变形及刚度计算

第八章 变形及刚度计算,第八章,变形及刚度计算,主讲教师：余茜,§8 — 1 轴向拉伸杆的变形,§8 — 2 圆轴扭转时的变形和刚度计算,§8 — 3 梁的变形及刚度计算,§8 — 4 简单超静定问题,目 录,,,第二章 轴向拉伸和压缩,,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,F,F,,,,一、轴向拉压的变形分析,F,F,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,轴向拉伸： 纵向伸长、横向缩短,纵向伸长量：,横向缩短量：,轴向压缩： 纵向缩短、横向伸长,纵向缩短量：,横向伸长量：,,,注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不一的杆件，因此引入应变的概念F,F,,,,F,F,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1、纵（轴）向变形量：,2、横向变形量：,,,二、线应变,轴向线应变：,线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长，称之为线应变横向线应变：,,,3、线应变的符号约定：与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负§ 8-1 轴向拉压杆的变形,,,上式表明，弹性范围内轴向拉、压杆件的伸长或缩短量 l ，与轴力 FN和杆长 l 成正比,与EA 成反比。

EA——抗拉（压）刚度,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,由胡克定律,且,轴向线应变：,,E——弹性模量,EA——抗拉（压）刚度,l 表示长为 l的杆件在轴力 FN的作用下的伸长量或缩短量,条件：杆件在 l长范围内EA和FN均为常数当EA和FN在杆长范围内分段为常数时,FN图,当EA和FN在杆长范围内为位置的函数时,,,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,,三、泊松比,当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长横向线应变：,纵向线应变：,实验表明，对于同一种线弹性材料，存在如下关系：, ——称为泊松比，量纲为一,——负号表示纵向与横向变形的方向总是相反,,,,,,,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,,,,40KN,20KN,10KN,,50kN,20kN,30kN,,,,,,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法画轴力图,,分析：多力作用下，整个杆长范围内轴力分段为常数，只能分段求变形，再求和又因为BD段内虽然轴力为常数，但截面面积又分两段，所以要分4段求变形FN图,,,,,,,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,,,,40KN,20KN,10KN,,50kN,20kN,30kN,,,,,,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法画轴力图,,FN图,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,,,,40KN,20KN,10KN,,50kN,20kN,30kN,,,,,,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法画轴力图,,FN图,即杆被压短了1.572mm,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,,,,,,,,,,,,,,,,解：,把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度q＝γA,,,,,,,任意取一个截面1－1，画受力图。

轴力,在1－1截面处取出一微段dy作为研究对象，受力如图由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，认为在微段dy上轴力均匀分布（常数）,,,,,,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集中力作用在杆端所引起的变形量的一半G,令取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作用在自由端，此时杆件的伸长量为,,§ 8-1 轴向拉压杆的变形,§ 8 — 2 圆杆扭转时的变形和刚度计算,一、扭转变形——扭转角,——抗扭刚度,扭率：,单位长度扭转角（扭率）描述了扭转变形的剧烈程度,扭转角：,单位：rad,一、扭转变形——扭转角,扭转角：,当在杆长l内扭率为常数时,单位：rad,当在杆长l内扭率分段为常数时，用求和公式,§ 8 — 2 圆杆扭转时的变形和刚度计算,二、刚度条件,以度每米为单位时,以弧度每米为单位时,许用单位长度扭转角,,三、刚度条件的应用,（1）校核刚度 （2）设计截面 （3）确定荷载,§ 8 — 2 圆杆扭转时的变形和刚度计算,例题：圆轴如图所示。

已知d1=75mm，d2=110mm材料的许用切应力[]=40MPa，轴的许用单位扭转角 []=0. 8°/m，剪切弹性模量G=80GPa试校核该轴的扭转强度和刚度d2,,,,d1,A,B,C,8KN.m,5KN.m,3KN.m,,,,,,,,,,d2,,,,d1,A,B,C,8KN.m,5KN.m,3KN.m,,,,,解：强度校核,MT图,满足强度条件,分析：虽然MTAB

一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）,挠度方程：一般各横截面的挠度是不相同的，是位置x的函数，称为挠度方程，记做y=y（x）,,y,,,A,,B,x,,,2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角C',C,,,,一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）,转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的函数，称为转角方程，记做=  （x）,3、挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 挠曲线方程为,式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度y,,,A,,B,x,,,,C',C,,,,挠曲线,一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）,——挠度方程,,y,,,A,,B,x,,,,C',C,,,,挠曲线,4、挠度和转角的关系,即,该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的一阶导数,挠度：向下为正，向上为负转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负y,,,A,,B,x,,,,C',C,,,,挠曲线,5、挠度和转角的符号约定,剪力弯曲时, M 和  都是x的函数 略去剪力对梁的位移的影响, 则,纯弯曲时曲率与弯矩的关系为,二、 挠曲线的近似微分方程,由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作,由以上两式，得,,,,在规定的坐标系中, x 轴水平向右 为正, y 轴竖直向下为正；而弯矩是下侧受拉为正。

曲线向上凸 时 ： y'' > 0 , M < 0,曲线向下凸 时 ： y'' 0,因此, M 与 y''的正负号相反,,二、 挠曲线的近似微分方程,,此式称为 梁的挠曲线近似微分方程,近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 y' 2 项与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为,,二、 挠曲线的近似微分方程,三、 用积分法求梁的变形,,梁的挠曲线近似微分方程,（一）、公式推导,再积分一次, 得挠度方程,上式积分一次得转角方程,式中C 、D称为积分常数，可通过梁挠曲线的位移边界条件和变形连续光滑条件来确定A,B,A,B,,,在简支梁中， 左右两铰支座处的挠度 yA 和 yB 都应等于零（边界）；C左、C右截面的饶度、转角相等（变形连续光滑）在悬臂梁 中，固定端处的挠度 yA和转角 A 都应等于零二）、位移边界条件和变形连续条件,位移边界条件：,yA ＝0 ，yB ＝0,位移边界条件：,yA ＝0 ， A ＝0,,,注意：位移边界条件在支座处变形连续条件中间在分段点,变形连续条件：,C,yC1 ＝ yC2 ， C1 ＝ C2,三、 用积分法求梁的变形,注 意,当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。

相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异三、 用积分法求梁的变形,1、正确分段，分别列弯矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积分得挠度方程； 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数步 骤,注意： 1、位移边界条件在支座处，变形连续条件在中间分段点处； 2、分n段，就要列n个弯矩方程，就有n个转角方程和n个挠度方程，因此就有2n个积分常数，就必须列出2n个补充方程（边界条件和变形连续条件）,三、 用积分法求梁的变形,,,C,,,,,,D,,,,A,F,,,,,,,,B,,例题 ：用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件3m,3m,2m,q,解：分AC、CB、BD三段,1,位移边界条件：,变形连续条件：,yA ＝0,yC1 ＝ yC2 ， C1 ＝ C2,2,3,应该列6个补充方程,yB2 ＝ yB3 ， B2 ＝ B3,A截面：x1=0时，,C截面：x1=x2=3m时，,B截面：x2=x3=6m时，,B截面：x2=x3=6m时，,yB ＝0,例题 ：图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 P 作用。

试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ymax 和最大转角 max 弯矩方程为,解：,挠曲线的近似微分方程为,,对挠曲线近似微分方程进行积分,边界条件为 ：,C1=0 C2=0,将边界条件代入(3) (4)两式中,可得,,,C1=0 C2=0,梁的转角方程和挠度方程分别为,,,,,ymax,例题： 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁, 在全梁上受集度为q 的均布荷载作用试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ymax 和最大转角 max 解: 由对称性可知，梁的两个支反力为,弯矩方程为,挠曲线的近似微分方程为,,x,,挠曲线的近似微分方程为,对挠曲线近似微分方程进行积分,(c),(d),,x,,边界条件为 ：,,x,,,梁的转角方程和挠度方程分别为,,,,,,在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，,梁的转角方程和挠度方程分别为,,,由对称，在梁跨中点 l/2 处有 最大挠度值,,,,梁的转角方程和挠度方程分别为,,,例题 ：图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力P的作用试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求D截面的挠度和A、B截面的转角,,解：梁的两个支反力为,1、分两段分别列弯矩方程,,2、两段梁的挠曲线方程分别为,可见，梁分两段，就有4个积分常数,,3、边界条件和变形连续条件,,代入方程可解得：,1,2,1,2,将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程，左右两支座处截面的转角,当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大,1,2,D截面的挠度：,把x=a代入y1或者y2，得,叠加原理：梁在小变形、弹性范围内工作时， 梁在几项荷载（可以是集中力, 集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。

当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其转角是在同一平面内 ( 如均在 xy 平面内 ) 时,则叠加就是代数和。