首届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案及评分标准首届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案及评分标准 （数学类，2010） （数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 满 分 8 10 12 12 10 13 20 15 100 得 分 一、 填空题（共 8 分，每空 2 分.） （1） 设0，则 22 2 0 xx dx ee x = (). （2）若关于x的方程 2 1 1(0)kxk x 在区间(0,)中有惟一实数解，则常数 k 2 3 9 . （3）设函数( )f x在区间[ ,上连续.由积分中值公式有]a b( )() ( ) x a f t dtxa f ()axb. 若导数( )fa 存在且非零， 则lim xa a xa 的值等于 1 2 . （4）设()，则=___6a b c [() ()] ()abbcac 12________. 二、 （10 分） 设 ( )f x 在内有定义， 在 ( 1,1)0x 处可导， 且 (0)0f .证明： ' 2 1 (0) lim 2 n n k kf f n . 证证： 根据题目假设和泰劳展开式，我们有 ' ( )(0)(0)( ) ,f xffxx x其中( ) x是x的函数， (0)0,且( )0,0xx当。
…………………………………………………… （（2 分）分） 因此，对于任意给定的0，存在0，使得( ),xx只要……………… （（3 分）分） 对于任意自然数和nkn，我们总有 ' 222 (0) kkk ff nnn 2 k n ……………………（（4 分）分） 取 1 N ，对于上述给定的0，便有 2 ,, k nN kn n 只要 ……………………………… （（5 分）分） 第 1 页（ 共 8 页） 于是， ' 222 111 (0), nnn kkk kkk ffn nnn 只要N 此式又可写成 ' 2 1 111 (0)(1)(1), 22 n k k ff nnn 只要nN ……………………（（7 分）分） 令，对上式取极限即得 n ' 2 1 1 limsup(0) 22 n n k k ff n 和 ' 2 1 1 liminf(0) 22 n n k k ff n 由的任意性，即得 ' 22 11 1 limsupliminf(0) 2 nn nn kk kk ff nn f。
证毕……………（（10 分）分） 三、 (12分)设( )f x在[0,)上一致连续， 且对于固定的[0,)x， 当自然数时. 证明函数序列{在[0上一致收敛于 0. n ()f xn 0 (f x):nn1,2,.},1] 证证：由于( )f x在[0上一致连续，故对于任意给定的,)0，存在一个0使得 121212 ()(),(0,0) 2 f xf xxxxx 只要 ………………………… （（2 分）分） 取一个充分大的自然数，使得m 1 m ，并在[0中取个点: ,1]m 12 0.1 m xxx， 其中(1,2,.,) j j xj m m这样，对于每一个j， 1 1 jj xx m ………………………………………………（（5 分）分） 又由于，故对于每一个lim()0 n f xn j x，存在一个使得 j N (), 2 jj f xnnN 只要， 这里的是前面给定的令，那么 1 max{,.,} m NNN (), 2 j f xnnN 只要， 其中1,2,.,jm。
设是任意一点，这时总有一个[0,1]x j x使得 1 [,] jj xxx 由( )f x在[0上一致连续性及,) j xx可知， 第 2 页（ 共 8 页） ()()(1,2,.) 2 j f xnf xnn ……………………………… （（9 分）分） 另一方面，我们已经知道 (), 2 j f xnnN 只要 这样，由后面证得的两个式子就得到 (),,[0,f xnnN x只要1] 注意到这里的的选取与点Nx无关， 这就证实了函数序列{ ():1,2,.}f xnn在[0上一致收敛 于 0 ………………………… （（12 分）分） ,1] 四、 （12 分）设， 22 {( , ):1}Dx yxy( , )f x y 在D内连续，在内连续有界，且满足 条件： （1） 当时，； （2） 在内 ( , )g x yD 22 1xy( , )f x y Df与有二阶偏导数， g 22 22 f ff e xy 和 22 22 g gg xy e( , )(.证明： , )f x ygx y 在 D 内处处成立. 证：证：用反证法。
假定该不等式在某一点不成立，我们将导出矛盾 令. 那么，根据题目假设，当( , )( , )( , )F x yf x yg x y 22 1xy时，. ( , )F x y 这样，在内必然有最小值设最小值在( , )F x yD 00 (,)xyD达到…………………… (3 分分) 根据反证法假设，我们有 000000 (,)(,)(,)0F xyf xyg xy. (i) 另一方面，根据题目假设，我们又有 ( , )( , )f x yg x y Ffgee ， (ii) 其中是拉普拉斯算子： 22 22 xy . …………………… (7 分分) 式子（ii）在中处处成立，特别地在D 00 (,)xy成立： 0000 00 0000 (,)(,) (,) (,)(,) f xyg xy xy xyxy Ffgee . (iii) 由(i)与(iii)可知，. (iv) …………………… (9 分分) 00 (,) 0 xy F 但是， 00 (,)xy是的极小值点，应该有并因此 ( , )F x y 00 (,)0;0, xxyy FxyF 00 (,) |0 xy F 第 3 页（ 共 8 页） 这与（iv）矛盾。
此矛盾证明了题目中的结论成立………………………………（（12 分）分） 五、 （共 10 分， （1）和（2) 各 5 分）分别设 {( , ):01;01}Rx yxy{( , ):01;01}Rx yxy ， . 考虑积分 1 R dxdy I xy 与 1 R dxdy I xy ， 定义 0 limII . （1) 证明 2 1 1 n I n ； （2)利用变量替换： 1 () 2 1 () 2 uxy vyx 计算积分 I 的值，并由此推出 2 2 1 1 6 n n . 证：证： 显然， 0 ()n n R Ixy dxdy ……………………………………………… （（2 分）分） 注意到上述级数在R 上的一致收敛性，我们有 2 11 2 00 01 (1) n nn nn Ix dxy dy n ………………………………（（4分）分） 由于 2 2 1 n n x n 在点1x 收敛，故有 2 0 1 1 lim n II n 。
………………………… （（5分）分） 下面证明 2 6 I . 在给定的变换下，,xuv yuv，那么 22 11 11xyuv ， 变换的雅可比行列式 ， ( , ) 2 ( , ) x y J u v …………………………………………（（6分）分） 假定正方形R在给定变换下的像为R，那么根据R的图象以及被积函数的特征，我 们有 1 11 2 1 222222 000 2 1 244 111 uu R dvdv Idudvdudu uvuvuv 利用 22 1 arctan(0), dxx Ca axaa 第 4 页（ 共 8 页） 又得 1 22 1 2 1 220 2 1 arctanarctan 1 44 11 uu u1 . u Idudu uu …………………… （（8分）分） 令 22 11 ( )arctan; ( )arctanarctan, 1 11 uu g uh u u uu u 那么 '' 22 12 ( );( ) 11 g uh u uu 。
最后，我们得到 1 1 '' 2 1 0 2 4( ) ( )8( ) ( )Ig u g u duh u h u du 1 22 1 2 01 2 2[ ( )] |4[ ( )] |g uh u 22 2 2004 666 ……………………（（10分）分） 六、 （13 分）已知两直线的方程：:L xyz，': 11 xyzb L a （1）问：参数满足什么条 件时，L与是异面直线？（2）当LL重合时，求LL转所生成的旋转面 ,a b 'L与'不'绕旋的方程，并 指出曲面的类型 解解： （1）的方向向量分别为,'L L(1,1,1), '(1, ,1)nna 分别取上的点与是异面直线当且仅当矢量不共面， 即，它们的混合积不为零： ,'L L(0,0,0), (0,0, )OPbL'L, ',n n OP 111 ( , ',)11(1)0 00 n n OPaab b ， 所以，与是异面直线当且仅当L'L1a 且0b …………………………………… （（2 分）分） （2）假设是( , , )P x y z上任一点，于是必定是上一点绕旋转所生 成的。
由于与垂直，所以， P'L'( ',', ')P x y zL 'P P L (')(')(')xxyyzz0 ① ……………（4 分） （4 分） 又由于在上，所以， 'P'L ''' 11 xyz a b ， ② 因为经过坐标原点，所以，到原点的距离相等，故， L,'P P 第 5 页（ 共 8 页） 第 6 页（ 共 8 页） 2 ' 22222 ''xyzxyz ， ③ ……………（5。