高等数学《概率论与数理统计》(概率论习题课2)-随机变量及其分布

一、一、分布函数分布函数1. 定义：定义：设X为一随机变量,则对任意实数x，(X≤x)是一个随机事件，称F(x)=P(X<=x)为随机变量X的分布函数a.P(X>b)=1- P(X≤b)=1 - F(b)2.分布函数的性质：分布函数的性质：b.P(a

注注2 2：：a.a.实际应用中：：当n较大,p较小（小于等于0.05），np适中时（大于等于20），可用泊松公式近似代替二项概率公式)1 (npekppCkknkkn b.实际应用中，当p接近1/2时，上述方法不能用，此时可以近似用正态分布代替进行计算3三、连续型分布三、连续型分布 1.定义定义：设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有则称X为连续型随机变量， f (x) 称为称为X 的概率密度函数的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.()( )xFxft dt分布函数分布函数 ：： dxxfbxaPba)(}{4性质性质2 2：：b b规范性规范性: :( )0,(,)f xx   ( )1f x dxc:c:( )( )( )f xxFxf x若在 处连续，则a非负性非负性: :d d概率密度与分布函数的概率密度与分布函数的关系关系: :dxxfaFbFbxaPba)()()()(注注1：：对于连续型随机变量而言，由于在任意单点出的概率为0(P(x=a)=0)，故分布规律无法用类似离散分布列出所有点的概率来描述，必须求出具体的概率密度或分布函数的表达式。

注2：由上一条单点处的概率为0，可以得到对于连续型分布而言，随机变量落在某区间的概率与区间的断点是否取到无关，即：注3：思考：想一想为何以上d条中要求f(x)连续？不连续是否也满足？答案是肯定的！那么f(x)的连续性起什么作用？)()()()(bXaPbXaPbXaPbXaP52.2.常见连续型分布常见连续型分布a.a.均匀分布均匀分布1()0axbfxba其 它分布函数              xbbxaabaxaxxF,1,,0)(概率密度6b.b.指数分布指数分布0( )(000xexf xx为常数）分布函数概率密度0,10,0)(xexxFx7c.正态分布正态分布概率密度分布函数dxexFxx222)(21)(          为常数0,21)(222)(xexf性质：性质：对称性对称性: :关于关于 x = x =   对称对称单调性单调性：：拐点拐点：：,)21,(21e12f最大（ ）（（- -  ，， ））递增，递增，（（ ，，+ +  ））递减。

递减8d.d.标准正态分布标准正态分布221( )2xxe221( )2xxxedx01概率密度分布函数5 . 0)0(  注：这里单独列出标准正态分布一方面：是由于在应用时，标准正态分布的使用要更方便，它的分布函数在每点的值都可以通过已知的表得到另一方面是：每一个正态分布都可以标准化，归结到标准正态分布上9e.e.正态分布的标准化计算正态分布的标准化计算2~(,),()xXNFx  如 果则定理定理1：()P Xb()b ()P Xa1()a )()()(abbXaP定理定理2 2：：即标准正态分布则若) 1 , 0N(~),,N(~X2XY这些公式常用于计算);(1)(xx10问题问题：：设设 X X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f f (x)(x)；；y = y = g g(x)(x)为一个连为一个连续函数，求随机变量续函数，求随机变量Y=g(X)Y=g(X)的概率密度函数的概率密度函数。

1) 求求Y的分布函数的分布函数 FY(y)( )YFy根据分布函数的定义()P Yy( ())P g Xy(2) 对对FY(y) 求导，得到求导，得到 fY(y) 四、四、连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布方法方法1 1：：( )( )YYfyFy(( ))P Xx g xy11()[(()]()YXfyfGyGy方法方法2 2：：定理定理：：若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分别为 f X (x) fY (y), 当 g(x) 是严格单调函数，则：()( )xGyyg x其 中 为的 反 函 数注1：特别地，正态分布的线性函数仍为正态分布.12五、习题1 1. .设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以 X表示取出的次品个数，求： (1)X的分布律； (2)X的分布函数并作图； (3)计算2 2. .（1）设随机变量X的分布律为 其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.!)(kakPk) 21 ();231 ();231 ();21(XPXPXPXP注：本章习题分布为，（1-4）关于离散型分布的性质和计算，其中（4）同时考察了二项分布的泊松逼近；（5-8）关于连续型分布的性质和计算，其中（7）考察了正态分布的标准化；（9-12）关于随机变量的函数分布,9考察了离散情形，10、11、12考察连续情形。

主要关注解题步骤和方法）134.4.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且 设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机 需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？3.设. 4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 (}{; 2 , 1 , 0,)1 (}{4422kppCmYPkppCkXPmmmkkk分别为随机变量X,Y的分布律，如果已知P(X>=1)=5/9,试求P(Y>=1).5.5.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|,-∞

., 0, 21,2, 10,)(其他xxxxxf8.8.设随机变量X的分布函数为：试确定(1),(2),(3)项.,) 3(, )2() 1 (,11)(2xxxxF9 9. .设随机变量X的分布律为X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.15. 0, 0, 0,e)(xxxfx1111. .设随机变量X的密度函数为 求随机变量Y=eX的密度函数fY(y)12.12.设随机变量X的密度函数为f(x)设随机变量X的密度函数为　其他, 00,2)(2xxxf　试求Y=sinX的密度函数16参考解答（完成之后再参考！若解答有错误请自己悄悄更正）：参考解答（完成之后再参考！若解答有错误请自己悄悄更正）：1.1718192.3.204.215.226.237.8.249.2510.2611.1, 01,11)(yyyyFY故，0)()(F1YyYPyy时，当解：ydxyXPyePyYPyxX11e)ln()()()(F1ylny0Y时，当1, 01,1)(2yyyyfY所以，2712.0)()(F0yYyYPy时，当解：28。