黄金分割及平行线分线段成比例、黄金分割黄金分割AC _ BC如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AB AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.AC与AB的比叫做黄金比.黄金比黄金比值的求法：AC _ BC因为 AB AC，且 bc=AB—AC，所以 ABAC _ AB - AC —-ACAC _ -1上1 AB解得AC= 2 ，或AC~0.618AB，即得黄金比AB 2 或0.618求作黄金分割点求已知线段AB的黄金分割点方法一|：如图 1AB1、经过点B作BD丄AB,且BD= 2 2、连接AD,在DA 上截取DE=DB.3、在AB 上截取AC=AE, 所以点C是线段AB的黄金分割点.污 <5 -1理由：设 AB=1,则 BD = 1/2,AD= 2 , AC= 2,BC =AC _ BC -1所以AB AC 2 ，所以点C是线段AB的黄金分割点.方法二|：如图1、段AB 上作正方形ADCB3、延长DA至F,使EF=EB. 所以点H是线段AB的黄金分割点.2、取AD的中点E，连接EB.4、以线段AF为边作正方形AFGH.理由：设AB=1,BE _旦 EF -1则 AE= 2，所以 2 — AF _ 2=AH,BH= 2AH _ HB所以AB AH 2 ，所以点H是线段AB的黄金分割点.方法三：如图1、 以AB为腰作等腰△ ABD，使ZA=36°2、 作ZADB的角平分线交AB于点C 所以，点C是线段AB的黄金分割点.理由：作图的理由在本章学完就知道，对这一基本图形我们将会非常熟悉，此等腰三角形叫 做黄金三角形AB <5 1例1：如图所示，矩形ABCD是黄金矩形(即BC = 2 ~0.618),如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形?例2：以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P,连接PD，在BA的延长线上 取点F,使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD 上，如图所示，(1) 求AM, DM的长，(2) 试说明AM2=AD・DM(3) 根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗?练习题一、请你填一填(1) 如图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP、PB、AB满足 二 关系式 ，即AP是 与 的比例中项.(2) 黄金矩形的宽与长的比大约为 (精确到0.001).(3) 如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2 cm, b=4 cm, c=5 cm，则d= cm.(4) 已知0点是正方形ABCD的两条对角线的交点，则AO：AB： AC= .二、认真选一选1、有以下命题:①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有昱=£bd② 如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项③ 如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC〉BC,那么AC是AB与BC的比例中项④ 如果点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC,且AB=2，贝yAC=& T其中正确的判断有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、已知P为线段AB的黄金分割点，且APVPB，则（ ）A、AP2 = AB - PB ； B、AB2 = AP - PB ； C、PB2 = AP - AB ； D、AP2 + BP2 = AB23、.已知点M将线段AB黄金分割（AM>BM）,则下列各式中不正确的是（）A. AM : BM=AB : AMB. AM=AB,,-5 -1C.恥 丁 AB D. AM"618ABA.1个 B.2个 C.3个 D.4个4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm，则PQ长为（ ）A、5G--5 -1) B、5G/5 +1) C、10Q'5 — 2) D、5(3—打) 三、好好想一想 1、已知点C是线段AB的黄金分割点AC= 5壬5 - 5，且AC>BC，求线段AB与BC的长。
2、E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB=10 cm，求EF的长度.形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感•在黄金矩形ABCD内作正方形 CDEF,得到一个小矩形ABFE（如图1）,请问矩形ABFE是否是黄金矩形？ 请说明你的结论的正确性.C平行线分线段成比例知识梳理I平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果l 〃 l 〃 l ,123贝寸 BC _ EF ABDEDFAB _ AC DE_DF2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果de 〃 BC，则AD =些=DE AB AC BC_B3.平行的判定定理：如上图，如果有AD = AE =匹，那么DE 〃 BC AB AC BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE 〃 BC，且DB = AE，若AB = 5 , AC = 10，求AE的长例2】如图，已知 AB//EF //CD，若 AB = a， CD = b， EF = c，求证：-=-+ - cabAC和BD相交于点E，巩固】如图， AB丄BD，CD丄BD，垂足分别为B、D，已尸丄BD '垂足为卩•证明：£ + CD = EF巩固】如图，找出 S 、 S 、 S 之间的关系，AABD ABED ABCD并证明你的结论.【例3】如图，在梯形ABCD中，AB 〃 CD， AB = 12, CD = 9，过对角线交点O作EF 〃 CD 交 AD , BC于 E , F，求 EF 的长。
巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD 〃 BC，AD = a，BC = b，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ 的长专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007 年北师大附中期末试题）（1） 如图（1）,在AABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE = -AB ,4 连接EM并延长，交BC的延长线于D,则BC = .CD（2） 如图（2）,已知AABC 中，AE: EB = 1:3，BD: DC = 2:1，AD 与 CE 相交于 F，则EF + AF的值为（ ）(2)BE交AD于点O •【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在AABC中，D为BC边的中点，E为 AC 边上的任意一点（1）当些=-时，求竺的值 （2）当空=-丄时,AC 2 AD AC 3 4（3）试猜想些二丄时如的值，并证明你的猜想.AC n +1 AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是AABC的中线，点E在AD上, F 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：AF =丄；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，竺=1 •也成立，若E是AD上任意一点 FC 2 ED（E与A、D不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立, 请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。
求证：AF = EFC【例7】（宁德市中考题）如图，AABC中，D为BC边的中点，延长AD至E， 延长AB交CE的延长线于p若ad = 2DE，求证：AP = 3AB巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，AABC 中,BC = a，若 D，E 分11别是AB，AC的中点,若 D 、E 分别是 D B、3 3 2若 D 、 E 分别是 D B、2 2 1若D、E分另U是D B、E C的中点，则DE = n n n-1 n -1 n n专题三、利用平行线转化比例【例8】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且 与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P • 求证：PM - PN = PR - PS【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BD〃 EF， AC的延长线交EF于G .求证：EG = GF •【例9】已知：P为AABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对 边AC、AB于D、E，求证： 如 + 空 =1DC EB【例10】 在AABC 中,底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：BG:GH :HM = 5:3:2BEFC【例11】 如图，M、N为NABC边BC上的两点，且满足BM = MN = NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F .求证：EF = 3DE.【例12】 已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD， M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F •（1）求证：EF//CD（2）若 AB二a , CD二b，求EF 的长【巩固】如图，在梯形ABCD中，AD〃BC， AD = 3, BC = 9, AB = 6 , CD = 4，若EF 〃 BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长。
例13】 （山东省竞赛题）如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延 长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若AB = a , AD = c , BE = b，求BF的值例14】 已知等腰直角AABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE二CD，过E、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L， K・求证：BL = LK・【习题1】如已知DE 〃 AB， OA2 = OC - OE，求证：AD 〃 BC -习题2】在 AABC 中，BD = CE，求证：AD - BP = AE - CP.DE的延长线交BC的延长线于P，【习题3】如图，在AABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使AD = AE， 直线DE和BC的延长线相交于P，求证：BP = BDCP CE。