立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识定义：直线a、b是异面直线，经过空间一交o,分别a?/a,b?/b,相交直线a?)?^成的锐角(或直角)叫做2. 范围：0,一2方法：平移法、问量法、三线角公式(i) 平移法：在图中选一个恰当的点(通常是线段端点或中点)作a、b的平行线，构造个三角形，并解三角形求角2)向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式coscosa,b―pr求出来方法i：利用向量计算选取一组基向量，分别算出ab,a,b代入上式方法2:利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量a(xi,yi,zi)b(X2,y2,Z2)cosx〔x2yiy24Z2/222J222VXiyiZi4X2V2Z2(3)三线角公式用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦即：cosicos2cos二、例题讲练例1、(2007年全国高考)如图，正四棱柱ABCDAB1GD1中,AA12AB，则异面直线AB与ADi所成角的余弦值为例2、在长方体ABCD-AiBiCiDi中，已知AB=a,BC=b(ab),AAi=c,求异面直线DiB和AC所成的角的余弦值。
方法一：过B点作AC的平行线(补形平移法)方法二：过AC的中点作BDi平行线方法三：(向量法)Ci例3、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC,DAB90,PA底面ABCD,且———iPAADDCABi,M是PB的中点2(D证明：面PAD面PCD;(n)求AC与PB所成的角；例4、AB如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD,3,BCi,PA2,E为PD的中点-求直线AC与PB所成角的余弦值;p1. 训练题正方体的12条棱和12条面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是2. 正方体ACi中，O是底面ABCD的中心，贝UOAi和BDi所成角的大小为已知l为异面直线a与b的公垂线，点pa,若a、b间距离为3. P到b的距离为J5，则异面直线a与b所成的角为如图正三棱柱ABC-AiBiCi中AB=J2AAi,M、N分别是4. AiBi,AiCi的中点，则AM与CN所成角为C1oooO2,点P到l的距离为2,如图PD平面ABCD,四边形ABCD为矩形,AB=2AD=2DP,E为CD中点1) AP与BE所成的角为(2) 若i.直线PD,且AF与BE所成角为=30?行吗？mDF=75?时；——DP2.5. 空间四边形ABCD中，对角线AC,的中点，E是AO的中点，求异面直线空间四边形ABCD中AB=BC=CD,(1)AC和BD所成的角为。
2)MN与BC所成的角为已知正方体ACi中，E、F分别是AiDi,AiCi的中点,则AE与CF所成的角为M、N分别是AAi,BBi的中点，则CM和DiN所成的角是o9、如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点，且CD平面PAB.(I)求证:AB平面PCB;(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；(一)31. 第二节、直线和平面所成的角一、基础知识l或l//)定义：2. (①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③直线与平面所成角范围是最小值定理)3. 斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角求法：几何法公式法问量法(1)几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作(或所找)的角就是要激的角，解三角形求出此角2)公式法：COSCOS1cos2COS1COS2cosAB于点B,AOBAOCBOC(即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值)(3)向量一a与平面一所成角为一,直线a的方向向量与面的法向量分另U是m,n,贝Um,n的余角或其补角的余角即为a与所成的角sincosm,n二、例题讲解例1、在长方体AC1中，AB=2,BC=CC1=1,求(1) CD与面ABC1D1所成的角(2) A1C与平面ABC1D1所成的角(3) A1C与平面BC1D所成的角例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。
例3、四棱锥S/ABC45°,(I)证明SAABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD.已知AB2,BC2s/2,SASB73.京B%(H)求直线SD与平面SAB所成角的大小./\L2例4、如图，lj2是互相垂直的异面直线，M、N分别在li」2上，且MNli,MN』,C点AB在li上，C在12上，AM=MB=MN\j-1/（1）证明：ACNB…京八…NB_*训练题1、（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-AiBiCi的侧棱与底面边长都相等，Ai在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心，贝UABi与底面ABC所成的角的正弦值等于2、（2008上海高考）如图，在棱长为2的正方体ABCDA3CiDi中，E是BCi的中点求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）^二AB3、过点P作平面的两条斜线段PA和PB,则PA=PB是斜线PA和PB与平面成等角的条件4、如图所示，BOC在平面内，OA是的斜线，AOB=AOC=60?,OA=OB=OC=a,BC=J2a,求OA和平面所成的角的大小5、如图，已知正方形ABCD,SA现面ABCD，且SA=AB,M、N分别为SB、SD的中点，求SC和平面AMN所成的角第6题图第7题图6、给出下列命题，其中正确命题序号是。
1)若PA、PB、PC与平面成等角，则谊P在平面上的射影O是ABC的外心(2)已知直线上l与平面所成角是一，直线a是内与l异面的任一直线，则l与平面4所成角范围是⑶在三棱锥P-ABC中，若二面角P-AB-C,P-BC-A,P-CA-B，大小相等，则点P在平面ABC上射影O是ABC内心4)坡度为的斜坡，有一条与坡脚水平线成30?的小道，若沿小道每前进100m,高度就上升25m，那么此坡坡度为30?D是AB的中点，且B7、如图，在三棱锥VABC中，VC±底面ABC,AC±BC,ACBCa,VDC0-.2(I) 求证：平面VAB±VCD;(II) 试确定的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为一6(川)当解变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.第三节平■面与平■面所成的角1. 一、基础知识定义：二面角：由一条直线出发的所组成的图形叫做二面角平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内,且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是.注:二面角是空间图形，平面角是平面图形在书写时不要写成”AOB为所求二面角”,而应写成”AOB为二面角l的平面角”求法：几何法向量法公式法(1)几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有作法图形定义法在棱CD上找一点O,在物个面内分别作棱的垂线AO,BOAOB为二面角CD的平面角垂面法过棱上一点O作棱的垂直平面与两个半平面的交线分别为AOBOAOB为CD的平面角三垂线法过B内一点A，作AB交于B,作BOCD于O,连结AO,AOB的CD平面角或其补角(2)向量法：①分别求出和的法向量m,n，则二面角l的大小为m,n或一m,n用此法须知：〈1〉需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标〈2〉通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量〈3〉当l为锐角时m,n(m,n为锐角)或—m,n(m,n为钝角)②在平面出ACEF1在牛回内，BDEF,且BEF分别求出AC,BD,则AEFAC,BD即为二面角EF的大小(1) 公式法：①设二面角l的大小为，AB,CD,ABl,CDl,令ABm,CDn,BDd,则222-ACmnd2mncos注意：BA与DC所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA和CD所成角的大小。
②面积法：设二面角l的平面内某一图形(一般取三角形)面积为S,该图形在平面上射影面积为S，二面角l的大小为，则cosS(为锐角)或cosS(为钝角)SS二、例题讲练例1、如图，已知棱柱ABCDAiB1C1D1的底面是菱形，且AAi面ABCD,DAB60,ADAA1,F为棱AA1的中点,(1) 求证：MF面BDD1B1；E(2) 求面BFD1与面ABCD所成二面角的大小.例2、如图，直二面角AAEHE中，四边形的点，且BFL平面ACE(1) 求证：入」平面BCE求二面角B-AbE的大小；ABC%边长为2的正方形，AE=EBF为CE上如图CB//DA,EA(I)求证：DM(n)求二面角M所示的几何体ABCDE中，DA平面EABDAAB2CB,EAAB,M是EC的中点.EB;BDA的余弦值.例4、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC,1ABCD,且PAADDCAB1,M是PB的中点,2(I)证明：面PAD面PCD;(口)求面AMC与面BMC所成二面角的大小DAB90,PA底面例5、如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点，且CD平面PAB.(I) 求证：AB平面PCB;(II) 求二面角C-PA-B的大小.1.如图：三棱锥A-BCD中，AC=AB=BD=DA=2,BC=CD=廿3,26arccos—12.面角B-AC-D大小为则2.已知直线al大小为A.COSCOSC.sin1sin1sin,,直线心l所成角为i(03则恒成立的是(B.sincos3)sin1sinD.coscos1cos3.如图ACF四边形,ABFBCEF、AFED,BAC都是矩形，且则下列结论中正确的是A.coscoscosB.sinsincosC.coscoscosD.sinsincos2. 如图，四棱锥P-ABCD中所有的棱长都相等。
求:① 二面角C-PD-B大小② 设M、N分别为AD、PC中点，试求MN与底面AC及平面BDP所成的角① 平面PAB与平面PCD所成二面角的大小如图，四边形ABCD为直角梯形，AD//BCPA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点求证：PBDM求BD与平面ADMN所成角的大小求二面角A-PB-C① 5.如图所示多面体是由底面为BC=2,CCi=3,BE=1求BF求二面角A-EF-BABCD的长方体被截面（补形成正方体）AECiF所截而得到的，其中AB=4,如图，在正方体ABCD-A侣iCiDi中，点E在棱CC1上求证：AEBD当AiE与面BED所成角为多大时，面AiBD面EBD在（2）的结论下，求此时二面角A-AiD-E的大小D1AiBiCFBA如图，在棱长AB=AD=2,AA1=3的长方体ACi中点E是平面BCCiBi上动点，点F是CDCi的中点试确定E的位置，使DiE平面ABiF求二面角Bi-AF-B的大小9、如图，在四棱锥VABCD中，底。