一、等差数列1.等差数列的定义：（d为常数）（）；2．等差数列通项公式： ， 首项:，公差:d，末项: 推广： ． 从而；3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或（2）等差中项：数列是等差数列4．等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． （2） 等差中项：数列是等差数列． ⑶数列是等差数列（其中是常数）4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）6．等差数列的证明方法 定义法：若或(常数) 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求22）设项技巧：①一般可设通项②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）8..等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
3）当时,则有，特别地，当时，则有.注：， （4）若、为等差数列，则都为等差数列(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列 （6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1.当项数为偶数时，2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．（8）、的前和分别为、，且，则.（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和(10)求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值． （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和即 当 由可得达到最小值时的值．或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）若S p = S q则其对称轴为注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．二、等比数列1. 等比数列的定义：，称为公比2. 通项公式：， 首项：；公比：推广：， 从而得或3. 等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列4. 等比数列的前n项和公式：(1) 当时， (2) 当时，（为常数）5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列 （2） 等比中项：（0）为等比数列（3） 通项公式：为等比数列（4） 前n项和公式：为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列7. 注意（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求22）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；如奇数个数成等差，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；8. 等比数列的性质(1) 当时①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比②前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得注：(4) 列,为等比数列,则数列,,, (k为非零常数) 均为等比数列.(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7) 若为等比数列,则数列，，，成等比数列(8) 若为等比数列,则数列, , 成等比数列(9) ①当时， ②当时，, ③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,,. (11)若是公比为q的等比数列,则例1、（1）设是等差数列，且，求及S15值。
2）等比数列中，，，前n项和Sn=126，求n和公比q3）等比数列中，q=2，S99=77，求a3+a6+…+a99；（4）项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数解：（1）由已知可得，所以=2，S15=，所以或又,所以或评注：分解重组，引导发现（）、（）与（）的关系，从而使问题获得简单的解法设等差数列共2n-1项,则所以此数列共31项.中间项评注：（1）在项数为项的等差数列中，； （2）在项数为项的等差数列中．变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13 项；（2）已知数列是等比数列,且,,，则 9 ．（3）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 210 ． (4) 等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.例2、设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，（1）求公差d的取值范围2）指出S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由解：（1），，即，由,代入得：2）解一：由，可知，所以S6最大解二：，由可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S6最大。
解三：，由得又抛物线开口向下，所以S6最大评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解经过原点）变式：(1) 已知等差数列{an}中，，问S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大2) 数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和．略解：（1）由题得，∴，∴是首项为3，公差为的AP∴，∴由，得，∴数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，，当时，，∴当时，当时，∴．例3、(1) 由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式．①②解：当时，得不成立，∴，∴由①得，代入②得，∴．说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．(2) 若数列成等差数列，且，求．解：（法一）基本量法（略）； （法二）设，则得：，， ∴，∴．评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征变式：设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{}的前n项和，求Tn。
解：法一：（基本量法）设{an}首项为a1，公差为d，则∴ ∴ ，∴ ∴ 此式为n的一次函数， ∴ {}为等差数列，∴ 法二：{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn，∴ 解之得： ∴ ，下略例4、已知等差数列， （1）在区间上，该数列有多少项？并求它们的和；（2）在区间上，该数列有多少项能被整除？并求它们的和.解：，（1）由，得，又,∴ 该数列在上有项, 其和．（2）∵，∴要使能被整除，只要能被整除，即，∴，∴，∴，∴在区间上该数列中能被整除的项共有项即第项，其和．等差、等比数列性质及应用复习参考题一、选择题1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ）A.34 B.35 C.36 D.372.{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9的值是（ ）A.24 B.27 C.30 D.333.设函数f(x)满足f(n+1)=(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为（ ）A.95 B.97 C.105 D.1924. 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是： （ ） A．4005 B．4006 C．4007 D．40085.等差数列{an}中，已知a1=－6,an=0,公差d∈N*,则n(n≥3)的最大值为（ ）A.5 B.6 C.7 D.86. 设命题甲:△ABC的一个内角为60o，命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么( ) (A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件(C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,则S20为（ ）A.180 B.－180 C.90 D.－908. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）A.9 B.10 C.19 D.299.由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1+a4, a2+a5, a3+a6…是（ ）A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列C.公差为3d的等差数列 D.非等差数列10.在等差数列{an}中，若S9=18,Sn=240,an－4=30,则n的值为（ ）A.14 B.15 C.16 D.17二、填空题11.在数列{an}中，a1=1,an+1=(n∈N*),则是这个数列的第_________项.12.在等差数列{an}中，已知S100=10，S10=100，则S110=_________.13.在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______.14.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若=,则=_________.15. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是 16. 若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地：若是等比数列，且，则{}是等比数列,其中 。