3、抛物线中，|MN =P1 - cos 0p1 — cos（兀—0）2 psin2 0若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|?（图4）解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，贝0点A的横坐标为，点B横坐标为，由 抛物线定义可得即1 - COSCE 1 + COS CC2 - 21 一 匚os a sin a同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为例2. 已知抛物线y2=2px （p>0）,过其焦点且斜率为k的直线交抛物线于A, B两点,求 AB 长.X2 y2 - 兀练习1：.过双曲线〒-一^~ — 1的右焦点，引倾斜角为一的直线，交双曲线与A、B两点,4 5 3求 I AB I解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系5即得 卩—2 — 3cos0 A（P ,壬）,B（P ,兀 +£）1 3 2 380AB =1 p + p I =1 + 1=-1 2 2 - 3cos — 2 - 3cos(k + —) 73 3附录直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y）是圆锥曲线上的点，1、 若F、F分别是椭圆的左、右焦点，则|PF| =a + ex， |PF | = a - ex ；1 2 1 1 22、 若F、F分别是双曲线的左、右焦点，12当点P在双曲线右支上时，PF = ex + aPF = ex - a当点P在双曲线左支上时，PF = —a 一 ex， PF = a 一 ex ；1 23、若F是抛物线的焦点，|PF| = x + 2 .利用弦长求面积x 2 y 2例3.设过椭圆云+仝=1的右焦点的弦AB=8 ,求三角形AOB的面积。
25 16描圆雋点弓玄长为二」卫尹丄、其中夕为直线倾靈角— c cos^ 日門以S=,丄曲,=——100 .口亠一町亠qos^ G 2 5 — Q cos亠日得cos2 3 ——帀点O在上的卷长度为sind算出它为3工；=2所凶'0站尹"S三2-S练习2. （08年卷）过椭圆』+ 21 = 1的焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B54两点，O为坐标原点，求人AOB的面积.简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式I AB I= 2eP 求弦长，然后利用公式1 - e 2 cos2 0 S = 11 AB II OF I sin ZAFO 直接得出答案AAOB 2练习3. （2005年全国高考理科）已知点F为椭圆兰+ y2 = 1的左焦点•过点F的直线l与椭21圆交于P、Q两点，过F且与11垂直的直线12交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.解析：以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：P= 2——1 -——cos °2IPQ1=， | MN |=1 - 1cos2（0 + 901 -抄2 °设直线I的倾斜角0，则直线12的倾斜角为& + 900，由极坐标系中焦点弦长公式知:用他们来表示四边形的面积S = 1| PQIg MN I =—设椭圆的极坐标方程为P=ep1 - ecos°则 |fa| =e p1-ecos 600|FB|e p1 - e cos 24001—+ ^sin2 ° g:os2 ° — + — sin2 202 4 2 16即求I—‘ 的最大值与最小值—+ — sin 2 202 16由三角知识易知：当sin20 =±1时，面积取得最小值16 ；当sin20 = 0时，面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题兰 + 21 = 1(a > b > 0)例4.过椭圆a2 b2 的左焦点F,作倾斜角为60的直线1交椭圆于A、B两点，若〔"A = 2FB,求椭圆的离心率.简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
解得e = 3 ；2 兀练习4.求过椭圆P=——孑的左焦点，且倾斜角为丁的弦长AB和左焦点到左准线的 3 - cos° 4距离2解：先将方程P =化为标准形式：P=—£—— 则离心率e = ，eP =，1 - _cos°3••• p = 2所以左焦点到左准线的距为2兀 5兀设A（p ,丁）, B（p ,），代入极坐标方程，则弦长1 4 2 4丨5 2 2 24AB = p + p = + =-12 兀 5兀 173 - cos 3 - cos —4 43)定值问题例5.抛物线y2二2px(p > 0)的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明：1 +1定值 ab 解：以焦点 F 为极点，以 FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为p= -，设 A(a, 9), B(b,e+兀)1 - cos 9将A,B两点代入极坐标方程，得a = 1 -C0s9，b = [707+兀)则1 +1 =匕泌 +1-cos（9"）= 1 （定值）a b p p p点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的1 1 2推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,则有币百+ =云=一MF NF ep例6.经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证-AB + -CD为定值。
AB CD证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为ep1 - ecos9又设A （p ,9 ）,B （p，兀 +9）,C1 1 2（p ,一+9,DI 3 2丿3兀Uh9则代入可得丿I AB 1=1-e2 cos29I AB I= 2ep1-e2 sin291 1 2-e2 + = AB CD 2ep注释此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立注意使用的围推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值需要以原点为极点建立 极坐标方程推广2若不取倒数，可以求它们和的最值x2 y 2例7.(2007理改编)中心在原点0的椭圆36+27 = 1 '点卩是其左焦点’在椭圆上任取三个不同点Pf,P 使ZPFP = ZPFP = ZPFP = 1200.1 2 3 1 2 2 3 3 1证明：FP1FP2FP3为定值，并求此定值．、0- 1200 , P「P2 与 P3 的极径就分别是1 FPJ=92 一 cos 0I FP \=22 — cos(0 +120°)与 \FP \ 二3解析：以点f为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：p=2 一 9os0，设点礼对应的极角为0，则点P2与P5对应的极角分别为0+ 12002 — cos(9 —120°)111一 + +FP2FP1FP32—cos0 2—cos(0 +1200) 2—cos(0 —1200)= + + ，而在三角函数的学习中，我们知道cos0 + cos(0 +120°) + cos(0 —120°)二0 ,因此1 +FP11 +FP21FP3=2为定值点睛：极坐标分别表示\ FP \、\ FP \与\ FP \，这样一个角度对应一个极径.就不会象解。