放大器极零点与频率响应

关于放大器极、零点与频率响应的初步实验1．极零点的复杂性与必要性一个简单单级共源差分对就包含四个极点和四个零点，如下图所示：图 1 简单单级共源全差分运放极零点及频率、相位响应示意图上图为简单共源全差分运放的极零点以及频率响应的示意图，可以看到，运放共有四个极点，均为负实极点，共有四个零点，其中三个为负实零点，一个为正实零点后面将要详细讨论各个极零点对运放的频率响应的影响正在设计中的折叠共源共栅运算放大器的整体极零点方针则包括了更多的极零点（有量级上的增长） ，如下图所示：图 2 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-poles details图 3 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-zeros details从上述两张图可以看到，面对这样数量的极零点数量（各有 46 个） ，精确的计算是不可能的，只能依靠计算机仿真但是手算可以估计几个主要极零点的大致位置，从而预期放大器的频率特性同时从以上图中也可以看到，详细分析极零点情况也是很有必要的可以看到 46 个极点中基本都为左半平面极点（负极点）而仿真器特别标出有一个正极点（RHP） 。

由于一般放大器的极点均应为 LHP，于是可以预期这个右半平面极点可能是一个设计上的缺陷所在具体原因现在还不明，可能存在问题的方面：1推测是主放大器的 CMFB的补偿或者频率响应不合适推测是两个辅助放大器的带宽或频率响应或补偿电容值不合适）其次可以从极零点的对应中看到存在众多的极零点对（一般是由电流镜产生） ，这些极零点对产生极零相消效应，减少了所需要考虑的极零点的个数另外可以看到 46 个零点中 45 个为负零点，一个为正零点，这个正零点即是需要考虑的对放大器稳定性产生直接影响的零点以上只是根据仿真结果进行的一些粗略的分析，进一步的学习和研究还需要进行一系列实验1．单极点传输函数——RC 低通电路首先看一个最简单的单极点系统——RC 低通电路，其中阻值为 1k，电容为 1p，传输函数为：sRCH)(则预计极点 p0=1/（2πRC）=1.592e8 Hz，仿真得到结果与此相同而从输出点的频率响应图中可以得到以下几个结论：图 4 一阶 RC 积分电路1）-3dB 带宽点（截止频率）就是传输函数极点，此极点对应相位约为-45°2）相位响应从 0°移向高频时的 90°，即单极点产生+90°相移。

3）在高于极点频率时，幅度响应呈现-20dB/十倍频程的特性图 5 一阶 RC 电路极点与频率响应（R=1k C=1p）2．单极点单零点系统——CR 高通电路简单的一阶 CR 电路，阻值/容值不变，传输函数为 sRCH1)(预计系统存在单极点 p0=1/2πRC，单零点z0=0，仿真得到单极点 1.592e8 Hz，单零点8.835e-6 Hz，极点位置同 RC 电路，零点位置可以理解为一个无限趋近于零的值从频率响应曲线中同样有以下结论：图 6 一阶 CR 电路图 7 一阶 CR 电路幅频、相频响应 （C=1p R=1k）1）频率为 0Hz（零点）时幅度为 0（换算为 dB 时为负无穷大，故零点只能用一个 ε 小数表示） ，-3dB 带宽（下截频）即为极点所在，对应相位45°2）相位响应从 90°移向高频时的 0°，即单极单零系统产生-90°相移 （可以这样理解，零点使系统已经从极低频的 180°相移并稳定到 90°，然后单极点最终产生-90°相移，使相位最终稳定在 0°）3）零点频率之上，极点频率之下，幅度响应为+20dB/十倍频，极点频率之上为 0dB结合单极点系统-20dB/十倍频的幅度响应特性可知，零点产生+20dB/十倍频的特性，并且极零点对幅度响应的影响可以叠加。

证明：)1lg(*20|sRCdBAv极低频时，极点不起作用，即 1>>sRC从而 )lg(*20)1lg(*20)lg(*20| sRCdBsRCdBsdv 于是|Av|=20dB*lg(s) +C （即低频时为+20dB/十倍频）高频时，sRC>>1，从而 ，于是|Av|=0 ）1sR3．两阶 RC 系统以上看到的一阶 RC/CR 电路均为最简单的非线性系统R 和 C 的任意组合将可能产生极为复杂的系统，分析其传输函数将是一个求解高阶线性方程组的过程，使得精确的手算分析基本不可能但是对于实际应用的单极或多极放大器来说，其 RC 拓扑结构有其特殊性，一般都是 π 形电容结构，如下图：这相当于一个两级放大器的电容电阻负载图其中两纵向电容为两级放大器的容性负载，横向电容为包括 Cgd 结电容和补偿电容在内的密勒电容而且一般来说横向电容的值远大于两纵向电容这将可能使两个极点的位置相隔较远，从而可能可以采用某种近似来估算因此研究这样一个系统有实际意义 （注意一个单纯这样的网络只图 8 π 形 RC 网络 是一个微分器高通网络，适合放大器的两级 π 模型还应该加上一个压控电流源。

首先考察没有横向电容，仅有两个纵向电容的情况原理图如下：图 9 两阶 RC 网络这个原理图同上述 π 网络稍有不同注意到如果 R2 不是横向连接的话系统将为单极点系统（两个 C 并联为一个电容） 为了使实验结果更加清晰，对这两个电容做了量级上的处理，即两纵向电容值分别为 1u 和 1p，电阻值均为 1k这样做的理由是使两个极点分离得比较远仿真得到系统包含两个极点 1.592e2 Hz 以及 1.592e8 Hz，正好分别是 和 对于这1)2(CR12)(个系统尚可用手算精确求得极点所在运用 KVL 和 KCL，最后求解极点方程： 01)( 21212 CRCRs在 C1>>C2 的假设下，这个方程的解可以近似得到为 1/R1C1 和 1/R2C2，与仿真结果相同但是应该看到，在两级时间常数相近的情况下，无法运用以上近似该传输函数的频率响应图如下：图 10 两阶 RC 系统幅频、相频响应图从上图中可以得到以下结论：1）低频时幅度为 0，相位也为 0°；-3dB 带宽为 159Hz，即为第一极点所在（称为主极点） ，主极点对应相位为-45°；主极点之后的一段幅度响应呈现-20dB/十倍频特性。

这些结论同前面得到的结论类似2）由于经过设计，使两个极点分离较远，因此在频率 f 满足 p0>1 的条件，这样便需加大每级的增益，于是采用电流源负载结构，这样也从另一方面提升了增益，便于观察单位增益带宽与次极点之间的互动关系（有源负载两级增益积很小，这样单位增益带宽十分接近 3dB 带宽，不利于实验） 图 17 两级电流源负载单管放大电路上图为结构的电流源负载单管放大电路原理图仿真得到双极点：p0=3.311e7，p1=2.100e8，双零点对：1.618e10，Av=56.7dB可以看到两极点是比较靠近的，而且由于该电路增益较大（至少远大于有源负载形式的低于 20dB 十倍的增益） ，可以预期该电路的单位增益带宽点落在次极点之外，即相位裕度小于零图 18 两级电流源负载无补偿频率响应图上图即为该两级放大器的频率响应，由于增益较大，单位增益带宽为2.16GHz，对应相位为 -189°，即相位裕度为-9 °，如果该放大器能够闭环使用（即存在一个假想的负反馈输入端——实际无法实现从输出端到输入端的负反馈） ，可以想象这个闭环系统将会发生振荡前面已经分析，如果单位增益带宽刚好是次极点所在，则相位裕度正好是 45°，系统将闭环稳定。

因此如果能够将主极点减小（减小开环 3dB 带宽），就能够提早增益按-20dB/dec 下降的开始频率，这样将有可能使单位增益带宽移到次极点之内，从而满足相位裕度要求另外，如果能将次极点增大，则也可能使次极点频率将单位增益带宽包含进去，同样也能满足相位裕度的要求相位补偿技术通常是在两个高阻结点之间或者某个高阻结点与地之间加上一个电容，通过调节这个电容的值，就可以改变极点的位置 （为什么是高阻结点？因为根据 ，只有高阻值才能产生较低频的极点，低阻结RC2点产生的极点值较高，通常将被忽略 ）图 18 为加入补偿电容值之后的两级放大器，依次增大补偿电容的取值，分析运放极零点情况，可以得到以下数据：表 4 补偿电容与极零点关系补偿电容值 主极点 p0 次极点 p1 零点 z0 零点 z11p 2.067e5 1.215e9 1.512e8 1.618e102p 1.037e5 1.233e9 7.596e7 1.618e103p 6.921e4 1.239e9 5.072e7 1.618e1010p 2.080e4 1.248e9 1.525e7 1.618e1020p 1.040e4 1.250e9 7.628e6 1.618e10图 19 两级电流源负载单管放大电路及级间补偿电容根据 Gray 一书给出的存在补偿电容情况下的极零点的公式，当补偿电容C 很大（远大于寄生电容） ，并且 gmR1>>1，gmR2>>1（即每级增益远大于1）的情况下，有： ， （gm 均为第CRgpm210)(2121Cgpm二级放大管的跨导，R1、R2 为各级输出电阻） 。

增大 C，则 p0 反比例减小，p1 增大，这也就是补偿电容能够使两极点产生分裂的原理但由 p1 公式可得，当 C 很大（远大于 C1 和 C2）时， ，也就是说，次极点随21gpm补偿电容的增大将逐渐趋近一个上限定值从表 4 中我们可以清楚地看到这一趋势，即主极点 p0 随 Cc 成反比例减小，次极点 p1 稍有增加，当 Cc 很大时，近似等于定值 1.25e9在此过程中，第二级零点 z0 仍按公式 随dgmCz0Cc 呈反比例变化可以检验当 Cc 为 3p 时各极零点的估计值其中gm2=959.039u，gds1=28.106u ，gds2=28.0841u，gds1m=8.64561u，gds2m=8.65395u从而可以估算 p0=7.473e4而 C1 = Cgd1m + Cjd1m + Cgs2m + Cjd1 = 2.352f + 7.67f + 23.3224f + 40.2883f = 73.6327f，C2= Cgd2m + Cjd2m + Cjd2 = 2.354f + 7.671f + 40.283f = 50.308f从而可以估算 p1=1.232e9（按极限公式估算）或 1.220e9（按标准公式估算） 。

而第二级零点仍为 z0=gm/Cc=5.092e7可见估算精度尚可从上面有关补偿电容同极零点的互动可以看到，补偿电容从原理上可以使两极点分裂，但是在增大补偿电容的过程中（前提是补偿电容远大于寄生电容——一般的补偿情况都是这样） ，其主要的效应是压低了主极点，而对于次极点，除了是否存在补偿电容（即加入补偿电容之前次极点为 2.100e8，加入补偿电容之后为 1.23e9 左右的值）能够明显影响其位置外，补偿电容值的变化对其影响不大即一旦加入了补偿电容，则主要需要考察的指标为 3dB带宽另外注意到 Gray 一书推导中假设 Cc 很大——这一假设仅是指补偿电容应该远大于寄生电容值我们可以在输出级加上一个负载电容，其值为典型的 2p，则未加补偿电容时，仿真得到 p0=2.75e6，p1=7.12e7加入补偿电容之后，有下表：表 5 补偿电容与极零点关系 II（负载电容 2p）补偿电容值 主极点 p0 次极点 p1 零点 z0 零点 z11p 1.935e5 7.667e7 1.512e8 1.618e102p 1.003e5 7.688e7 7.596e7 1.618e103p 6.7664e4 7.695e7 5.072e7 1.618e1010p 2。