正弦函数、余弦函数的图象[学习目的] 1.理解运用单位圆中的正弦线画正弦曲线的措施.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的环节和措施，能用“五点法”作出简朴的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．知识点一 正弦曲线正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象叫正弦曲线．运用几何法作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的过程如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示．②把单位圆提成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到相应于0，，，，…，2π等角的正弦线．③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段提成12等份．④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重叠．⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．在精度规定不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)五个核心点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图．思考 在所给的坐标系中如何画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？如何得到y＝sin x，x∈R的图象？答案 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．知识点二 余弦曲线余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象叫余弦曲线．根据诱导公式sin＝cos x，x∈R.只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)．要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个核心点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象．思考 在下面所给的坐标系中如何画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象？答案 题型一 “五点法”作图的应用例1 运用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．解 (1)取值列表：x0π2πsin x010－101－sin x10121(2)描点连线，如图所示：跟踪训练1 作函数y＝sin x，x∈[0,2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系．解 按五个核心点列表：x0π2πsin x010－10－1＋sin x－10－1－2－1运用正弦函数的性质描点作图：由图象可以发现，把y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sin x，x∈[0,2π]的图象．题型二 运用正弦、余弦函数图象求定义域例2 求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．解 由题意得，x满足不等式组即作出y＝sin x的图象，如图所示．结合图象可得定义域：x∈[－4，－π)∪(0，π)．跟踪训练2 求函数f(x)＝lg cos x＋的定义域．解 由题意得，x满足不等式组，即，作出y＝cos x的图象，如图所示．结合图象可得定义域：x∈∪∪.题型三 运用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3 在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．解 建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右持续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．描出点(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．跟踪训练3 方程x2－cos x＝0的实数解的个数是 ．答案 2解析 作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解．数形结合思想在三角函数中的应用例4 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范畴．解 f(x)＝sin x＋2|sin x|＝图象如图，若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图可得k的取值范畴是(1,3)．1．函数y＝sin x (x∈R)图象的一条对称轴是( )A．x轴 B．y轴C．直线y＝x D．直线x＝2．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是核心点( )A．(，) B．(，1)C．(π，0) D．(2π，0)3．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ .4．运用“五点法”画出函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的简图．5． 已知0≤x≤2π，试摸索sin x与cos x的大小关系．一、选择题1．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )A．重叠B．形状相似，位置不同C．有关y轴对称D．形状不同，位置不同3．方程sin x＝的根的个数是( )A．7 B．8 C．9 D．104．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大体图象为( )5．如图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x<且x≠)的图象是( )6．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一种封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A．4 B．8 C．2π D．4π二、填空题7．函数y＝的定义域是 ．8．函数y＝的定义域是 ．9．函数f(x)＝＋的定义域为 ．10．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范畴为 ．三、解答题11．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的简图．12．根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0,2π]．13．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.当堂检测答案1．答案 D2．答案 A3．答案 3π解析 如图所示，x1＋x2＝2×＝3π.4．解 (1)取值列表如下：x0π2πsin x010－10y＝2－sin x21232(2)描点连线，图象如图所示：5．解 用“五点法”作出y＝sin x，y＝cos x(0≤x≤2π)的简图．由图象可知①当x＝或x＝时，sin x＝cos x；②当cos x；③当0≤x<或