第七章蚂蚁行程模型立体图形展开的最短路径沿仙的开后岫模型分析上图为无底的圆柱体侧面展开图，如果蚂蚊从点A沿圆柱体表面爬行一周，到点B的最短路径就是展开图中A矿的长，眼=如之*心，2 ,做此类题目的关键 就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边” 准确找出最短路径模型实例例1有一圆柱形油罐，如图所示，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上 方B点，已知油罐的底面周长为12m,高AB为5m,问所建梯子最短需要多少米？解答：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开，铺平得到如图所示的长方形ABDC,则 AB=DC=5m, AC二BD二 12m, ZBAC=ZC=ZCDB=ZB= 90因此沿AD建梯子，梯子最短在AACD 中，由勾股定理得 AD2=AC2+CD2=122+52=132,解得AD=13m答：建梯子最短需要13米 B5C 例2：如图，己知圆锥的母线长0A=8,底面圆的半径r=2.若一只蚂蚊从A点出 发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了 A点，求蚂蚁爬行的最短路线的长.（结 果保留根式）解答：小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长,・.・1=2 Ji r=— ..・扇形的圆心角=1Kr x360 = 90180由勾股定理求得它的弦长是：782 + 82 = 8V2故答案为：8>/2 o例3：已知长方体的长、宽、高分别为:30cm、20cm、10cm, 一只蚂蚁从A处出发 到B处觅食，求它所走的最短路径.（结果保留根号）切小 /八 -4B2=(30+20)2+102=2600解答：(1)展开刖面右面由勾股定理得S、民口％有 I 有土。
皿土询如刀中=(10+2())2+3()2=1800(2) 展开刖面上面由勾股定理得 ；尤布匚布.工球曰.，12=(iq+3())2+2()2=2OOO(3) 展开左面上面由勾股定理得 ^•. aOv/2 < 20\/5 < 10v/26・•・最短路程长为30v/Jcm・1、有一圆柱体如图，高4cm,底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处, 求蚂蚁爬行的最短距离解答：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.C, D分别是BE, AF的中点.AF = 2tf・ 5 = 107T./1D = 5aAC= \/AD2 + CD2^lGcm因此，本题正确答案是:16cm.BCE♦ ,• ♦••,•♦♦ ♦•i 2、如图，圆柱体的高为8cm,底面周长为4cm,小蚂蚊在圆柱表面爬行，从A点到B 点，路线如图,则最短路程为 o解答:沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱 表面从A点爬到B点的最短路程，AC = - x4 = 62 ZC = 90 BC = S， ， ，由勾股定理得："=廊诙= 10,因此，本题正确答案是：10.3、如图，桌上有个圆柱形玻璃杯，高为12 cm ,底面周长18 cm ,在杯 内壁离杯口 3 cm的 刀 处有一滴蜂蜜，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当 它正好爬至蜂蜜相对方向离桌面3 cm的8处时，突然发现了蜂蜜.问小 虫怎样爬去吃蜂蜜最近？它至少爬多少路才能到达蜂蜜所在的位置？解答：按如图所示的方向B（其中MNPQ为圆柱的侧面展开图，刀与 刃关于MQ对称）， 小虫爬的路程为BC + CA=BA = 15cm .4、已知0为圆锥顶点，OA、0B为圆锥的母线，C为0B中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A,另一个小蚂蚊也从C点出发，绕着圆锥侧面爬行到 点B,它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示.若沿0A剪开，则得到圆锥侧面展 开图为（）A B C D此题答案为：c.解：根据题意可知，两只蚂蚁一只从C到A, 一只从C到B,选项B中第二只蚂 蚁的终点不是点B,故排除B选项；第一只蚂蚁沿圆锥的前面从C到A,故路线AC是在展开图的左侧的线段，排除D 选项；第二只蚂蚁经过0A从C到B,所以展开图对称轴0B的两面都有路线，故排除A 选项.故选C.5、如图,一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B, 如果它运动的路径是最短的，则最短距离为 o解答:将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如 图所示，此时AB最短，AB = + 22 =2\/10因此，本题正确答案是：之何.6、如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，=之，一只蚂蚁 从P点出发沿木箱表面爬行到点Q,求蚂蚊爬行的最短路程.解答:如图所示，・；PB = 40 = 6 AQ = 2，:.BQ = 6 + 2 = 8 .\PC) = y/PB2 + BQ2 = vG2 + 8, = 1().答:蚂蚊爬行的最短路程是10.7、如图，是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A 和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物. 请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？解答:将台阶展开，如下图,41 心?1C = 3x3 + 1x3 = 12 BC = 51379 ,所以特="+8 = 169所以 AB = 13(Cm) 所以蚂蚊爬行的最短线路为13cm.答:蚂蚁爬行的最短线路为13cm.。