如图三)，求三棱锥D'-ABC的体积.19.(本小题满分14分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=& , AF=1, M是线段EF的中点.(1) 求证AM//平面BDE；(2) 求二面角A-DF-B的大小；(3) 试段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是6020.(本题满分14分)如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD ABEF 互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM = BN = a (0 < a <壬2).(1) 求MN的长；(2) 当a为何值时，MN的长最小；(3) 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小.参考答案．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案CBCABCAADD．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. 75 12 . 900 , 300 1 3 . 5「3 14. 32兀三、解答题（本大题共6题，共76分）15 . （12 分）（1）证明：（1）TSB=BC E 是 SC 的中点 「.BE丄SC TDE丄SC.'.SC丄面 BDE（2 ）解：由（1） SC丄BDtSA±面 ABC.:SA丄BD.:BD丄面 SAC./EDC 为二面角 E-BD-C 的平面角 设 sA=AB=a,则 SB=BC=、‘2a . /.在RtASBC中, SC = 2a,:.在RtASAC中, ZDCE = 30o, •••在RtADEC中,ZEDC = 6Oo .16. （12 分）（1）证：0 CC］ //BB1 n CC］丄 PM , Cq 丄 PN, • Cq 丄平面PMN n Cq 丄 MN ;ACC1A1C0Sa'BCC1B1⑵解：在斜二棱柱 ABC - AiBQ］中，有 SAbb1ai = SBcC1B1 + SACC1A1 - 2S * S其中«为 平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角.0 CC］丄平面PMN, 上述的二面角为 ZMNP ,在 APMN中，PM 2 = PN2 + MN2 - 2PN - MN cos ZMNP nPM2CC2 = PN2CC2 + MN2CC2 - 2（PN - CC ） - （MN - CC ）cosZMNP，1 1 1 1 1由于 SBCC1B1 = PN - CC1，SACC1A1 = MN - CC1，SABB1A1 = PM - BB1，•有 SAbB1A1 = SBcC1B1 + SAcC1 A1 - 2SBCC1B1 ■ SACC1A1 '17. （12分）（1）证法一：如，丁底面ABCD是正方形， .BC丄DC.J SD丄底面ABCD,.•. DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得BC丄SC.证法二：如图1,丁底面ABCD是正方形，.BC丄DC.TSD丄底面ABCD,.SD丄BC，又 DCQSD=D，.BC丄平面 SDC，.BC丄SC.（2） 解：如图2，过点S作直线1 // AD，•- 1在面ASD 上, •.•底面 ABCD 为正方形，• 1 // AD 〃BC，• 1 在面 BSC 上, •- 1为面ASD与面BSC的交线.10 SD 丄 AD, BC 丄 SC,• 1 丄 SD, 1 丄 SC,Z.ZCSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.（以下同解法一）（3） 解 1：如图 2,VSD=AD=1,ZSDA=90°,.•.△SDA是等腰直角三角形•又M是斜边SA的中点，.DM丄SA.TBA丄AD, BA丄SD, ADASD=D,ABA丄面 ASD, SA 是 SB 在面 ASD 上的射影•由三垂线定理得DM丄SB..•.异面直线DM与SB所成的角为90°.解2：如图3,取AB中点P,连结MP,DP.在厶ABS中，由中位线定理得Mf//SB,• ZDMP是异面直线DM与SB所成的角.0 MP =丄SB = 3，又图32x 2 ' 1 5DM U，DP =,,.l + q)2 u，.•.在厶DMP 中，有 DP2=MP2+DM2, ••• ZDMP = 90°.异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°.18. (12 分)解：(1)在直角梯形ABCD中，由已知人DAC为等腰直角三角形，AC = v'2a, ZCAB = 45o,过 C 作 CH丄 AB，由 AB=2 a ,^；2a- AC丄BC •取AC的中点E,连结又 丁二面角a - AC-P为直二面角，可推得 AC=BC=则D ' E丄ACD'E丄卩BC 丄 D 'CDE由于 ZD' CA = 45o,(2)取AC的中点E,AC 丄 D ' E ,ZD'EO = 60 o.又BC u 平面卩 bc丄 D 'E bc丄 a，而 D 'C u a,:.ZD 'CA为二面角p-BC-y的平面角..二面角卩—BC-y为45°.连结D'E，再过D '作DO丄P，垂足为0，连结0E.AC丄OE ZD 'EO为二面角a — AC — 0的平面角，在 RtADDOE 中，de =丄 ac = 2 °，2 2 _ _1 _ l'~ l'~…V =~ S - D ' o =丄 x 1 AC. BC. D ' O =丄 X、2a x，- 2a x —6 a = 6 a 3D'-ABC 3 AABC 3 X 2 AC BC D O 6 4 1219. (14分)解法一：⑴记AC与BD的交点为0,连接OE, VO. M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，.•.四边形AOEM是平行四边形， .•.AM〃0E.V OE u 平面 BDE， AM 匸 平面 BDE，.AM〃平面 BDE. (2)在平面AFD中过A作AS丄DF于S，连结BS，VAB丄AF，AB丄AD， AD I AF = A，.AB丄平面ADF，.AS是BS在平面ADF上的射影， 由三垂线定理得BS丄DF._.ZBSA是二面角A—DF—B的平面角.6 .—在 RtAASB 中，AS = , AB =「2,_ 3tan ZASB = \ 3,ZASB = 60°,.•.二面角 A—DF—B 的大小为 60°.(3)设 CP=t (0WtW2)，作 PQ丄AB 于 Q，则 PQ〃AD，VPQ丄AB, PQ丄AF，AB 1 AF = A，.PQ丄平面 ABF，QE u 平面 ABF，.PQ丄QF.在 RtAPQF 中，ZFPQ=60°，PF=2PQ.•.•△PAQ为等腰直角三角形，PQ =——(2 - t).又VA PAF为直角三^2角形，pf = T‘(2-1)2 +1，.••花_t)2+ 丄=2.乜(2-1)所以 t=1 或 t=3(舍去)，即点P是AC的中点.解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系. _ _设AC I BD = N，连接NE，则点N、E的坐标分别是(込込 、(0,0,1),2，2，0)2 <2 一•••。