III)求三棱锥M -立体几何练习1.如图：梯形ABCD和正△ PAB所在平面互相垂直，其中AB // DC,AD = CD =1 AB，且O为 AB 中点. 2(I )求证：BC //平面POD ；(II )求证：AC ± pd .2.如图，菱形ABCD的边长为6，/BAD = 60o, AC I BD = O .将菱形ABCD沿对角 线AC折起，得到三棱锥B- ACD，点M是棱BC的中点，DM =3/2.(I) 求证：OM //平面ABD ；(II) 求证：平面ABC 1平面MDO ；3.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD1已知四棱锥的底面2是菱形.PB = PD，为的中点.MD(I) 求证：PC 〃平面；5.已知直三棱柱ABC - ABC^的所有棱长都相等，且D, E, F分别为BC, BB1, AA1的(II) 求证：平面PAC 1平面BDE .中点.(I)求证：平面BFC//平面EAD；(II)求证：BC11 平面EAD.6. 如图所示，正方形abcd与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ZADE = 90o, AF//DE, DE = DA = 2AF = 2.(I) 求证：AC 1平面BDE ；(II) 求证：AC // 平面 BEF ；(III) 求四面体BDEF的体积.7. 如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD±平面ABCD,AB=AD,ZBAD=60°, E、F 分别是 AP、AD 的中点求证：(1)直线EF,-— … … ……，18. 如图，四边形ABCD为正方形，QA上平面ABCD, PD〃QA, QA=AB= —PD.2(I) 证明：PQ±平面DCQ；(II) 求棱锥Q-ABCD的的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.9. 如图，在△ ABC中，ZABC=45°，ZBAC=90°，AD是BC上的高，沿入。
把左ABD折 起，使 ZBDC=90°O(1)证明：平面ADB±平面BDC；(2 )设BD=1，求三棱锥D —ABC的表面积1又 AB / /CD, CD = -AB，2参考答案:一，、一，一 .,1 —1.证明：(I)因为O为AB中点，所以BO = - AB,所以有 CD = BO, CD / /BO,所以ODCB为平行四边形，所以 BC //OD,又DO u平面POD, BC⑦平面POD,所以BC//平面POD .(II)连接 OC.因为 CD = BO = AO, CD / /AO,所以 ADCO 为平行四边形，又AD = CD，所以ADCO为菱形，所以AC 1DO，因为正三角形PAB , O为AB中点，所以PO1 AB，又因为平面ABCD1平面PAB ,平面ABCD I平面PAB = AB，所以PO 1平面ABCD，而ACu平面ABCD，所以PO 1 AC，又PO I DO = O，所以AC 1平面POD.又PD u平面POD，所以AC 1 PD .2. (I)证明：因为点是菱形ABCD的对角线的交点，所以是的中点.又点M是棱BC的中点，所以是的中位线，.因为平面ABD,平面ABD , 所以OM //平面ABD.(II)证明：由题意，,因为DM = 3点，所以，.又因为菱形ABCD，所以.因为 OM I AC = O,所以平面ABC ,因为平面MDO,所以平面ABC 1平面MDO.(III) 解：三棱锥M - ABD的体积等于三棱锥的体积.由(II)知，平面，所以OD = 3为三棱锥的高.的面积为，所求体积等于3 x s wM x od=923..一 .一 1 - 1 .一一 . _3.证明：(I)AD t = 1 // u 二(I)证明：因为E，2 =2O分别为PA，AC的中点，MNBC所以EO 〃 PC.因为EO u平面BDEPC仁平面BDE所以PC 〃平面BDE .(II)证明：连结OP因为PB = PD，所以OP1BD .在菱形ABCD中，BD1 AC 因为 OP I AC = O所以BD1平面PAC因为BD u平面BDE所以平面PAC1平面BDE .5. (I)由已知可得 AF // BE , AF = B1E ,四边形AFBE是平行四边形，1AE // FB1,Q AE⑦平面BFC , FB1 u平面BFC ,AE // 平面 BFC ；1又D,E分别是BC,BB1的中点，DE//BC ,Q ED * 平面 BFC , BC u 平面 BFC ,11 1ED//平面 BFC ；1Q AE I DE = E, AE u 平面 EAD , ED u 平面 EAD ,•平面BFC 〃平面EAD . 1(II) ®三棱柱ABC — A BC1是直三棱柱，Cf 1 面 ABC，又Q AD u 面 ABC,••• C]C 1 AD .又。
直三棱柱ABC — ABC^的所有棱长都相等，D是BC边中点，••• AABC是正三角形，BC1AD,而 CC I BC = C , CC u 面 BCCB , BC u 面 BCCB ,1 1 1 1 1 1• AD 1 面 BCCg ,故AD 1 BC】.Q四边形BCCg是菱形，BC11 BC ,而DE//BC，故 DE 1 Bq ,由 AD I DE = D , AD u 面 EAD , ED u 面 EAD ,得 Bq 1 面 EAD .6. ( I )证明：因为平面 ABCD 1 平面 ADEF , ZADE = 90o,所以DE 1平面ABCD ,所以DE 1 AC.因为ABCD是正方形，所以AC 1BD，所以AC 1平面BDE.(II)证明：设AC I BD = O，取be中点G，连结FG, OG ,一，，1所以，OG = -DE.2因为 AF//DE，DE = 2AF，所以 AF = OG，从而四边形AFGO是平行四边形，FG//AO.因为FG u平面BEF, AO⑦平面BEF,所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF.(Ill)解：因为平面 ABCD 1 平面 ADEF，AB 1 AD ,所以AB 1平面ADEF .因为 AF//DE, /ADE = 90o, DE = DA = 2AF = 2，1所以ADEF的面积为一x ED x AD = 2，2所以四面体BDEF的体积=-S x AB = 4 .3 ADEF 37.解：(1)因为E、F分别是AP、AD的中点，EF P PD,又Q PD u 面PCD, EF Q WPCD直线EFQ AB=AD,/BAD=60o, AABD :. BF 1 AD,面PAD c WABCD=AD,・•・BF 1面PAD,BF u 面BEF 8.解：(I)由条件知PDAQ为直角梯形因为QAL平面ABCD，所以平面PDAQX平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCXAD，所以DC±平面PDAQ，可得PQXDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=W2 PD，则PQ±QD2所以PQ±平面DCQ.(II)设 AB=a.1由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积V = —a3.1 32 一 由（I）知PQ为棱锥P—DC。
的高，而PQf；2o , ADCQ的面积为——a2, 21所以棱锥P—DCQ的体积为V = -a3.2 3故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为19. (1)・「折起前AD是BC边上的高，・.・ 当^ ABD折起后，AD1DC,AD^DB,又 DB c DC = D,Z.AD±平面 BDC,又LAD 平面 BDC.・.・平面ABD±平面BDC.(2)由(1)知，DA 1 DB, DB ± DC, DC ± DA,Q DB=DA=DC=1,••• AB=BC=CA=侦2,S = S = S =4x 1x 1 = —, S =Lxp2 x V2 xsin60° =V DAM V DBC V DCA 2 2 v ABC 2 2.・・三棱锥D—ABC的表面积是S = 2 x 3 + %3 =号3。