隧 道 工 程,SUI DAO GONG CHENG,,,,,『第七章,▎,隧道工程设计 中的有限元法,7,『,7.1,▎,概述,『,7.2,▎,有限元法基础,『,7.3,▎,隧道围岩弹塑性,,有限元分析,,,,,隧 道 工 程,SUI DAO GONG CHENG,『,7.4,▎,工程实例分析,『第七章 ▎隧道工程设计,『,7.1,▎,概述,『,7.1.1,▎,数值分析法简介,,以往隧道工程被认为是以经验为主的学科，是一种“工艺”而不是一种“科学”这是因为,岩土介质作为隧道工程的对象包含着多种随机因素,(,例如：非均匀性和各向异性，地质构造和结构面，应力,-,应变的非线性本构关系，初始地应力，地下水等等,),，正确掌握这些因素及其变化规律非常困难因而试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的因此寻求近似解法就成了必由之路经过多年的探索，近似算法有许多种，常用的数值分析方法是,有限元法,（,Finite element method,，,FEM,）、,有限差分法,（,Finite difference method,，,FDM,）、,边界元法,（,Bounder element method,，,BEM,）、,变分法,（,Variation method,，,VM,）和,加权余量法,（,Weighted residual method,，,WRM,）。
『 7.1 ▎概述『 7.1.1 ▎数值分析法简介,,有限元法,最初被用来研究复杂的飞机结构中的应力，它是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机地结合在一起的一种数值分析技术其基本思想是把求解区域看作由许多小的在节点处相连接的单元构成（离散化），其模型给出基本方程的大单元近似解目前它已成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算方法有限差分法,化常微分方程或偏微分方程为差分方程，然后结合初始及边界条件，求解线性代数方程组其计算可给出模型基本方程的逐点近似值（差分网格上的点），但对于不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件问题，有限差分法就难以应用了边界元法,化微分方程为边界方程，使用类似于有限元法的离散技术来离散边界离散化所引起误差仅来源于边界，因而提高了计算精度依靠边界节点上算得的量，即可计算,有限元法最初被用来研究复杂的飞机结构中的应力,区域内的有关物理量，从而减少了准备工作量及计算量缺点是对变系数或非线性问题的适应性不如有限元法变分法,是讨论泛函的极值问题，对上述有限差分法和有限元法都可起推导基本公式的作用而这方法本身，也是数值方法中最古老的方法加权余量法,可以引入试函数和权函数，从微分方程中直接求出近似的数值解。
它的优点是可以避免建立能量方程，使一些无法求得能量方程的课题得到了较精确的解答『,7.1.2,▎,有限元法发展概况,,有限元法的概念可以追溯到,20,世纪,40,年代1943,年，,Courant,第一次在他的论文中，取定义在三角形分片上的连续函数，利用最小势能原理研究了,St.Venant,的扭转问题1956,年，,Turner,，,Clough,，,Martin,和,Topp,等人在他们的论文,区域内的有关物理量，从而减少了准备工作量及计算量缺点是对变,中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答他们利用弹性理论的方程求出了三角形单元的特性，并第一次介绍了今天人们熟知的确定单元特性的直接刚度法有限元法”这个名称，第一次出现在,1960,年，当时,Clough,在一篇平面弹性问题的论文中应用过它工程师们开始认识了有限元法的功效，此后有限元法在工程界获得了广泛的应用到,20,世纪,70,年代以后，随着计算机和软件技术,的发展，有限元法也随之迅速地发展起来到目前为止，有限元法已被应用于,固体力学,、,流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域,；能进行由杆、梁、板、壳、块体等各类单元的弹性、弹塑性、塑性或粘性问题的求解，包括静力和动力问题；能解决土力学、岩石力学、断裂力学等问题；能求解流体场、温度场、电磁场等场分布问题的稳态和瞬态问题；还能求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用问题。
中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答他们,『,7.1.3,▎,有限元法软件简介,,大型通用软件,有限元法软件,专用软件,自编特殊软件,其特点就是“通用性”单元库内一般常用单元齐全，如杆单元、梁单元、膜单元、板单元、壳单元、轴对称单元、实体单元、边界元等功能库内分析模块众多，应用范围广泛它是为解决某一类学科问题，如接触问题、优化问题、弹塑性问题等，或是解决某一类产品基础件的计算分析问题等而发展起来的其规模一般比较小，解决问题比较专一，适合在小型及微型计算机上运行此类软件主要应用在科研和教学上这类程序不用特别技巧，只要说明问题即可，规模不大『 7.1.3 ▎有限元法软件简介大型通用软件有限元法软件专,,有限元软件发展很快，,我国已引进的主要软件有：,ANSYS,，,SAP,，,ADINA,，,ASKA,、,MARC,、,NONSAP,等，许多软件具备了前、后处理功能，这不仅提高了解题速度，还极大地方便了使用者，对有限元法,的普及与应用起了很大的促进作用『,7.2,▎,有限元法基础,『,7.2.1,▎,概述,,有限元法的分析过程，概括起来可分为以下几个步骤：,1),将一个受力的连续体“离散化”，即将它看作是由一定数量的有限小的单元（最简单的是三角形单元）的集合体。
而认为这些单元之间只在节点上互相联系，亦即只有节点才能传递力有限元软件发展很快，我国已引进的主要软件有：,2),,按静力等效原则将作用于每个单元的外力（包括面力、体力、温度以及各相邻单元的作用力）简化到节点上去，形成等效节点力3),,根据弹性力学的基本方程推导出单元节点力和节点位移之间的关系，建立作用于在每个节点上力的平衡方程式于是得到一个以节点位移与未知数的线性方程组4),,加入位移边界条件求解方程组，得到全部未知位移，进而求得各单元的应变和应力『,7.2.2,▎,平面问题的有限元分析,,下面以弹性力学平面问题的有限元分析为例，介绍有限元法的基本思想、原理和分析步骤1,．结构离散,2) 按静力等效原则将作用于每个单元的外力（包括面力,,结构离散也称为,网格划分,，即将连续的二维平面，假想地分割成有限多个单元和节点这些单元之间只在节点上互相连接，单元之间的力仅靠节点传递常用的,单元有,3,节点三角形单元、,6,节点三角形单元、,4,节点矩形单元和,8,节点矩形单元等2,．单元分析,,单元分析是,用单元节点位移表示单元内任一点处的力学特性下面以,3,节点三角形单元为例说明单元分析的过程1),,节点位移与节点力,为分析方便，如图,7-1,所,示，建立笛卡儿坐标系。
节点,i,,,j,,,m,按逆时针编号对于平面应力问题，每个节点有两个自由度，分别为沿,x,轴的线位移和沿,y,轴的线位移单元节点位移用矩阵的形式表示为,结构离散也称为网格划分，即将连续的二维平面，,图,7-1,,3,节点三角形单元,O,i,,,,,,,,,y,,,,,m,,,,,x,j,,,,,,,,,,,,,,,,,,,与位移对应的单元节点力用矩阵的形式表示为,,(7-1),(7-2),图7-1 3节点三角形单元Oiymxj 与位移,(2),,位移函数,单元内各点的位移变化可表示为一个连续函数，由泰勒展开式可知，满足一定条件的连续函数可以展开成多项式的形式有限元分析时所称位移函数即以节点位移为已知量来描述单元内任一点处位移的插值多项式函数现假设单元内任一点处的位移和为坐标的线性函数,,(7-3),,式,（,7-3,）,中的,6,个待定系数,a,1,～,a,6,可以用单元的,6,个节点位移确定，即,在,i,节点,在,j,节点,在,m,节点,(2) 位移函数 单元内各点的位移变化可表示为一个连,,将上,6,个式子代入式,（,7-3,）,可解出待定系数,a,1,～,a,6,。
再将解出的待定系数,a,1,～,a,6,代入式,（,7-3,）,整理成矩阵形式为,(7-4),,即,(7-5),式中,N,—,单元形函数矩阵；,f,e,—,位移函数的矩阵表示；,N,i,—,形函数，可由下式计算,(7-6),将上6个式子代入式（7-3）可解出待定系数a,式中,A,—,单元面积，即,,,式,（,7-6,）,后面附有记号,(,i,,,j,,,m,),表示一个公式实际代表三个公式，其余两个公式可轮换下标,i,,,j,,,m,得到以后将经常采用这种表示法3),,节点位移与应变的关系,由弹性力学平面应力问题的几何方程可知,,(7-7),式中A—单元面积，即 式（7-6）后面附有记号,,写成矩阵式为,,(7-8),,把式,（,7-4,）代入式（,7-8,）,得,(7-9),式中,B,—,几何矩阵,(4),,节点位移与应力的关系,由弹性力学平面应力问题的物理方程（虎克定律）可知,写成矩阵式为(7-8) 把式（,,(7-10),式中,E,—,材料的弹性模量；,m,—,材料的泊松比；,D,—,弹性矩阵将,式,(7-9),代入式,(7-10),得,,(7-11),式中,S,—,应力矩阵。
5),,节点位移与节点力的关系,设弹性体发生虚位移，单元结点的虚位移为 ，相应的虚应变为 由弹性体的,(7-10)式中E—材料的弹性模量； 将式(7,虚位移原理知：外力作用下处于平衡状态的弹性体，外力在任意虚位移上所做的虚功等于弹性体整个体积内的应力在虚应变上所做的功即,,(7-12),式中,t,—,弹性体的厚度将式,(7-9),和式,(7-11),代入式,(7-12),得,,(7-13),由于虚位移为任意值，而实位移是节点位移，与坐标无关，故式,（,7-13,）,可得,,(7-14),虚位移原理知：外力作用下处于平衡状态的弹性体，外力在任意虚位,,其中,(7-15),式中,K,e,—,单元刚度矩阵，它是一个方阵，其行数和列数均等,于单元节点的位移分量3,．整体分析,,利用整个结构在各节点处的静力平衡条件和变形协调条件对整个结构进行分析，以建立结构的刚度方程组为了使得建立的整体刚度方程规格化，可暂不考虑支承条件1),,单元贡献矩阵,如图,7-2,所,示，单元,①,的单元刚度矩阵方程组的分块表示形式为,1,,2,1,4,3,2,,图,7-2,平面问题模型,其中(7-15)式中K e—单元刚度矩阵，它是,,(7-16),,将其扩阶到整个结构的所有节点下的关系为,,(7-17),,同理单元,②,的单元刚度方程组扩阶到整个结构的所有节点下的关系为,,(7-18),(7-16) 将其扩阶到整个结构的所有节点下的,,式,(7-17),和式,(7-18),可简写为,（,e,=①,，,②,）,(7-19),式中,,—,单元,e,的节点力、单元刚度和节点位移贡献矩阵。
由节点处的变形协调条件可知，节点在任一单元内的变形相等，均等于该节点在结构内的实际变形即 ，亦即,,,,另外，由节点处的静力平衡条件可知，节点处的合内力等于作用在节点处的外载荷即,,(7-20),式中,,—,对所有单元求和；,P,—,外载荷向量式(7-17)和式(7-18)可简写为（e=①,,把式（,7-19,）代入式（,7-20,）得,(7-21),式中,K,—,整体刚度矩阵，它等于各单元刚度贡献矩阵之和2),,整体刚度矩阵的集成原则,对图,7-2,所,示的平面问题，其刚度矩阵为,(7-22),,由此可见，整体刚度矩阵可按以下原则集成：,把式（7-19）代入式（7-20）得(7-2,（节点,i,j,相关，即共同组成单元）,（节点,i,j,不相关）,,式中,,—,节点,i,,,j,共同组成的单元,e,ij,的对应子块4,．荷载移置,,整体分析时的刚度方程组是根据外载荷作用在节点得出的如果有不在节点上的外载荷，则必须用虚功等效原则（即等效前后载荷在任何虚位移方向上的虚功相等）将载荷移置到节点上这一工作称为载荷移置对于集中力，由于单元的划分是随意的，一般可将集中力的作用点取为结点，集中力就成为结点荷载。
下面仅经给出常见的几种荷载移置结果在采用线性位移模式时，对三结点三角形单元，荷载移置可按平行力的合成与分解进行节点i,j相关，即共同组成单元）式中 —节点i,,如,图,7-3a,所,示的,jm,边上作用着均布荷载，荷载集度为,q,，单元厚度为,t,，移置到,j,和,m,点的荷载各为,qLt,/2,图,7-3b,所示的三角形分布荷载作用时，,j,，,m,点的等效结点荷载各为,qLt,/3,和,qLt,/6,，图,7-3c,所示的受均布体力的三角形单元，如果体力的合力为,W,，则每个结点的等效荷载各为,W,/3,i,m,,,,,L,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,j,i,j,i,,,,,j,qLt,2,,,,,,,,,q,,,,,,,,L,,,,,,,,,,,,,,,,,,m,,,,,3,W,,,,W,3,,W,W,3,a),b),c),图,7-3,荷载移置,qLt,2,m,qLt,3,qLt,6,如图7-3a所示的jm边上作用着均布荷载，荷,5,．引入支承条件,,由于在整体分析时，没有考虑体系的支撑情况，因此体系刚度方程组中的整体刚度矩阵,K,在数学上具有奇异性，即其逆矩阵不存在。
也就是说由此方程不能求得位移的唯一解,在力学上这是由于在引入支撑条件之前，体系还是一个没有支撑的悬空结构所以必须引入支撑条件对体系方程组进行处理，使体系刚度方程组有唯一解常用的处理方法有：,消行消列法,、,置大数法,和,置一法,6,．解方程组求结点位移,,体系引入支承条件后整体刚度方程组有唯一解，一般可用高斯消去法求解线性方程组，得结点位移7,．求单元应力,结点位移求出后，可利用式,（,7-11,）求,出单元应力5．引入支承条件 由于在整体分析时，没,『,7.2.3,▎,较精密的平面单元,,为了减小由于离散化带来的误差，提高计算的精度，可采用有较高次位移模式的单元，即所谓较精密的平面单元，如图,7-4,所示：四结点矩形单元、六结点三角形单元、八节点矩形单元等其中最常用的是四结点矩形单元和六结点三角形单元p,i,,,m,j,,,i,1,3,m,7,j,,,,,,,2,,1,,,4,3,,5,2,,8,,6,图,7-4,较精密的平面单元,a),四节点矩形单元,b),六结点矩形单元,c),八节点矩形单元,a),b),c),『 7.2.3 ▎较精密的平面单元 为了减小由,,在结构中采用相同数目的结点时，矩形单元的精度高于简单三角形单元。
但是矩形单元的一个明显的缺点是既不能适应斜交边界和曲线边界，也不适于在不同部位采用不同大小的单元为弥补这个缺点，可以将矩形单元和简单三角形单元混合使用『,7.3,▎,隧道围岩弹塑性有限元法分析,『,7.3.1,▎,概述,,隧道围岩的受力属于空间问题，但因计算工作量大，数据处理费事，而将其简化为二维问题进行分析也能得到令人满意的结果，因此目前仍广泛采用二维分析方法本节主要讨论二维隧道围岩弹塑性有限元分析在结构中采用相同数目的结点时，矩形单元的精度,『,7.3.2,▎,非线性问题的求解方法,,采用数值方法分析结构时，将结构离散化后可以得到上一节中建立的代数方程组，即式,（,7-21,）,变形为：,,(7-23),,当总刚度矩阵,K,中的元素,K,ij,为常量时，式,（,7-23,）,为线性方程组，它所代表的问题为线性问题当,K,ij,为变量时，例如,K,ij,=,f,(,d,ij,),，则式,（,7-23,）,为非线性方程组，它所描述的问题为非线性问题材料非线性,:,指的是当应力超过某一限值后，应力与应变的变化不成线性关系，,但应变与位移的变化仍成线性关系,属于这种类型的问题称为材料非线性问题。
『 7.3.2 ▎非线性问题的求解方法 采用数,,几何非线性,：指的是当应变或应变速率超过某一限值后，应变与位移的变化不成线性关系，但应力与应变的变化仍成线性关系属于这种类型的问题称为几何非线性问题『,7.3.3,▎,岩土材料的弹塑性本构关系,,1),,屈服条件和破坏条件，确定材料是否塑性屈服和破坏；,,2),,硬化定律，指明屈服条件由于塑性应变而发生的变化；,,3),,流动法则，确定塑性应变的方向；,,4),,加载和卸载准则，表明材料的工作状态岩土材料的弹塑性应力应变关系即本构关系包括以下四个组成部分：,1,．几种常用的屈服准则,,目前常用于岩土材料的屈服准则有,：,摩尔,-,库仑,(Mohr-Coulomb),屈服准则,，,德鲁克,-,普拉格,(Drucke-Prager),屈服准则,，,辛克维奇,-,潘迪,(Zienkiewicz-Pande),屈服准则,等几何非线性：指的是当应变或应变速率超过某一限,,(1),摩尔,-,库仑,(Mohr-Coulomb),屈服准则,,库仑式,,摩尔式,(7-24a),(7-24b),式中,——,剪切面上的正应力和剪应力；,——,屈服或破坏参数，即材料的粘聚力和内磨擦角。
摩尔,-,库仑屈服准则的物理意义在于：当剪切面上的剪应力与正应力之比达到最小时材料发生屈服与破坏最大优点是不仅能反映岩土材料的拉伸与压缩的屈服与破坏强度不同,（,S-D,效应）与对静水压力的敏感性，而且简单实用因此在岩,土力学和塑性理论中得到广泛应用但该准则不能反映中间主应力对屈服和破坏的影响及单纯的静水压力可以引起岩土屈服的特性，而且屈服曲面有棱角，不便于塑性应变增量的计算，这就给数值计算带来了困难1) 摩尔-库仑(Mohr-Coulomb,,(2),德鲁克,-,普拉格,(Drucke-Prager),屈服准则,考虑到静水压力可以引起岩土材料的屈服，德鲁克,-,普拉格屈服准则为,(7-25),式中,I,1,——,剪切面上的正应力和剪应力,,,I,2,——,应力偏张量的第二不变量，即,a,、,k,——德鲁克,-,普拉格材料常数，对于平面应变状态时，与,c,和,j,之,间的关系为,,,,,(7-26),,德鲁克,-,普拉格屈服准则可以避免摩尔,-,库仑屈服准则屈面在棱角处引起的数值计算上的困难，但该准则对实际破坏条件逼近较差2)德鲁克-普拉格(Drucke-Prag,,(3),辛克维奇,-,潘迪,(Zienkiewicz-Pande),屈服准则,为了克服摩尔,-,库仑屈服准则的棱边和夹角，考虑到屈服与静水压力的非线性关系和中间主应力对强度的影响，辛克维奇,-,潘迪提出了辛克维奇,-,潘迪屈服准则，其一般形式为,(7-27),式中,p,——,相对广义剪应力,,,按下式计算,q,——,静水压力，,——,p,平面上的屈服曲线形状函数。
a,1,,,b,——,系,数；,n,——,指,数，一般,为,0,1,或,2;,k,——,屈服参数a,1,,,b,,,n,和,k,决定着子午面上屈服曲线的形状3)辛克维奇-潘迪(Zienkiewicz,2,．硬化法则,,硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数（又称加载函数或加载曲面），一般来说加载函数采用以下形式,,(7-28),,现时的塑性应变,e,p,不一定显式地出现在加载函数中，可能通过硬化参数,k,隐式地包含在,F,中对于理想弹塑性材料，因无硬化效应，显然后继屈服函数和初始屈服函数一致，即,,(7-29),,对于硬化材料，通常有两种硬化法则：,各向同性硬化法则,和,运动硬化法则,2．硬化法则 硬化法则规定材料进入塑性,3,．流动法则,,流动法则规定塑性应变增量的分量和应力分量以及应力增量分量之间的关系米赛斯（,Von.Mises,）流动法则假设塑性应变增量可从塑性势导出，即,(7-30),式中,d,e,p,——,塑性应变增量；,l,——,正的待定有限量，它的具体数值和材料硬化法则有关；,Q——,塑性势函数，一般来说它是应力状态和塑性应变的函数对于稳定的应变硬化材料，,Q,通常取与后继屈服函数,F,相同的形式。
当,Q,≡,F,时，这种特殊情况为关联塑性；否则称为非关联塑性对于关联塑性情况，流动法则表示为,(7-31),3．流动法则 流动法则规定塑性应变增量,,从微分学知道， 定义的向量正是沿应力空间内后继屈服面的法线方向，所以米赛斯流动法则又称法向流动法则4,．加载、卸载准则,,该准则用以判别某一塑性状态出发是继续塑性加载还是弹性卸载，这是计算过程中判定是否继续塑性变形以及决定是采用弹塑性本构关系还是弹性本构关系所必须的这个准则可表示如下：,,若,,,继续塑性加载若,,,由塑性按弹性卸载；,,若,,,则应区分：,（,1,）对于理想弹塑性材料，此情况是塑性加载，因为在此条件下可以继续塑性流动；（,2,）对于硬化材料，此情况是中性变载，即仍保持在塑性状态,，但不发生新的塑性流动从微分学知道， 定义的向量正是沿应力,5,．弹塑性应力应变关系,,若令增量弹塑性关系表达式为,(7-32),式中,D,ep,——,弹塑性矩阵；,,可以推导出,(7-33),式中,参数,A,的意义：,1,）对于理想弹塑性材料，无应变硬化，,A,＝,0,；,,2,）对于加工硬化材料采用塑性功加工硬化定律时，,,『,7.3.4,▎,隧道围岩弹塑性有限元静力分析的,方法和步骤,5．弹塑性应力应变关系 若令增量弹塑,1,．分析步骤,,1),确定各种计算参数。
2),,确定各个施工阶段中围岩和结构的有限元网格3),,分阶段计算释放节点荷载和结构自重等因素的等效节点荷载4),,分阶段计算围岩和结构的应力及位移5),,叠加各施工阶段的计算值，以得到围岩和衬砌结构的最终应力和位移6),,根据各施工阶段的应力和位移以及最终的应力和位移值，评估围岩和结构的强度及稳定性2,．施工阶段,,正确的隧道围岩分析方法应该考虑到分阶段施工的特点有限元法能够方便地模拟施工过程1．分析步骤 1) 确定各种计算参数一般隧道施工可划分为几个阶段，如图,7-5,所示：,图,7-5,隧道施工的各阶段,,图,7-5a,为开挖前的围岩初始应力状态，其中初始应力,s,0,可根据实测应力或用有限元法计算而加以确定根据各个单元的初始应力 ，可以计算其换算节点力,,一般隧道施工可划分为几个阶段，如图7-5所示,,(7-34),,隧道开挖后，在开挖边界的节点上将作用的释放节点荷载为,,(7-35),,此节点荷载由连接节点,i,的有关单元在节点上的换算节点力贡献而成图,7-5b,为上,台阶开挖并已施做初衬，作用在开挖边界的释放节点荷载为,,(7-36),式中,a,1,——,百分数，可根据测试资料加以确定，通常近似地将它定为本阶段隧道控制测点的变形值与施工完毕变形稳定以后该控制测点的总变形值的比值。
在缺乏实测变形资料的情况下亦可按工程类比法加以选定，并根据试算结果予以修正7-34) 隧道开挖后，在开挖边界的节点上将,,图,7-5c,为中台阶开挖并已施做初衬，作用在开挖边界上的释放节点荷载为,(7-37),式中,a,2,的确定方法与前述,a,1,相同而作用在新的开挖边界上的释放节点荷载为,(7-38),式中第二项是由第一阶段中位于开挖边界上的各个单元的应力所产生的释放节点荷载图,7-5d,为下台阶开挖并已施做初衬，与图,7-5c,中台阶开挖类似，即：,(7-39),(7-40),图7-5c为中台阶开挖并已施做初衬，作用在开,,图,7-5e,为下台阶开挖为已施做好第二次衬砌,(7-41),,(7-42),,图,7-5f,为已施做仰拱,(7-43),(7-44),,围岩和衬砌最后的应力和位移值为各个施工阶段相应值叠加的结果：,(7-45),且有,,(7-46),图7-5e为下台阶开挖为已施做好第二次衬砌(,式中,n,——,施工阶段数，在,图,7-5,中,n=5,3,．增量加荷,,在求解非线性问题的任一阶段中，由式,（,7-23,）,可写出体系的残余（不平衡）节点力向量为,(7-47),式中,，而,,为了保证非线性问题求解的收敛以及计算任一阶段体系的总切线刚度阵，必须采用增量加荷的方法。
在每一级增量荷载作用下，式,（,7-47,）,采取增量的形式：,(7-48),式中n——施工阶段数，在图7-5中n=5 3．增量加,式中,(7-49),(7-50),(7-51),,在式,（,7-49,）中第一,项为外荷载增量，第二项为体力增量，第三项为面力增量且材料的弹塑性应力应变关系为,,,于是可应用非线性问题的求解方法进行,求解（,7-48,）,『,7.4,▎,工程实例分析,式中(7-49)(7-50)(7-51) 在式,,某铁路隧道埋深,约,40m,，采用全断面新奥法施工，共分为三个施工阶段：,1,．分阶段开挖和衬砌的隧道弹塑性有限元静力分析,,第一阶段,开挖全断面至边墙底面水平，并,喷射,10cm,厚的混凝土初期支护，假定本阶段内释放荷载占总释放荷载的,40%,第二阶段,施做,30cm,厚的内层混凝土衬砌（二衬），由边墙到拱圈一次性完成，假定本阶段内释放荷载占总释放荷载的,40%,第三阶段,开挖底部并浇灌,40cm,厚的仰拱混凝土，假定本阶段内释放荷载占总释放荷载的,20%,图,7-6,为采用的有限元离散化体系，其中上覆层用换算匀布荷载,400kN/m,2,代替，仅用于计算围岩初始应力场，如图,7-6a,所示。
采用,8,节点等参数单元体系顶面无约束，左右两侧水平约束，底面竖向约束图,7-6b,~,d,表示开挖轮廓线以,某铁路隧道埋深约40m，采用全断面新奥法施工，,图,7-6,隧道有限元离散化体系,a),b),c),d),图7-6 隧道有限元离散化体系a)b)c)d),内的有限元网格，分别对应于第一、第二和第三施工阶段在这三个施工阶段中不再施加换算匀布荷载采用摩尔,—,库仑屈服准则和关联流动法则，利用有限元法电算程序进行计算材料计算参数,列入表,7-1,60,60,30,,内摩擦角,j,/(,°,),3.0,3.0,0.085,粘聚力,c /MPa,22.0,23.0,20.0,重度,g,,/(,kN/m,3,),0.2,0.2,0.333,,泊松比,m,18000.0,20000.0,200.0,,弹性模量,E,/MPa,喷混凝土,混凝土,围 岩,材料类别,名称,表,7-1,材料参数,内的有限元网格，分别对应于第一、第二和第三施工阶段在这三个,,图,7-7,为第一、二、三阶段围岩强度发挥,程度,(,S.M.F,),的等值线图，材料的强度发挥程度系数,S.M.F,的,计算公式,为： ，当,S.M.F≥1,时进入塑性状,态。
图,7-7,中阴影部分表示围岩的塑性区域图,7-7,各阶段围岩强度发挥程度等值线,a),b),c),图7-7为第一、二、三阶段围岩强度发挥程度(,,图,7-8,表示各阶段开挖轮廓线的位移曲线由图可见，在各阶段中拱顶沉陷分别为,：,-3.35mm,、,-5.27mm,和,-13.2mm,；边墙中点水平位移分别为：,-1.19mm,、,-2.34mm,和,-2.97mm,（朝向隧道内）；隧道底面位移分别为：,+6.38mm,、,+23.0mm,和,+12.3mm,（底鼓）图,7-8,各施工阶段边界位移图,a),b),c),变形比例尺,0,10,20 mm,图7-8表示各阶段开挖轮廓线的位移曲线由图,,各阶段衬砌各部位的最大、最小主应力值列入表,7-2,中由该表可以看出各阶段衬砌各部位的受力情况和最薄弱的环节1.09,+1.66,—,—,—,—,仰拱,-12.29,+1.02,-10.63,+0.13,—,—,边墙,-11.40,+0.42,-10.15,+0.34,—,—,拱部,二 衬,-19.78,+0.47,-18.15,+0.27,-8.71,+1.12,边墙,-13.68,+0.83,-13.82,+0.77,-8.17,+0.59,拱部,初 衬,,,,,第三阶段,第二阶段,第一阶段,衬砌类型,阶 段,表,7-2,各施工阶段衬砌最大、最小主应力,（单位：,Mpa),,根据各个施工阶段衬砌的变形和应力值，以及围岩强度发挥程度等值线图，可推断该隧道衬砌及围岩整体上是基本稳定的。
分析中指出了各施工阶段围岩和衬砌受力较大的部,各阶段衬砌各部位的最大、最小主应力值列入表7,位，可供设计和施工参考仰拱是衬砌受力的薄弱环节，宜采用各种措施予以加固本例结果能较好地反映衬砌和围岩的实际受力变形情况及新奥法施工的特点和优越性：由于采用喷混凝土初期支护，使得二衬的受力条件大为改善2,．锚杆与围岩相互作用的弹塑性有限元分析,,图,7-9,为某工程隧道,ZK46+701.5,断面锚杆支护型式，采用弹塑性有限元法分析锚杆与围岩相互作用计算模型宽,88m,，以隧道轴线左右对称；上取隧道整个埋深，即,20m,，隧道底板以下取,34m,采用摩尔,—,库仑屈服准则,,,图,7-9,隧道,ZK46+701.5,断面锚杆支护布置,钢筋网,D,25,C20,混凝土,,中空注浆锚杆,103,°,,,,,,,,R,5.9,,3.5,7.25,11.49,,0.8,,,,,,,,,,,,,位，可供设计和施工参考仰拱是衬砌受力的薄弱环节，宜采用各种,,材料计算参数列入,表,7-3,、表,7-4,、表,7-5,27,0.35,0.2,1.2,200,17.5,参数值,内摩擦角,,(°),泊松比,μ,粘聚力,c/MPa,弹性模量,E/,(GPa),弹性抗力系数,K,/(MPa/m),重度,γ,/,kN/m,3,参数,名称,表,7-3,隧道,ZK46+701.5,断面围岩参数,≥10,540,835,3.5,4,25,参数值,拉伸率,δ,屈服强度,(MPa),抗拉强度,(MPa),杆体标准长度,(m),壁厚,(mm),公称直径,(mm),参数,名称,表,7-4,隧道,ZK46+701.5,断面,D25,中空注浆锚杆参数,0.785,1.570,Ø5.0×10×10,5.34,25.5,参数值,水泥浆粘结刚度,(GPa),水泥浆粘结强度,(MPa),钢筋焊接网,单位长度混凝土面积,(m2),喷射混凝土弹性模量（,GPa,）,参数,名称,表,7-5,隧道,ZK46+701.5,断面初次衬砌参数,材料计算参数列入表7-3、表7-4、表7-,,图,7-10,和图,7-11,分别为围岩的,x,向位移等值线图和,y,向位移等值线图。
由图看出，隧道因开挖而发生位移的空间效应：,x,向位移由轴线向两边逐渐减小，且较大位移发生在距隧道拱腰较近的一定高度的范围内；,-,y,向最大位移发生在拱顶处，且由拱顶向两边逐渐减小，隧道底部发生,y,向的较大位移，这是因为隧道内部岩土体挖除后，因作用在隧道底部的应力释放所产生的反拱现象，说明计算结果比较符合实际图,7-10 x,向位移等值线图,图7-10和图7-11分别为围岩的x向位移等,图,7-11 y,向位移等值线图,,图,7-12,和图,7-13,分别为围岩的,x,向应力等值线图和,y,向应力等值线图，由此可以看出，,x,向较大应力发生在拱脚的一定范围内，即,x,向应力主要集中在拱脚到拱腰的一定范围内，其主要作用就是迫使拱墙向内空发生位移，直至应力释放到足以使支护应力与之抗衡，隧道内空收敛才结束；,-,y,向,较大,图7-11 y向位移等值线图 图7-12和图,图,7-12,x,向应力等值线图,(,单位：,×50kPa),图,7-13,y,向应力等值线图,(,单位：,×50kPa),应力发生在拱顶部，发生在拱顶的集中应力主要作用就是迫使拱顶,发生,-,y,向位移，,y,向较大应力发生在隧道底部，发生在隧道底部的集中应力主要作用就是使隧道底部发生,y,向位移（反拱），这两个位移矢量和就是隧道的相对,沉降量。
图7-12 x向应力等值线图(单位：×50kPa)图7-13,,本算例计算,得到：拱顶测点的绝对位移量为,-6.834mm,，路面绝对位移量为,-1.225mm,，则拱顶的相对下沉量为,5.609mm,由实测数据回归分析得到的拱顶测点的最终沉降量为,5.723mm,，结果与实测值相比的相对误差为,1.99%,，说明结果与实际基本相符本算例计算,得到：周边收敛的左测点的绝对位移量为,1.105mm,，右测点的绝对位移量为,-1.102mm,，则周边收敛测点的相对收敛值为,2.207mm,由实测数据回归分析得到的周边收敛测点的最终收敛值为,2.163mm,结果与实测值相比的相对误差为,2.05%,，说明结果与实际基本,相符本算例表明，锚杆作为受力构件，提高了围岩的抗剪强度，即临近开挖周边的围岩其强度因爆破开挖所引起的降低则由于安设了锚杆而得到补偿本算例计算得到：拱顶测点的绝对位移量为-6.,。