数列与不等式证明方法归纳共归纳了五大类，16种放缩技巧，30道典型例题及解析，供日后学习使用一、 数列求和（1） 放缩成等比数列再求和（2） 放缩成差比数列再错位相减求和（3） 放缩成可裂项相消再求和（4） 数列和比大小可比较单项二、 公式、定理（1） 利用均值不等式（2） 利用二项式定理（3） 利用不动点定理（4） 利用二次函数性质三、 累加、累乘（1） 累加法（2） 利用类等比数列累乘四、 证明不等式常用方法（1） 反证法（2） 数学归纳法及利用数学归纳法结论五、 其它方法（1） 构造新数列（2） 看到“指数的指数”取对数（3） 将递推等式化为递推不等式（4） 符号不同分项放缩一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和[典例1]已知数列，，，Ⅰ）求证：当时：；（Ⅱ）记，求证[解析]（Ⅰ）令，得（*）；又，，两式相减得，即与同号（**）；由（*）、（**）得；（Ⅱ）令，得；由（Ⅰ）得单调递减，即；所以；即[典例2]已知数列满足，Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，求证：[解析]（Ⅰ）由得，即；所以是公比为的等比数列，首项为，所以，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）得；所以[典例3]设数列满足，Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求正整数，使最小。
[解析]（Ⅰ）因为，且，即数列递增，所以，则，累加得，即，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，且；累加得；即，所以；所以正整数，使得最小2） 放缩成差比数列再错位相减求和[典例1]已知数列满足：，，求证：[解析]因为，所以与同号；又因为，所以，即，即，所以数列为递增数列，所以，即；累加得：；令，所以，两式相减得：，所以，所以；故得[典例2]已知数列与其前项和满足Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：[解析]（Ⅰ）设公差为，所以，解得，所以；因为，所以，两式相减得；将代入原等式，解得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以（糖水原理）；所以，有错位相减法得，所以，3） 放缩成可裂项相消再求和[典例1]已知[解析]即证；因为；所以；即证；记，下证；因为；所以，即原不等式成立[典例2]已知数列满足，Ⅰ）求证：是等比数列；（Ⅱ）求证：[解析]（Ⅰ）因为，，两式相减得；所以，是公比为3的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得；因为；所以[典例3]设是数列前项之积，满足，Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：[解析]（Ⅰ）因为，所以，即，所以是公差为1的等差数列，首项为2，所以，即，所以；（Ⅱ）设，因为，即是递增数列，所以，即不等式左端成立；又因为，即不等式右端成立；综上，。
4） 数列和比大小可比较单项[典例1]已知数列满足，Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，求证：[解析]（Ⅰ）由得，即；所以是公比为的等比数列，首项为，所以，即；（Ⅱ）设为数列的前项和，；所以，要证，只需证，即；即，显然成立；所以，从而[典例2]已知，圆：与轴正半轴的焦点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为对，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）若，，则[解析]（Ⅰ）由点在曲线上可得，又点在圆上，则，，从而的方程为，由点在上得：，将代入化简得，则；（Ⅱ）原不等式化为，将不等式左右两端分别看成数列、的前项和，则只需证，即；因为，故，所以有；又因为当时，有，即，即，即；因为，所以，所以有；综上，，即二、公式、定理（1）利用均值不等式[典例]数列定义如下：，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）[解析]（Ⅰ）由，，得；（Ⅱ）因为，所以，累乘得；（Ⅲ）先证；由，得，即；累加得，即不等式左端成立再证；因为，所以只需证，即；因为，即；所以，即不等式右端成立；综上，2）利用二项式定理[典例]已知数列满足：，Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，证明：[解析]（Ⅰ）设即与比较系数得，即又，故是首项为公比为的等比数列，故；（Ⅱ）即证，当时显然成立。
易验证当且仅当时，等号成立；设下面先研究其单调性；当时，；所以，所以；即数列是递减数列；因为，故只须证，即证；因为故上不等式成立；综上，原不等式成立3） 利用不动点定理求数列通项[典例1]已知函数，数列满足，，，Ⅰ）求的取值范围，使对任意的正整数，都有；（Ⅱ）若，，求证：，[解析]（Ⅰ）因为（*），即，解得，所以；下证：时，恒有因为，且，即与同号，所以恒有，由（*）得；综上，；（Ⅱ）由不动点定点得与均是以为公比的等比数列；所以，，所以，即不等式左端成立；又因为；累乘得，即不等式右端成立；综上，[典例2]已知函数，数列满足，，Ⅰ）求的实数解；（Ⅱ）是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论；（Ⅲ）设数列的前项和为，证明：[解析]（Ⅰ），；（Ⅱ）由（Ⅰ）及不动点定理得是以为首项，为公比的等比数列；所以，显然，所以取奇数时有，取偶数时有，即存在实数，使得对所有的都成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）得；先证；只需证（为奇数），即，即；因为为奇数，上述不等式化为；因为；所以，成立，即不等式左端成立；再证；只需证，由（Ⅱ）得为偶数时，，成立；为奇数时，，即为奇数时，成立；所以，成立，即不等式右端成立；综上，。
4） 利用二次函数性质[典例]在正项数列中，，，为的前项和，且（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）令，数列的前项和为[解析]（Ⅰ）令，则有，所以，即，所以；（Ⅱ），，所以，，三、累加、累乘（1）累加法[典例1]已知数列，，，Ⅰ）求证：当时：；（Ⅱ）记，求证：[解析]（Ⅰ）令，得（*）；又，，两式相减得，即与同号（**）；由（*）、（**）得；（Ⅱ）因为，所以累加得；即，即[典例2]已知，数列的首项，Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：，[解析]（Ⅰ），所以；因为，所以，所以；（Ⅱ）由递推关系可得，；所以（*）；又，得，即；所以（**）；结合（*）、（**），得，[典例3]已知数列满足=且=-（）（Ⅰ）证明：1（）；（Ⅱ）设数列的前项和为，证明（）.[解析]（Ⅰ）因为，所以，即数列递减，所以；又因为，即与同号，所以；所以，即；（Ⅱ）因为，累加得；原不等式化为，即，即，即；因为，即；又因为，所以，即，累加得，所以，即，所以2） 利用类等比数列累乘[典例1]设，给定数列，其中，，[解析]因为，所以；累乘得，，即[典例2]已知数列满足：，且，设Ⅰ）比较和的大小；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设为数列的前项和，求证：[解析]（Ⅰ）因为，所以；（Ⅱ）因为，所以，即；因为，，所以，即；故；（Ⅲ）由（Ⅱ）中可知，，且，所以；又因为，所以，累乘得；所以，即原不等式成立。
[典例3]已知函数，数列(＞0)的第一项＝1，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过（0，0）和（）两点的直线平行（如图）求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）[解析]（Ⅰ）证明：因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（Ⅱ）因为函数当时单调递增；而；所以，即因此又因为令则因为所以因此故[典例4]设数列满足，，其中证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）[解析]（Ⅰ）因为，所以与同号，因为，所以；所以，累乘得，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）得；所以，即原不等式成立四、证明不等式常用方法（1）反证法[典例1]设，给定数列，其中，，求证：（Ⅰ），；（Ⅱ）如果，那么当时，必有[解析]（Ⅰ）用数学归纳法可证；因为，所以；即；（Ⅱ）反证法：若当时，有；因为，，且由（Ⅰ）得单调递减；所以，即，与假设矛盾，所以当时，必有[典例2]已知数列的各项均为非负数，其前项和为，且对任意的，都有，且[解析]先用反证法证明；①若当且仅当时，有；令，则有，因而与矛盾，假设不成立；②若当时，有；令，则有，再令，则有，因而与矛盾，假设不成立；③若当时有，则，且由题意得，当时，，因而与矛盾，假设不成立；结合上述①②③得，假设不成立，原命题成立，即；再用反证法证明；若存在时，有，即；由题意得，，所以；累加得；所以当时，有，因而与矛盾；假设不成立，原命题成立，即；综上，。
2）数学归纳法及利用数学归纳法结论[典例]设数列满足，，证明对：（Ⅰ）；（Ⅱ）[解析]（Ⅰ）数学归纳法：①令，，命题成立；②假设时，命题成立，即；令，成立；由①②得，；（Ⅱ）由（Ⅰ）中数学归纳法中间步骤得，即；所以五、其它方法（1）构造新数列[典例]设数列满足，为的前项和证明：对，（Ⅰ）当时，；（Ⅱ）当时，；（Ⅲ）当时，[解析]（Ⅰ）由于（*）；又由于，即，即与同号，且，所以（**）；结合（*）、（**），得时，有；（Ⅱ）因为，且，所以，即是单调递增数列；由（Ⅰ）得；所以；（Ⅲ）由（Ⅰ）得，，所以，所以，即不等式右端成立；令，由（Ⅰ）（Ⅱ）得；由，可得；从而；又，故，即；注意到；故；即，即，即不等式左端成立；综上，当时，有2） 看到“指数的指数”取对数[典例]已知数列满足：，[解析]先证；因为；两边取以2为底的对数，得，即；累乘得，所以，即不等式左端成立；再证；因为，所以；所以，即；两边取以3为底的对数，得，即；累乘得，所以，即不等式右端成立；综上，3）将递推等式化为递推不等式[典例1]已知数列满足：，Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，求正整数的最小值[解析]（Ⅰ）由于，且，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，即；累加得，所以，即，即；（Ⅲ）取最小值时，有，；所以，即；所以，即；累加得，所以，即，即；由（Ⅱ）得，，所以当时，有，所以最小值为2018。
[典例2]已知数列满足：，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）[解析]（Ⅰ）因为，所以；所以；（Ⅱ）先证；因为，所以；累加得；所以即，不等式右端成立；再证；因为，所以；所以，所以；累加得即，即，所以，即不等式左端成立；综上，4）符号不同分项放缩[典例]已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）记，，求证：．[解析]（Ⅰ），，；所以；；（Ⅱ）由（Ⅰ）得；先证；因为，，；所以；再证；；综上。