CBAB于点B，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C。