高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、、知识点：本周重要学习集合的初步知识，涉及集合的有关概念、集合的表达、集合之间的关系及集合的运算等在进行集合间的运算时要注意使用Venn图本 章 知 识 结 构 1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些可以拟定的不同的对象当作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”理解这句话，应当把握4个关键词：对象、拟定的、不同的、整体对象――即集合中的元素集合是由它的元素唯一拟定的整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体拟定的――集合元素的拟定性――元素与集合的“从属”关系不同的――集合元素的互异性2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的我们理解起来并不困难我们把不具有任何元素的集合叫做空集，记做Φ理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢3、集合的表达方法（1）列举法的表达形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表达，同学们需要知道能用列举法表达的三种集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100} ③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n，…}●注意a与{a}的区别●注意用列举法表达集合时，集合元素的“无序性”。
2）特性性质描述法的关键是把所研究的集合的“特性性质”找准，然后适本地表达出来就行了但关键点也是难点学习时多加练习就可以了此外，弄清“代表元素”也是非常重要的如{x|y＝x2}， {y|y＝x2}， {（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合4、集合之间的关系●注意区分“从属”关系与“包含”关系“从属”关系是元素与集合之间的关系包含”关系是集合与集合之间的关系掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会对的使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本规定●注意辨清Φ与{Φ}两种关系5、集合的运算集合运算的过程，是一个发明新的集合的过程在这里，我们学习了三种发明新集合的方式：交集、并集和补集一方面，我们应当严格把握它们的运算规则同时，我们还要掌握它们的运算性质： 还要尝试运用Venn图解决相关问题二、典型例题例1. 已知集合，若，求a解：根据集合元素的拟定性，得：若a＋2＝1， 得:， 但此时，不符合集合元素的互异性若，得：但时，，不符合集合元素的互异性若得：，都不符合集合元素的互异性综上可得，a ＝ 0小结】集合元素的拟定性和互异性是解决问题的理论依据。
拟定性是入手点，互异性是检查结论的工具例2. 已知集合M＝中只具有一个元素，求a的值解：集合M中只具有一个元素，也就意味着方程只有一个解 （1），只有一个解（2） .综上所述，可知a的值为a＝0或a＝1【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习规定，此外多体会知识转化的方法例3. 已知集合且BA，求a的值解：由已知，得：A＝{－3，2}， 若BA，则B＝Φ，或{－3}，或{2}若B＝Φ，即方程ax＋1＝0无解，得a＝0若B＝{－3}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ 若 B＝{2}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ 综上所述，可知a的值为a＝0或a＝，或a ＝ 小结】本题多体会这种题型的解决思绪和环节例4. 已知方程有两个不相等的实根x1， x2. 设C＝{x1， x2}， A＝{1，3，5，7，9}， B＝{1，4，7，10}，若，试求b， c的值解：由， 那么集合C中必然具有1，4，7，10中的2个又由于，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C＝{4，10}因此，b＝－（x1＋x2 ）＝－14，c＝x1 x2 ＝40【小结】对的含义的理解是本题的关键。
例5. 设集合，（1）若， 求m的范围；（2）若， 求m的范围解：（1）若，则B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2当B＝Φ时，m＋1>2m－1，得：m<2当m＋1>5时，m＋1≤2m－1，得：m>4当2m－1<－2时，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ综上所述，可知m<2， 或m>4（2）若， 则BA， 若B＝Φ，得m<2 若B ≠ Φ，则，得： 综上，得 m ≤ 3【小结】本题多体会分析和讨论的全面性例6. 已知A＝{0，1}， B＝{x|xA}，用列举法表达集合B，并指出集合A与B的关系解：由于xA，所以x ＝ Φ， 或x ＝ {0}， 或x ＝ {1}， 或x ＝ A，于是集合B ＝ { Φ， {0}， {1}， A}， 从而 A∈B三、练习题1. 设集合M＝则（ ）A. B. C. a ＝ M D. a > M2. 有下列命题：①是空集 ② 若，则③ 集合有两个元素 ④ 集合为无限集，其中对的命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 33. 下列集合中，表达同一集合的是（ ）A. M＝{（3，2）} ， N＝{（2，3）}B. M＝{3，2} ， N＝{（2，3）}C. M＝{（x，y）|x＋y＝1}， N＝{y|x＋y＝1}D.M＝{1，2}， N＝{2，1}4. 设集合，若， 则a的取值集合是（ ） A. B. {－3} C. D. {－3，2}5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2}， B ＝ {x| x < a}， 且， 则实数a的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}， B＝， 则集合A，B的关系是（ ） A. AB B. BA C. A＝B D. AB7. 已知M＝{x|y＝x2－1} ， N＝{y|y＝x2－1}， 那么M∩N＝（ ） A. Φ B. M C. N D. R8. 已知A ＝ {－2，－1，0，1}， B ＝ {x|x＝|y|，y∈A}， 则集合B＝_________________9. 若，则a的值为_____10. 若{1，2，3}A{1，2，3，4，5}， 则A＝____________11. 已知M＝{2，a，b}， N＝{2a，2，b2}，且M＝N表达相同的集合，求a，b的值12. 已知集合求实数p的范围。
13. 已知，且A，B满足下列三个条件：① ② ③ Φ，求实数a的值四、练习题答案1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C 8. {0，1，2}9. 2，或310. {1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}11. 解：依题意，得：或，解得：，或，或 结合集合元素的互异性，得或12. 解：B＝{x|x<－1， 或x>2} ① 若A ＝ Φ，即 ，满足AB，此时② 若，要使AB，须使大根或小根（舍），解得：所以 13. 解：由已知条件求得B＝{2，3}，由，知AB而由 ①知，所以AB 又由于Φ，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3} 当A＝{2}时，将x＝2代入，得经检查，当a＝ －3时，A＝{2， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}都与A＝{2}矛盾当A ＝ {3}时，将x＝3代入，得经检查，当a＝ －2时，A＝{3， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}都与A＝{2}矛盾 综上所述，不存在实数a使集合A， B满足已知条件。