１.原子轨道角度分布图“**〞 波函数的角向局部Yl,m〔θ，ϕ，又称原子轨道的角向局部，假设以原子核为坐标原点，引出方向为〔θ，ϕ〕的直线，连结所有这些线段的端点，在空间可形成一个曲面这样的图形称为Y的球坐标图，并称它为原子轨道角度分布图 作图前，必需首先要知道原子轨道角向局部Yl,m〔θ，ϕ〕的计算式它由解薛定谔方程求得，也可从有关手册中查得表５－３列出氢原子假设干径向局部和角向局部，供参考例如 氢原子[例5－1] 画出氢原子1s原子轨道角度分布图Y 解：由解薛定谔方程可知从上式可知，Y1s只是一个常数，与θ，角度无关画出的氢原子1s原子轨道角度分布图是一个球曲面半径为〔1/4π〕1/2 由于原子轨道的角向局部Yl,m〔θ，ϕ〕只与量子数l，m有关，而与主量子数n无关因此，1s，2s，3s原子轨道的角度分布图都是一样的球曲面p，d，f系列原子轨道同样如此故在原子轨道角度分布图中，常不标明轨道符号前的主量子数[例5－2] 画出2pz原子轨道角度分布图 解：由解薛定谔方程可知 Y2pz = (3/4π)1/2cosθ〔与无关〕 或 Ypz = K·cosθ 式中K为常数，对于Y2pz，K值为〔3/4π〕1/2，对于其它p轨道K值可能不同，但它不会影响图形的形状。
一些随θ角度而变化的Ypz和Y2pz值见表５－４利用表中列出的数据，可以在*z平面画出如图５－１１所示的曲线将曲线绕Z轴旋转一周〔360°〕，可以得到“哑铃型〞的立体曲面由于Yp值在Z轴方向〔θ=0°〕出现了极大值，所以该曲面图我们称为p原子轨道角度分布图，记为Ypz，通常以其剖面图表示 用以上类似的方法，我们可以画出s，p，d各种轨道的角度分布剖面图，如图５－１２所示２.电子云角度分布图“**〞 如果我们将简化的薛定谔方程两边平方，则得到ψ2n,l,m〔r，θ，ϕ〕= R2n,l〔r〕·Y2l,m〔θ，ϕ〕电子云径向局部角向局部 上式中，ψ2n,l,m〔r，θ，ϕ〕的图像即为电子云的图象，它由二局部组成一是电子云的径向局部R2n,l〔r〕，即几率密度随离核半径的变化，它与θ，ϕ角度无关；二是电子云的角向局部Y2l,m〔θ，ϕ〕，即几率密度只随角度θ，ϕ变化，它与主量子数n，离核半径r无关 电子云角度分布图的画法过程与原子轨道角度分布图一样，只需先将该原子轨道的角向分布·Yl,m〔θ，ϕ〕的计算式两边平方 例 pz原子轨道的角向局部是Ypz = K·cosθpz电子云的角向局部是Y2pz = K2·cos2θ 假设将Y2pz值〔表５-３〕随θ角度变化作图，得到的图形称为电子云的角度分布图，记为 Y2p。
用一样的方法，可以画出s、p、d各种电子云的角度分布图，如图５－１３所示:它表示随θ和ϕ角度变化时，半径一样的各点，几率密度大小一样原子轨道角度分布图与电子云角度分布图的区别见表５－５应要注意，把原子轨道角度分布图和电子云角度分布图当作原子轨道和电子云的实际图象是错误的，因为它们只考虑了波函数ψ〔原子轨道〕和ψ2〔电子云〕的角向局部，而没有考虑相应的径向局部，下面我们就来讨论有关的径向局部我们道，原子轨道和电子云的径向局部分别为Rn,l〔r〕和R2n,l〔r〕，反映R〔几率〕和R2〔几率密度〕在任意角度〔与θ，ϕ角度无关〕随离核距离半径r变化的情形1.原子轨道〔ψ〕径向局部 假设以R〔r〕对r作图就能得到电子出现的几率随r的变化图，我们称为原子轨道径向分布图如图５-１４所示R〔r〕随r变化时，因主量子数n不同，可以是负值如2s轨道的R〔r〕随r增大时，正值逐渐变小，经过R〔r〕为零的节点〔节面，电子出现的几率为0〕后变为负值，后又逐渐增大原子轨道径向分布图在教学中不常使用2．电子云的径向局部 电子云的径向局部可有多种图示表示，比拟重要的是几率密度径向分布图和壳层几率径向分布图 〔1〕几率密度径向分布图 假设以R2〔r〕对r作图，就能得到电子的几率密度随半径r的变化图，我们称为几率密度径向分布图。
图５-１５列出了常用的几种氢原子电子云的R2〔r〕图，它表示任何角度方向上的几率密度随半径r的变化，假设再考虑电子云的的角向局部Y2l,m (θ，ϕ)，两者结合起来，即为电子云的空间形状 〔2〕壳层几率径向分布图“**〞 前已表达，壳层几率是指离核半径为r，厚度为dr的薄层球壳中电子出现的几率，用符号r2R2表示，理论上可以导出，现以最简单的球形对称的ns电子云为例 设想把ns电子云通过中心分割成具有不同半径r的薄层球壳〔同心圆〕，如果我们考虑一个离核距离为r，厚度为dr的薄层球壳，如图５-１６所示［壳层几率的求法］ 假设以r2R2〔r〕对r作图，就可以得到氢原子s、p、d各电子云电子的壳层几率随r的变化图，我们称为壳层几率径向分布图 从图５-１７中使我们可以看到：氢原子1s电子在离核半径为52.9pm处薄层球壳出现的几率最大氢原子s、p、d电子的壳层几率径向分布图中，峰数不同核外电子的分布可看作是分层的钻穿〞现象电子云的角度分布图和电子云的几率密度径向分布图，是从两个不同侧面来反映电子云的状态，它们均不代表电子云的空间形状我们道ψ2n,l,m (r，θ，ϕ) = R2n,l, (r) ·Y2l,m (θ，ϕ) ψ2n,l,m (r，θ，ϕ)在空间分布的图象即为电子云的空间形状。
它必需由电子云的几率密度径向局部R2n,l, (r)和角度局部Y2l,m (θ，ϕ)两局部结合在一起来描述 以下，我们列出了氢原子的几种常用的电子云的空间形状示意图。