《最短路径》六步式教学模式设计 湖南省永顺县教科所（湖南 永顺 416700） 王承洲 2017 年 4 月 25 日有幸参加湖南永顺县溪州中学的“2017 永顺县溪州中学微课在六步式·四位一体课堂教学中的运用竞赛”活动被老师们精彩的课堂教学设计，高效的堂教学模式， 先进的教学理念和优美的校园环境及现代化的教学设备而感动， 也为当今我国教育的飞速发展而点赞听课过程中，老师和同学们的积极表现给予我很多启示，在此将个人的点滴体会与老师们交流如下，希望能与师生们共同进步 所谓六步式课堂教学模式就是把课堂建构成：情境导入、新知探究、交流展示、综合应用、整合提升、检测巩固六个环节老师在教学时，根据教学内容、学生实际及老师自已的教学风格，按照这六个环节，进行课堂教学设计现就《最短路径》一课六步式教学模式设计如下，与师生们共同交流 [教学目标]： 1、知识技能：利用轴对称原理解决实际问题中“最短路径”问题 2、过程方法：探索发现解决“最短路径”的数学模型 3、情感态度：通过合作交流培养学生探索精神和创新意识 教学重点：学会构建数学模型 教学难点：构造“最短路径”数学模型 教法学法：探究、合作交流 [教学设计]： 一、情境导入： （1） 沿用老师已有的情境：看视频：观察对比路程的远近：天门山公路奇观：登山时比较索道与公路远近， 公园不文明行为图片：不走人行道而穿越草坪。
分析思考：实际生活中存在着“最短路径” （2）例：有一位将军骑马从 A 点的军营返回河对岸 B 点的家中，途中要经过一条小河（这里忽略河宽） ，思考将军应从那里过河，回家路程最短？ 生活中只要充许利用河边已有的桥、石墩、码头等设施去过，河面也有一定的宽度，这些都会影响到问题的解决， 为了寻求到有符合条件的渡河点， 因此我们屏弃一些关联不大的因素，把实际问题抽象为如图 1 所示的纯数学形式→这就是构建数学模型 A B 小河 图 1 A B 小河 C1 C2 图 2 天门山公路奇观 公园“捷径” 家 小 河 军营 学生根据已有的知识：连接两点间的线中，线段最短不难解决这个问题 （注意到这里的模型及方法对后面探知是有启发性的） 二、新知探究： （合作探究） 问题变式：例 2：由于战争的影响，将军的军营不得不搬过河但将军每天还要饮马回家，将军应选择河边什么位置饮马才能使得他回家路程最短？ 有上面建模经验，学生不难将“将军饮马回家”问题，构建成如图 3 示数学模型 探究问题：在直线 L 上寻找一点 C，使得：AC+CB 最短？ 学生进行自探究——小组合作（保证十分钟以上时间） 三、交流展示： （精讲点拨） 1、学生正常思维： 过 A 点作直线 L 的垂线，垂足为 C1，得：AC1+C1B 最短 同理：过 B 点作直线 L 的垂线，垂足为 C2，得：AC2+C2B 最短 理由：点到直线距离垂线段最短。
2、但自然想到：在 C1C2之间的点 C 是否还有 AC+CB 最短呢？ 理 由：生活经验 简单办法：用尺直接测量 而这些思路都受到正常思维定势的影响， 没有完全放开来那么是否有学生提出方案： 3、 如果C点选在的是C1、 C2的外侧呢？虽然很容易发现这C点不是要选择的点： AC>AC1，因直角三角形中斜边大于直角边 但这种思维显然不受常规定势影响，具有大胆思维的发散性 因此我们老师应大胆地引导学生放开思路，不怕出现错误，这恰恰是老师们所需要解放的地方学生的创新性往往就表现在这里！ 通过对图 4 的测量我们发现 AC1+C1B>AC+CB AC2+C2B>AC+CB AC1+C1B>AC+CB 因此可以确定：在 C1C2之间存在最小 老师点拨：可以通过 flash 的播放显示 C 在 L 上左右移动发现：AC+CB 是在不断变化的 因此，选择 C1C2都不符合要求？产生矛盾？难点出现：C 到底应选择什么地方呢？ 学生再讨论。
4、受到导入情境启示：如果 B 点在 L 的另一侧？ 自然很快想到 B 与 B/的对称关系： 作：B 关于直线 L 的对称点 B/，连接 CB/，与 L 上的任意一点 C1，如图 到此只需要证明：AC1+C1B>AC+CB A B L C 图 3 A B L C C1 C2 图 4 A B L C C1 C2 图 5 图 6 A B C L 图 7 A B C L B/ C1 家 小 河 军营 问题解决 四、综合应用： （有效训练） 练习 1： （沿用老师已有资源）战争胜利了，人民安居乐业，将军解甲归田，但将军每天坚持从家去牧场放马，再到河边饮马，然后再回家，将军应如何安排行程其路程最短？ 练习 2：为尽改善人们生活质量，县委县政府准备在猛洞河边新建一个自来水厂，能保证同时给老城区和新城区同时供水，为节约工程成本，自来水厂应建在什么位置，使得铺设的自来水管最少？ 五、整合提升 整合： 1、联想：观察到图 7，你会想到些我们学过的哪些学科知识？ 平面镜成象：物理学中平面镜成象：物体与镱中的象关于平面镜对称 神奇的是： 我们人 A 在面平镜中看到 B 在镜的象时， 光线所走的路程最短！ 2、永顺县新城建设正如火如荼的进行中，城区建设规划示意如图，站在居民区屋顶能够清楚地看到学校升起的国旗在大河中的象飘在公交站的门口大树巅上， 政府为方便居民区孩子们上学，准备在小河上加一座桥，考虑到孩子实际，尽量让孩子坐公交上学路线最短，请你帮助政府部门设计选择架桥的合适位置？并说明事由。
3、拓展引深：聪明的欧拉——哥尼斯保七桥问题： 18 世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有两座美丽的小岛河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来每到傍晚，许多人都来此散步人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥呢？每一个到此游玩或散心的人都想试一试， 可是， 对于这一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍 这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题” 家 小 河 牧 场 练习 1 老城区 新城区 猛洞河 练习 2 居民区 学校 大 河 小 河 图 8 实际问题 构建数学模型 探究解决方案 解决问题 图 9 问题原型 数学模型 虽然看似与最短问题无关，但它却是数学建模的鼻祖而且很类似这类问题值得让同学们了解， 使他们感受到数学家们的聪明才智和世界数难题的产生及解决方法 从而激发学生再次探求兴趣。
六、检测巩固： （有效训练） 1、书本练习 2、设计自编 1—2 道类似练习，并交换批改 板书设计：最短路径 总之“六步式·四位一体”教学模式是一个完整的课堂教学模式，老师在进行教学设计时应注意其整体性，同时也应注间各环节间的相互联系，前后呼应其精髓在于其探究性，培养学生的创造性思维整个课堂始终贯穿着师生教、学一体，充分体现现代学习念，构建幸福课堂，提高课堂效益，优化课程资源 [阅读资料]： 欧拉解“七桥问题” 18 世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有一座美丽的小岛 河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来 （如下图） 每到傍晚，许多人都来此散步人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥呢？每一个到此游玩或散心的人都想试一试， 可是，对于这一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍 这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题。
七桥问题也困扰着哥尼斯堡大学的学生们， 在屡遭失败之后， 他们给当时著名数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七座桥表示成七条线这样，原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图 ： 实际问题 构建数学模型 探究解决方案 解决问题 这显然并没有改变问题的本质特征 于是， 七桥问题也就变成了一个一笔画的问题， 即：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来了接着，欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析：一笔画有起点和终点，起点和终点重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形除起点和终点外，一笔画中间可能出现一些曲线的交点欧拉注意到，只有当笔沿着一条弧线到达交点后，又能沿着另一条弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，一笔画才能完成，这样的交点就称为“偶点”如果交汇于这些点的弧线不是成双成对， 也就是有奇数条， 则一笔画就不能实现， 这样的点又叫做“奇点”。
欧拉通过分析，得到了下面的结论：若是一个一笔画图形，要么只有两个奇点，也就是仅有起点和终点，这样一笔画成的图形是开放的；要么没有奇点，也就是终点和起点连接起来，这样一笔画成的图形是封闭的由于七桥问题有四个奇点，所以要找到一条经过七座桥，但每座桥只走一次的路线是不可能的 有名的“哥尼斯堡七桥问题”就这样被欧拉解决了 。